Transcript Exempel 5 - Matematik - Karlstads universitet

Karlstads universitet
Avdelningen för Matematik
Niclas Bernhoff
Exempel 5: Tillämpningar av integraler
1. Bestäm arean mellan kurvorna y = e2x och y = e4x − 6 samt y - axeln.
2
Lösning: Skärningspunkter : e2x = e4x − 6 ⇔ e2x − e2x − 6 = 0 ⇔
1
1
1 5
2x
⇔e = ±
+ 6 = ± ⇔ e2x > 0 ⇔ e2x = 3 ⇔ 2x = ln 3 ⇔
2
4
2 2
ln 3
⇔x=
.
2
Således gäller för arean, A, av det sökta området:
ln 3
2x 4x
ln23
2 2x 4x
e
e
e − e − 6 dx =
−
− 6x
=
A=
2
4
0
0
2 ln 3
2
e
1 1
3
eln(3 )
1
eln 3
=
−
− 3 ln 3 −
−
= −
− 3 ln 3 − =
2
4
2 4
2
4
4
5 9
− + 3 ln 3 = 3 ln 3 − 1.
4 4
Svar: Arean av området är 3 ln 3 − 1.
=
2. Beräkna volymen av den kropp som genereras då området som begränsas
av kurvan y = x3 , x - axeln samt linjerna x = 0 och x = 1 roterar kring
x - axeln resp. y - axeln.
Kring x - axeln:
x=1
7 1
1
1
x
π
2
Vx =
dV = πy dx = π x6 dx = π
= .
7 0
7
x=0
0
0
Kring y - axeln:
x=1
5 1
1
1
x
2π
4
Vy =
dV = 2πx |y| dx = 2π x dx = 2π
=
.
5 0
5
x=0
0
0
2π
π
Svar: Volymerna är resp.
.
7
5
3. Beräkna volymen av den kropp som genereras då området som begränsas
π
3π
av kurvan y = cos x, x - axeln samt linjerna x =
och x =
roterar
2
2
kring x - axeln resp. y - axeln.
Kring x - axeln:
Vx =
x=3π/2
x=π/2
dV =
3π/2
π/2
2
πy dx = π
3π/2
π/2
1
2
cos x dx = π
3π/2
π/2
1 + cos 2x
dx =
2
x sin 2x
+
=π
2
4
3π/2
=π
π/2
3π sin 3π
+
−
4
4
π sin π
+
4
4
=
π2
.
2
Kring y - axeln:
3π/2
Vy =
dV =
π/2
3π/2
2πx |y| dx = 2π
π/2
3π/2
x |cos x| dx = −2π
π/2


3π/2
= −2π [x sin x]π/2 −
x=3π/2
x=π/2
3π/2
x cos x dx =
π/2


sin x dx = −2π
3π
3π π
π
3π/2
sin
− sin − [cos x]π/2
2
2
2
2
3π π
3π
3π π
π
= −2π −
− −
cos
− cos
= 4π 2 .
2
2
2
2
2
2
Svar: Volymerna är
π2
resp. 4π2 .
2
4. Beräkna volymen av den kropp som genereras då området som begränsas
av kurvan y = ex + 1 och linjerna y = 0, x = 0 och x = ln 2 roterar kring
x - axeln resp. y - axeln.
Kring x - axeln:
x=ln
ln
ln
ln
2
2
2
2
dV =
πy 2 dx = π
(ex + 1)2 dx = π
e2x + 2ex + 1 dx =
Vx =
x=0
0
0
ln 2
Kring y - axeln: Vy =

0
0
e
e
e
x
ln 2
0
=π
=π
=
+ 2e + x
+ 2e + ln 2 −
+ 2e + 0
2
2
2
0
2
eln 2
1
π
π
=π
+ 4 + ln 2 − − 2 = (4 + 4 + ln 2 − 1) = (7 + 2 ln 2).
2
2
2
2
2x
x=ln
2
2 ln 2
dV =
x=0
ln
2
2πx |y| dx = 2π
0

ln
2
x(ex + 1) dx =
0
2 ln 2
x
x
= 2π [x(e +
−
e + x dx = 2π ln 2(2 + ln 2) − 0 − e +
=
2 0
0
(ln 2)2
= 2π 2 ln 2 + ln 2 − 2 −
= π 4 ln 2 + (ln 2)2 − 2 .
2
π
Svar: Volymerna är (7 + 2 ln 2) resp. π 4 ln 2 + (ln 2)2 − 2 .
2
x
2
x)]ln
0
ln
2
x
2
=