Slide 1

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 2

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 3

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 4

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 5

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 6

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 7

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 8

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 9

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 10

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 11

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 12

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 13

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 14

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 15

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 16

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 17

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 18

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 19

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1


Slide 20

Недарма місяць лютий
називають лютим.
Він роздмухав фрази в
означеннях, а в окремих і
відомості взагалі загубилися,
то попрошу відновити їх.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Тригонометричними
називають рівняння, в
яких невідома (змінна)
входить лише…
під знак тригонометричної
функції

Особливістю розв’язків
тригонометричних рівнянь є…
вони або не мають розв’язків, або
мають їх безліч внаслідок
властивості періодичності
тригонометричної функції

Найпростіші тригонометричні
рівняння – це рівняння виду…

sin x  a

cos x  a

tgx  a

ctgx  a

Розв’язати тригонометричне
рівняння – означає знайти
множину всіх значень
змінної…
при яких рівняння
перетворюється в правильну
рівність.

Встановити відповідність між
тригонометричними рівняннями і формулою
розв’язків:
1 . sin x  a , a  1

A . x  arctga   n , n  z

2 . cos x  a , a  1

B . x    1  arcsin a   k , k  z
k

3 . tgx  a , a  R

C . x   arccos a  2  n , n  z

4 . ctgx  a , a  R

D . x  arcctga   n , n  z

Вказати формули розв’язків найпростіших
тригонометричних рівнянь
sin x  a ,

cos x  a ,

sin x   1, x  



 2 n ,

a   1,

a  0,

a 1

n z

2

sin x  0 ,

x  n,

sin x  1,

x



якщо

n z

 2 n ,

n z

2
cos x   1,

x    2 n ,



 n,

cos x  0 ,

x

cos x  1,

2
x  2 n ,

n z

n z

n z

Рівняння виду a sin x  b cos x  0 , де a i b
одночасно не дорівнюють нулю, називають
однорідним тригонометричним рівнянням
першого степеня
Рівняння виду
a sin

2

x  b sin x cos x  c cos

2

x0

де a, b і с одночасно не дорівнюють нулю,
називають
однорідним тригонометричним рівнянням
другого степеня

,

Тригонометричні рівняння виду
a sin x  b cos x  c ,
де a, b і с довільні дійсні числа,
називають
лінійними

Зведення до однієї тригонометричної функції;
зведення рівняння до однорідного відносно синуса і
косинуса;
 перетворення різниці (суми) тригонометричних функцій
у добуток;
 введення допоміжного аргументу;
 розкладання на множники;
 заміна і та тангенс половинного кута (універсальна
підстановка);
 графічний
все це
способи розв’язування лінійних тригонометричних
рівнянь, коли



a b  c

Двадцять третє лютого

“Різні способи
розв’язування лінійного
тригонометричного
рівняння
sin x  cos x  1 ”

Способи розв’язування рівняння
sin x  cos x  1

•Зведення до однієї тригонометричної функції

•Зведення рівняння до однорідного відносно синуса та
косинуса
•Введення допоміжного аргументу
•Заміни

sin x

і cos x на тангенс половинного кута

•Розкладання на множники
•Перетворення різниці (суми) тригонометричних
функцій у добуток
•Графічний

4. Спосіб введення допоміжного
аргументу
Помножимо обидві частини заданого рівняння на число
2
2

cos

2

sin x 

cos x 

2



2

,

2

sin x  sin

4



cos x 

4

2
2

 
2

sin  x   
,
4
2


x


4

  1

x   1

k


4

k





 k , k  z

4


4

 k , k  z

,

 x    2 m , m  z


x 
 2 n , n  z
2


Відповідь:

  2 m , m  z ;

2

 2 n , n  z .

2
2

5. Спосіб розкладання на множники
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  1  cos x   0
Оскільки

1  cos x  2 cos

2

x

,

2
sin x  2 sin
то

x
2

cos

x
2

2 sin

x
2

cos

x

 2 cos

2

2

x

 0;

2

x
x
x
cos  sin
 cos   0 ;
2
2
2

 cos

 sin


x

 0,

2
x
2

 cos

x

 0;

2

 x    2 n , n  z


x 
 2 m , m  z .
2


x 
 2  2  n, n  z

 x    m , m  z
 2
4

x

 cos 2  0 ,

 tg x  1;
 2

Відповідь: 

2

 2 n , n  z ;
 2 m , m  z .

7. Графічний спосіб
Дане рівняння перепишемо так:

sin x  cos x  1
Розв’язки знайдемо як абсциси точок
перетину графіків функцій

y  sin x

та

y  cos x  1

САМОСТІЙНА РОБОТА
Варіант 1

Варіант 2

Скільки розв’язків має
рівняння

Скільки розв’язків має
рівняння

x  sin x
3

x  cos x  1
2

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
Розв’язати рівняння різними способами.
Визначити, який з них є раціональним

1.

cos 2 x  cos 4 x  0

2.

sin 5 x   sin x

3.

3 sin x  cos x  1