Transcript Extra övningsuppgifter på differentialekvationer

Ho¨gskolan i Bor˚
as
Ingenj¨orsh¨ogskolan
Till¨ampad analys, 5p
Differentialekvationer
Rolf Gustafsson
Ulf M˚
artensson
N˚
agra enkla differentialekvationer
1. L¨
os f¨
oljande differentialekvationer
a) y = 5x4 + e5x
1
b) y = √ , y(1) = 3
x
1
c) y = sin 2x +
cos2 x
1
d) y =
, y(1) = π
1 + x2
e) y = xe3x
f) y = x ln x, y(e) = 0
2. L¨
os f¨
oljande differentialekvationer
a) y = 2x + 1
b) y = 3x2 + 2e2x
√
c) y = x, y(1) = 0, y (1) = 1
d) y = 32x
3. L¨
os f¨
oljande differentialekvationer
a) y = e4x
b) y = 2x + cos 3x
4. L¨os f¨
oljande differentialekvationer
a) y = 3, y(0) = 1
1
, y(1) = 0
b) y = √
1 − x2
c) y = esin x cos x
1
d) y = 3(arctan x)2 ·
1 + x2
1
1
e) y = 0
·
2
2 + (ln x) x
5. L¨
os f¨
oljande differentialekvationer
a) y = 12x2 , y(0) = 3, y (0) = 2
π
b) y = 9 cos 3x, y(0) = 0, y ( ) = 2
6
1
c) y =
cos2 x
ar en l¨
osning till tx˙ = 2x samt best¨am den l¨osning som g˚
ar genom
6. Visa att x = Ct2 ¨
punkten (1, 2).
7. Visa att x(t) = Ce−t + 12 et ¨
ar en l¨osning till x(t)
˙ + x(t) = et f¨or alla v¨arden p˚
a C.
1
Separabla differentialekvationer
F¨
or att l¨
osa en separabel differentialekvation kan vi g˚
a tillv¨aga p˚
a f¨oljande s¨att.
1. Separera variablerna g(y)dy = f (x)dx
2. Integrera
$
g(y)dy =
$
f (x)dx + C
y ≥ 0.
8. L¨os differentialekvationen 2yy = cos x,
9. L¨
os differentialekvationen 3xy 2 y = 5,
x > 0.
10. L¨
os differentialekvationen ex y = ey .
11. L¨
os differentialekvationen y (x2 + 1) − 2xy 2 = 0,
y(0) = 1.
12. L¨
os differentialekvationen y = xy + yex , y ≥ 1,
y(0) = 1.
Linj¨
ara differentialekvationer av fo
¨rsta ordningen
F¨
or att l¨
osa y + g(x)y = h(x) kan vi g¨ora p˚
a f¨oljande vis.
1. Best¨
am den integrerande faktorn eG(x) , d¨ar G ¨ar en primitiv funktion till g.
2. Multiplicera ekvationen med eG(x) som ger (yeG(x) ) = h(x)eG(x) .
3. Integrera
13. L¨
os differentialekvationen y + 3y = e2x .
14. L¨
os differentialekvationen y + 13y = 2.
5
15. L¨
os differentialekvationen y + 5x4 y = 2xe−x .
16. L¨
os differentialekvationen y + 13x12 y = 13x12 .
17. L¨
os differentialekvationen y +
1
y = 3x, x ≥ 1, y(1) = 3.
x
18. L¨
os differentialekvationen xy + 2y = 3x, x ≥ 1, y(1) = 9.
19. L¨
os differentialekvationen y +
3
y = 8, x > 0.
x
20. L¨
os differentialekvationen y + 2xy = 6x.
2
Linj¨
ara differentialekvationer av andra ordningen
F¨
or att l¨
osa y + ay + by = f (x) kan vi g¨ora p˚
a f¨oljande vis.
1. Best¨
am den allm¨
anna l¨
osningen yh till differentialekvationen y + ay + by = 0.
2. En partikul¨
arl¨
osning yp till y + ay + by = f (x) best¨ams.
a y = yh + yp .
