Transcript Частинні похідні функції двох змінних

Підготували
студенти 7 групи
Загородній Назарій
Олійник Ігор
Зміст
 1. Частинні похідні.
Приклади вокористання частинних похідних.
 2. Градієнт.
Приклад використання градієнта.
 3. Похідна за напрямом.
Приклад використання похідної.
Частинні похідні
 Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом
x називається границя
f ( x  x, y )  f ( x, y )
f x, y x 
dx
x 0
 Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y
визначають аналогічно.
 Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі
позначення :
fx(x,y); zx; z ; f ;
x x
z f
;
fy(x,y); zy;
.
y y
z
 Частинні похідні
та z задають напрями дотичних до поверхні
x
y
z = f(x,y).
lim
df
 Варто пригадати, що звичайна похідна f(x) =
задає напрям
dx
дотичної до кривої y = f(x).
Приклади
 1. Нехай
Тоді
z  4x 2  2xy  3 y 2
z
 8x  2 y
x
z
 2x  6 y
y
 2. Нехай Q=K0.6L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні
0.4
Q
L
Q
 0.6  K 0.4  L0.4  0.6 0.4  0.6  0
K
K
K
0.6
Q
K
Q
0.6
0.6
 0.4  K  L  0.4 0.6  0.4  0
L
L
L
(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу,
так і праці).
Градієнт
 Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній
точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок
найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.
 Для скалярного поля
градієнт визначається
формулою:
де i, j, k - орти системи відліку.
 Це означення узагальнюється на простори будь-якої
розмірності
Приклад
 Градієнт скалярного поля
 Градієнт скалярного поля (рос. градиент
скалярного поля, англ. gradient of scalar field, нім.
Skalarfeld-Gradient m) – вектор, проекціями якого
на координатні осі є частинні похідні функції, яка
описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в
тому, що він визначає напрям, у якому задане
скалярне поле змінюється найшвидше.
Похідна за напрямом
 Для характеристики зміни скалярного поля в заданому
напрямі вводять поняття похідної за напрямом.
Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом .
припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в
точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна
записати так:
lu 
u
u
u
x 
y 
z   x   2 y   3 z
x
y
z
де  1 ,  2 ,  3 нескінченно малі функції при l  0.
 l u u
u
u

cos


cos


cos   1 cos   2 cos    3 cos
то l x
y
z
 Перейшовши до границі при l  0 ,дістанемо формулу
для обчислення похідної за напрямом
u u
u
u

cos  cos   cos
l x
y
z
З формули випливає, що частинні похідні є окремими
випадками похідної за напрямом.
Приклад
 Знайти похідну функції u  x 2  2xz  y 2 в точці A(1;2;-1) за
напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати
характер зміни поля в даному напрямі.
 
 Знаходимо вектор l  AB і його напрямні косинуси:
 


1
2
2
l  i  2 j  2k , cos   , cos   , cos   
3
3
3
 Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А:
u
u
u
u
1 2
2 16
 2x  2z  A  4;
 2y A;
  2x A  2;
 4   4   2  ( ) 
x A
y A
z A
l A
3 3
3 3
 Оскільки
зростає.
u
 0 , то задана
l
функція в даному напрямі