Transcript Основні правила та формули диференціювання

Основні правила та формули
диференціювання
Виконали: студенти 7 групи
І курсу економічного
факультету
Білоусько А.
Криворучко А.
План
1. Означення похідної.
2. Механічний та геометричний зміст
похідної.
3. Основні формули диференціювання.
Поняття похідної є одним з основних
понять математичного аналізу. Розділ
математики, в якому вивчається
поняття похідної та її застосування до
дослідження функцій, називають
диференціальним численням.
І. Ньютон
У загальних рисах побудови диференціального
числення було завершено у працях англійського
фізика, астронома та математика І. Ньютона
(1643-1727) та німецького філософа та
математика Г. Лейбніца (1646-1716) до кінця XVII
ст. Ньютон прийшов до поняття похідної,
розглядаючи задачу про миттєву швидкість
матеріальної точки, а Лейбніц під час
розв'язування задачі про дотичну до кривої.
Г. Лейбніц
Строге обґрунтування диференціального
числення на основі теорії границь дав на
початку XIX ст. французький математик
О. Коші.
О. Коші
Похідною функції в точці x0 називається
граничне відношення приросту функції в точці
x0 до приросту аргументу в цій же точці, якщо
останній прямує до нуля.
lim
x 
y
 y'
x
Механічний зміст похідної: величина
миттєвої швидкості в момент часу t0
дорівнює значенню похідної від шляху
у точці t0.
Геометричний зміст похідної: похідна
f’(x) функції f(x) у точці x0 є значенням
кутового коефіцієнта дотичної до
кривої y=f(x) у точці з абсцисою x0.
y  C (const)
y'  
yx
y'  
y x

y' 
 x
Похідна степеневої функції
yx
n
y'  n  x
n 
Похідна показникової функції
ya
x
y '  a ln a
x
ye
x
y'  e
x
Похідна логарифмічних функцій
y  loga x

y' 
x ln a
y  ln x

y' 
x
Похідна тригонометричних функцій
y  sin x
y '  cos x
y  cos x
y '   sin x
y  tgx

y' 

cos x
y  ctgx

y'   
sin x
Похідна від обернених тригонометричних функцій
y  arcsin x
y' 

 x

y  arccos

y'  

 x
y  arctgx

y' 

 x
y  arcctgx

y'  

 x
Похідна складеної функції
y  f ( ( x))
y '  f '  ' x
Приклад:
y  sin ln 
x
 x
y '  cos ln  
 x   ln 
x 
 ln 
x

Формула похідної суми
y uv
y '  u ' v '
Приклад:


y   x  x  x


y'  x   x  
Формула похідної добутку
y  u v
y '  u 'v  u  v'
Приклад:
y  cos x  log x

y '   sin x  log x  cos x 
x ln 
Формула похідної частки
u
y
v
u 'v  u  v '
y' 

v
Приклад:
arcsin x
y
ln x


 ln x  arcsin x 

x


x
y' 
ln  x
Дякуємо за увагу!!!