3. Den allm¨
anna l¨
osningen till y + ay + by = f (x) ¨ar d˚
21. L¨
os differentialekvationen y + 4y + 3y = 0.
22. L¨
os differentialekvationen 9y − 6y + y = 0.
23. L¨
os differentialekvationen y − 4y + 7y = 0.
24. L¨
os differentialekvationen y + 4y = 0.
25. L¨
os differentialekvationen y + 2y − 3y = 0 f¨or vilken y(0) = 0 och y (0) = 4.
26. L¨
os differentialekvationen y + 4y = 0 f¨or vilken y(0) = 0 och y (0) = 1.
π
π
27. L¨
os differentialekvationen y − 6y + 25y = 0 f¨or vilken y( ) = 1 och y ( ) = 2.
2
2
28. Unders¨
ok om det finns en l¨
osning till y + 2y + 2y = 0 som har ett lokalt maximum f¨
or
π
x = med v¨
ardet 1. Best¨
am i s˚
a fall denna l¨osning.
4
29. L¨os differentialekvationen y + y = x + 1.
30. L¨
os differentialekvationen y + 2y − 3y = 1 − 6x.
31. L¨
os differentialekvationen y + 4y = x2 .
32. L¨
os differentialekvationen y + y = 4x.
33. L¨
os differentialekvationen y − y = e−2x .
34. L¨
os differentialekvationen y − 2y + 5y = e−x .
35. L¨
os differentialekvationen y + 4y = sin x.
36. L¨
os differentialekvationen y − 2y − 3y = 2 sin x.
37. L¨
os differentialekvationen y − 4y + 3y = 4e3x .
38. L¨
os differentialekvationen y − 4y + 4y = 6e2x .
39. L¨
os differentialekvationen 4y + y = 3 cos x, y(0) = y(π) = 0.
40. L¨
os differentialekvationen 8y − 4y + y = 2, y(0) = y (π) = 0.
3
Till¨
ampning av differentialekvationer
¨
41. Okningen
per tidsenhet av antalet inv˚
anare y i ett land kan antagas vara proportionell
mot antalet inv˚
anare. Antalet inv˚
anare var tv˚
a miljoner ˚
ar 1800 och fem miljoner ˚
ar 1900.
Best¨
am y som en funktion av tiden t samt ber¨akna v¨ardet av y f¨or ˚
ar 1950.
42. En beh˚
allare med vatten som har temperaturen 80◦ st¨alls f¨or svalning i ett rum med
den konstanta temperaturen 20◦ . Best¨am vattentemperaturen som en funktion av tiden
t. Efter hur m˚
anga minuter har temperaturen sjunkit till 40◦ om temperaturen efter 10
minuter ¨
ar 60◦ ? Vi kan antaga att temperaturs¨ankningen per tidsenhet ¨ar proportionell
mot skillnaden mellan vattnets temperatur och omgivningens temperatur.
aller 20 kg salt. Vid tiden t = 0 pumpas rent vatten
43. En saltl¨
osning p˚
a totalt 100 m3 inneh˚
in i beh˚
allaren samtidigt som v¨alblandad l¨osning tappas ur i beh˚
allarens nedre del med
3
angden
samma hastighet, 5 m /min. Best¨am m¨angden salt som funktion av tiden. N¨ar ¨ar m¨
salt 5.0 kg?
44. En vattenbeh˚
allare som har volymen 106 liter ¨ar helt fylld med vatten och har f¨ororenats
genom utsl¨
app fr˚
an en industri. F¨ororeningsgraden ¨ar omedelbart efter utsl¨appet 0.02
%. Per dygn f¨
orbrukas 2 · 105 liter av vattnet och ers¨atts kontinuerligt med rent vatten.
Hur l˚
ang tid dr¨
ojer det innan koncentrationen av f¨ororeningen understiger det hygieniska
gr¨
ansv¨
ardet som ¨
ar 10−5 %?
