Transcript F`(x)=f(x)-f(x)

Учитель математики
Грицина Алла Володимирівна
Нехай у проміжку <a; в> задана функція f(x). Тоді
функція F(x) називається первісною для f(x), якщо

F (x)  f (x)
F ( x)
f ( x)
2x
cos x
1
x
x
2

sin x+2
2 x 7
Теорема (про існування первісної).
Якщо f(x) неперервна у <a; в>, то для неї існує первісна у цьому
проміжку.
Теорема (про множину всіх первісних).
Якщо F(x) – одна з первісних для f(x) у проміжку <a; в>, то
формула F(x)+С, де С – довільна стала, містить множину всіх
первісних для f(x) у проміжку <a; в>.
Доведення. Ф(х) – довільна фіксована первісна для f(x) у
проміжку <a; в>. Ф'(х)=f(x). Розглянемо допоміжну функцію
λ(х)=Ф(х)-F(x), λ'(х)=Ф'(х)-F'(x)=f(x)-f(x)=0.
За теоремою про сталість функції λ(х)=соnst=С.
Отже, Ф(х)=F(x)+С. Теорему доведено.
у
0
у=F(x)+C
Графічна ілюстрація множини
первісних
х
Множина всіх первісних для даної функції f(x) на проміжку<a; в>
називається невизначеним інтегралом і позначається  f(x)dx
 f(x)dx  F ( x )  C
Основні властивості невизначеного інтеграла:
1.(  f ( x ) dx )   f ( x )
( F ( x )  C )   F ( x )  C   f ( x )
2.  ( f ( x )  g ( x )) dx 

f ( x ) dx 
 g ( x ) dx ,
якщо інтеграли справа існують. (Запропонувати учням довести
самостійно на основі означення первісної).
3. С f ( x ) dx  С  f ( x ) dx
( С  f ( x ) dx )   С (  f ( x ) dx )   С f ( x )
4. f ( kx  b ) dx 
1
k
F ( kx  b )  C
Таблиця невизначених інтегралів
1 . 0 d x  C
2 . d x  x  C
3 .  kd x  kx  C

4 . x d x 
5 . a d x 
x
x
 1
 1
a
x
C
ln a
6 . e d x  e  C
x
x
 C ,  1
7 .
dx
8 .
dx
9 .
dx
 lnx C
x
x
 
2
1
C
x
 2
x C
x
1 0 .  s in x d x   c o s x  C
1 1 .  c o s x d x  s in x  C
1 2 .
1 3 .
dx
cos
2
 tg x  C
x
dx
s in
2
  c tg x  C
x
1 4 .
1 5 .
dx
1 x
2
 a rctg x  C
dx
a x
2
2
dx
1 6 .
1 x

a rctg
a
x
C
a
 arcsin x  C
2
dx
1 7 .
1
a x
2
 arcsin
2
x
C
a
Доведемо одну з формул за допомогою означення первісної.
(arcsin
x
 C ) 
a
F ( x )  f ( x )
1
1

x
2
a
2
1
a
1

a
2
 x
2
Методи інтегрування:
1. Табличне інтегрування
Приклад 1.
 s in
dx
2
 4 
2
xcox x
1
 4
dx
4 s in
2
2
xcox x
 4
dx
s in
2

2x
ctg 2 x  C   2 ctg 2 x  C
2
Приклад 2.
2
x dx
x
2
1
x 11
2


x 1
2
dx   (1 
1
x 1
2
) dx   dx  
 x  C 1  arctgx  C 2  x  arctgx  C
1
x 1
2
dx 
2. Інтегрування підстановкою
Приклад 3.
 ctgxdx 

cos xdx
sin x


dt
 ln
t C  lnsin x C
t
sin x  t
cos xdx  dt
Приклад 4.

1  ln x
x
dx   tdt 
1  ln x  t
dx
x
 dt
t
2
2
C 
(1  ln x )
2
2
C
3. Інтегрування частинами
Теорема (про інтегрування частинами)
Якщо функції мають неперервні похідні у проміжку <a; в>, то
справедлива формула
 u d v  u  v   vd u
u
Доведення.
v

 u v  u v 
  u v  d x

 u v d x

u d x  d u , v d x  d v
 udv
 u v 
Теорему доведено.
 vdu
Приклад 5.

xe d x  x  e 
x
x
u  x
dv  e dx
x
du  dx
v  e
x

e dx  x  e  e  C
x
x
x
 u v d x
Приклад 6.
 x co s xd x 
x sin x 
 sin xd x 
x sin x  co s x  C
u  x
d v  co s xd x
du  dx
v  sin x
Приклад 7. Довести, що функція F ( x )  3 x  sin
2
3x
є первісною для функції f ( x )  6 cos (   3 x )
4
Розв’язання. За означенням первісної перевіримо виконання
рівності F'(x)=f(x).
2
F ( x )  (3 x  sin 3 x )   3  3 sin 6 x  3(1  sin 6 x ) 
2
 3(1  cos(

 6 x ))  3  2 cos (
2
Отже, F'(x)=f(x).
2

4
 3 x )  6 cos (
2

4
 3 x)
Дякую за увагу!
Бажаю успіхів!