Transcript Räkneövning 1 - joel johansson

R¨akne¨ovning 1
V˚
agr¨orelsel¨ara & Kvantfysik, FK2002
29 november 2011
Problem 16.9
En transversell v˚
ag utbreder sig l¨angs en str¨ang med v˚
aghastigheten v. Om man
dubblerar sp¨
anningen F och h˚
aller v˚
agl¨angden λ konstant...
a) Hur ¨
andras v˚
agens frekvens f ?
b) Hur ¨
andras v˚
aghastigheten v?
L¨
osning:
Ekvation (16.1) i boken ger sambandet mellan v˚
agens hastighet v [m/s], str¨angens
sp¨
anning F [N] och dess linj¨
ara massdensitet µ [kg/m]
s
F
(1)
v=
µ
Samtidigt vet vi att v˚
aghastigheten v = λf , vilket inneb¨ar att vi kan relatera
frekvensen med str¨
angens sp¨
anning
s
s
F
1 F
λf =
⇐⇒ f =
(2)
µ
λ µ
Vi ser att frekvensen f ¨
ar proportionell mot sp¨anningen F som f ∝
sp¨
anningen dubbleras, F → F 0 = 2F , ¨andras f → f 0
s
s
0
√
1
1
F
2F
=
= 2f
f0 =
λ µ
λ
µ
√
F . N¨ar
(3)
P˚
a samma s¨
att ¨
andras v˚
aghastigheten v → v 0 n¨ar sp¨anningen dubbleras, F →
0
F = 2F
s
s
√
F0
1 2F
0
v =
=
= 2v
(4)
µ
λ
µ
1
Problem 16.15
Given v˚
agfunktionen y(x, t) = A sin(kx − ωt),
a) Vad ¨
ar lutningen i position x vid tidpunkt t ?
b) Hur ¨
ar maximal lutning relaterad till v˚
aghastighet och maximal partikelhastighet?
L¨
osning:
y(x, t) ¨
ar en funktion som beror av tv˚
a variabler, positionen x och tiden t. Vi
kan allts˚
a representera v˚
agen p˚
a tv˚
a s¨att:
Figur 1: V˚
agfunktionen y(x, t), (till v¨
anster) plottad som y(x) vid en best¨
amd
tid, t = 0, eller (till h¨
oger) som y(t) i en best¨
amd punkt, x = 0 .
Vi tittar f¨
orst p˚
a lutningen med avseende p˚
a rums-koordinaten x,
∂y
= kA cos(kx − ωt)
∂x
(5)
Lutningen ¨
ar maximal n¨
ar |cos (kx − ωt)| har sitt maxv¨arde (= 1). Om vi
anv¨
ander sambandet f¨
or v˚
aghastigheten, v = λf = ω/k, f˚
ar vi
∂y ωA
= kA |cos (kx − ωt)|max = kA =
(6)
∂x v
max
Partikelhastigheten, vy (dvs. den hastigheten som mediets partiklar r¨or sig i
y-led), f˚
as genom att ta tidsderivatan
vy =
∂y
= −ωA cos(kx − ωt)
∂t
(7)
Med samma resonemang som tidigare f˚
ar vi den maximala partikelhastigheten,
∂y = ωA
(8)
∂t max
Nu kan vi slutligen relatera maximal lutning (ekv. 6), maximal partikelhastighet
(ekv. 8) och v˚
aghastigheten, v
∂y 1 ∂y =
(9)
∂x v ∂t max
max
2
Problem 16.19
Vilka av f¨
oljande funktioner representerar vandrande v˚
agor?
b) A cos (kx − ωt)2
a) A sin2 π(t − xv )
2
c) A sin (kx)2 − (ωt)2
d) Ae−σ(x−vt)
e) A(x + vt)3
f) Ae−αt cos(kx − ωt)
L¨
osning:
En ”vandrande v˚
agӬ
ar en st¨
orning, f , av ett medium kring dess j¨amviktsl¨age,
som fortplantar sig med en hastighet, v. (St¨orningens form ¨ar helt godtycklig den beh¨
over inte alltid vara en sn¨all sinus-funktion...)
Figur 2: Konstig v˚
agform med konstant hastighet v, vid tv˚
a olika tidpunkter.
Givet v˚
agens form vid en viss tidpunkt, f (x, t = 0), vad kan vi s¨aga om v˚
agens
utseende f (x, t) vid den senare tidpunkten t? Vi ser att st¨orningen i punkten
x vid den senare tiden t ser likadan ut som den gjorde str¨ackan ∆x = vt till
v¨
anster (i punkten x − ∆x = x − vt). Allts˚
a,
f (x, t) = f (x − vt, 0) ≡ g(x − vt)
(10)
V˚
agor kan ju ocks˚
a utbreda sig i negativ x-riktning, s˚
a ett mer allm¨ant uttryck
f¨or en vandrande v˚
ag a
a: alla funktioner som l˚
ater
¨r f (x, t) = g(x ± vt). Allts˚
sig skrivas som f (x, t) = g(u), d¨ar variablerna x och t dyker upp i den speciella
kombinationen u ≡ x ± vt a
agor! (Och de fungerar dessutom som
¨r vandrande v˚
l¨osningar till den s.k v˚
agekvationen!)
Svar: Funktionerna a), b), d) och e) g˚
ar att skriva som f (x, t) = g(u), d¨ar
u ≡ x ± vt och ¨
ar f¨
oljdaktligen vandrande v˚
agor. Funktionerna c) och f ) ¨ar
tyv¨
arr inte det...
3
Problem 16.21
Givet v˚
agfunktionen y(x, t) = 0.02 sin(0.4x + 50t + 0.8), d¨ar enheterna f¨or x och
ya
ar i sekunder, identifiera:
¨r cm och t ¨
a) V˚
agl¨
angden, λ
b) Faskonstanten, φ
c) Perioden, T
d) Amplituden, A
e) V˚
aghastigheten, v
f) Partikelhastigheten i x = 1 cm, t = 0.5 s
L¨
osning:
Ett allm¨
ant uttryck f¨
or en harmonisk transversell v˚
ag (som utbreder sig i negativ
x-riktning) ¨
ar
y(x, t) = A sin(kx + ωt + φ)
(11)
D˚
a blir det enklare att identifiera;
2π
a) V˚
agl¨
angden, λ = 2π
k = 0.4 cm = 15.7 cm
b) Faskonstanten, φ = 0.8
2π
c) Perioden, T = f1 = 2π
ω = 50 s = 0.13 s
d) Amplituden, A = 0.02 cm
50
cm/s = 125 cm/s
e) V˚
aghastigheten, v = Tλ = ωk = 0.4
∂y(x,t)
f) Partikelhastigheten, vy (x, t) = ∂t = ωA cos(kx + ωt + φ).
Vi f˚
ar att vy (1, 0.5) = (50 × 0.02) cos(0.4 × 1 + 50 × 0.5 + 0.8) = 0.48 cm/s.
4