Частинні похідні функції двох змінних
Download
Report
Transcript Частинні похідні функції двох змінних
Підготували
студенти 7 групи
Загородній Назарій
Олійник Ігор
Зміст
1. Частинні похідні.
Приклади вокористання частинних похідних.
2. Градієнт.
Приклад використання градієнта.
3. Похідна за напрямом.
Приклад використання похідної.
Частинні похідні
Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом
x називається границя
f ( x x, y ) f ( x, y )
f x, y x
dx
x 0
Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y
визначають аналогічно.
Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі
позначення :
fx(x,y); zx; z ; f ;
x x
z f
;
fy(x,y); zy;
.
y y
z
Частинні похідні
та z задають напрями дотичних до поверхні
x
y
z = f(x,y).
lim
df
Варто пригадати, що звичайна похідна f(x) =
задає напрям
dx
дотичної до кривої y = f(x).
Приклади
1. Нехай
Тоді
z 4x 2 2xy 3 y 2
z
8x 2 y
x
z
2x 6 y
y
2. Нехай Q=K0.6L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні
0.4
Q
L
Q
0.6 K 0.4 L0.4 0.6 0.4 0.6 0
K
K
K
0.6
Q
K
Q
0.6
0.6
0.4 K L 0.4 0.6 0.4 0
L
L
L
(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу,
так і праці).
Градієнт
Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній
точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок
найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.
Для скалярного поля
градієнт визначається
формулою:
де i, j, k - орти системи відліку.
Це означення узагальнюється на простори будь-якої
розмірності
Приклад
Градієнт скалярного поля
Градієнт скалярного поля (рос. градиент
скалярного поля, англ. gradient of scalar field, нім.
Skalarfeld-Gradient m) – вектор, проекціями якого
на координатні осі є частинні похідні функції, яка
описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в
тому, що він визначає напрям, у якому задане
скалярне поле змінюється найшвидше.
Похідна за напрямом
Для характеристики зміни скалярного поля в заданому
напрямі вводять поняття похідної за напрямом.
Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом .
припустимо , що функція u(x;y;z) диференційована в
точці M. Тоді її повний приріст в цій точці можна
записати так:
lu
u
u
u
x
y
z x 2 y 3 z
x
y
z
де 1 , 2 , 3 нескінченно малі функції при l 0.
l u u
u
u
cos
cos
cos 1 cos 2 cos 3 cos
то l x
y
z
Перейшовши до границі при l 0 ,дістанемо формулу
для обчислення похідної за напрямом
u u
u
u
cos cos cos
l x
y
z
З формули випливає, що частинні похідні є окремими
випадками похідної за напрямом.
Приклад
Знайти похідну функції u x 2 2xz y 2 в точці A(1;2;-1) за
напрямом від точки А до точки B(2;4;-3). З'ясувати
характер зміни поля в даному напрямі.
Знаходимо вектор l AB і його напрямні косинуси:
1
2
2
l i 2 j 2k , cos , cos , cos
3
3
3
Тепер обчислимо значення частинних похідних в точці А:
u
u
u
u
1 2
2 16
2x 2z A 4;
2y A;
2x A 2;
4 4 2 ( )
x A
y A
z A
l A
3 3
3 3
Оскільки
зростає.
u
0 , то задана
l
функція в даному напрямі