45. Luften i ett rum av storleken 10 · 4 · 3 m3 har en CO2 -halt p˚
a 0.2 %. Frisk luft som
ases in med hastigheten 10 m3 /min och den v¨alblandade gasen
inneh˚
aller 0.05 % CO2 bl˚
l¨amnar rummet med samma hastighet. Vilken ¨ar CO2 -halten efter 20 min?
4
Facit
N˚
agra enkla differentialekvationer
1
1. a) y = x5 + e5x + C
√ 5
b) y = 2 x + 1
1
c) y = − cos 2x + tan x + C
2
3π
d) y = arctan x +
4
x 1 3x
e) y = ( − )e + C
3 9
x2
e2
f) y = (2 ln x − 1) −
4
4
1
1
2. a) y = x3 + x2 + C1 x + C2
3
2
x4 1 2x
b) y =
+ e + C1 x + C2
4
2
4 5/2 x 3
c) y = x + −
15
3 5
32x
d) y =
+ C1 x + C2
4(ln 3)2
1 4x 1
e + C1 x 2 + C2 x + C3
64
2
x4
1
1
b) y =
−
sin 3x + C1 x2 + C2 x + C3
12 27
2
3. a) y =
4. a) y = 3x + 1
b) y = arcsin x −
π
2
c) y = esin x + C
d) y = (arctan x)3 + C
e) y = ln | ln x +
2 + (ln x)2 | + C
5. a) y = x4 + 2x + 3
b) y = − cos 3x − x + 1
c) y = − ln | cos x| + C1 x + C2
6. V L = tx˙ = tC2t = 2Ct2 = 2x = HL; x = 2t2
1
1
7. V L = x˙ + x = −Ce−t + et + Ce−t + et = et = HL
2
2
5
Separabla differentialekvationer
8. y =
√
sin x + C
9. y =
10. y = − ln(e−x + C)
√
3
5 ln x + C
11. y =
ln(x2
−1
+ 1) − 1
1
12. y = exp( x2 + ex − 1)
2
Linj¨
ara differentialekvationer av f¨
orsta ordningen
13. y =
1 2x
e + Ce−3x
5
14. y =
2
+ Ce−13x
13
5
15. y = (x2 + C)e−x
13
17. y = x2 +
16. y = 1 + Ce−x
8
x2
C
19. y = 2x + 3
x
2
x
18. y = x +
2
20. y = 3 + Ce−x
Linj¨
ara differentialekvationer av andra ordningen
x
21. y = Ae−3x + Be−x
23. y = e2x (A cos
√
3x + B sin
22. y = (Ax + B)e 3
√
24. y = A + Be−4x
3x)
25. y = ex − e−3x
27. y = 0.25e
−3π
2
26. y = 0.5 sin 2x
e3x (4 cos 4x − sin 4x)
28. y =
x2 1
−
4
8
32. y = A + Be−x + 2x2 − 4x
1
33. y = Aex + Be−x + e−2x
3
35. y = A sin 2x + B cos 2x +
1
34. y = ex (A sin 2x + B cos 2x) + e−x
8
1
sin x
3
1
36. y = Ae3x + Be−x + (cos x − 2 sin x)
5
38. y = (A + Bx)e2x + 3x2 e2x
37. y = Aex + Be3x + 2xe3x
39. y = cos
π
2e 4 e−x sin x
30. y = Aex + Be−3x + 2x + 1
29. y = A sin x + B cos x + x + 1
31. y = A sin 2x + B cos 2x +
√
x
x
− sin − cos x
2
2
x
40. y = 2 − 2e 4 cos
6
x
4
Till¨
ampningar
41. y = 2e0.0092t . ˚
Ar 1950 ¨
ar folkm¨angden c:a 7.9 miljoner. (y(150))
42. y = 20 + 60e−0.04t . Efter c:a 27 minuter ¨ar vattentemperaturen 40◦ .
43. m(t) = 20e−0.05t . Efter 28 min ¨ar saltm¨angden 5.0 kg.
t
44. 38 dygn; y(t) = 200e−0.2t
45. 0.08%; y(t) = 0.06 + 0.18e− 12
7