Transcript Особливі випадки диференціювання

ОСНОВНІ ВИПАДКИ
ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ
Виконали: студентки 7 групи I курсу
Давиденко Юлія
Борозенко Валентина
ПЛАН ВИСТУПУ:
1. Диференціал функції
2. Особливі випадки диференціювання:
2.1. Неявна функція
2.2. Параметрична функція
2.3. Показникова функція
2.4. Логарифмічна функція
ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Функція називається диференційованою в точці х, якщо її
приріст в цій точці можна подати у вигляді:
f ( x)  A( x )x  a ( x, x )x,
де А(х) – дійсне число, а
lim a ( x ,  x )  0
x  0
ПОХІДНА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ
Якщо функція задана неявно f (xy) = a , необхідно знайти
похідну від лівої та правої частини, пам’ятаючи, що y є
деякою функцією від x.
ПРИКЛАД:
Знайти похідну функції y x  x  3 y .Дана функція задана неявно,
тому знаходимо похідну від лівої та правої частини, пам’ятаючи, що y
є деякою функцією від x :
2
2
2 y  y   x  2 xy  1  3 y 
2
2
2 y  y   x  3 y    2 xy  1
2
2
2

y ( 2 yx  3 )   2 xy  1
2 xy  1
2
y  
2 yx  3
2
2
ПОХІДНА ФУНКЦІЇ, ЗАДАНОЇ ПАРАМЕТРИЧНО
Якщо функція задана параметрично, тобто у вигляді:
, то похідна обчислюється за формулою:
yx

y t


xt
 x   (t )

 y   (t )
ПРИКЛАД:
 x  t2  t

3
y  t  4
Знайти похідну функції:
.
Функція задана параметрично, тому похідна функції:
 x   2 t  1
t
 
2
 y t  3 t

yx 
3t
2
2t  1
ПОХІДНА ПОКАЗНИКОВОЇ ФУНКЦІЇ
v(x)
Для знаходження похідної, що подана у вигляді
f ( x)  u ( x)
необхідно прологарифмувати функцію зліва та справа за основою е і
перейти до знаходження похідної добутку.
ПРИКЛАД:
Знайти похідну функції
. Функція задана у
вигляді f ( x )  u ( x ) v ( x ) , тому прологарифмуємо функцію
зліва та справа за основою е: ln y  ln( 1  cos x ) x  4 ,
ln y  ( x  4 )  ln( 1  cos x ) . Для знаходження похідної
скористаємося формулою добутку:
y  (1  cos x )
2
x 4
2
2
1
 y   2 x  ln( 1  cos x )  ( x  4 ) 
1
2
y
1  cos x
 (  sin x )
Тоді шукана похідна:
sin x ( x  4 )
2
y   ( 2 x  ln( 1  cos x ) 
1  cos x
)  (1  cos x )
2
x 4
ПОХІДНА ЛОГАРИФМІЧНОЇ ФУНКЦІЇ
Якщо функція подана у вигляді log  ( x )  ( x ) необхідно перейти
до нової основи логарифма (наприклад е), скориставшись формулою:
log
a
b
ln b
ln a
ПРИКЛАД:
3
2
y  log x ( x  x )
Знайти похідну функції
Перейдемо до нової основи логарифма,скориставшись
3
2
ln(
x

x
) .
формулою:
ln x
Тоді,
3x  2x
2
y  x  x
3
2
 ln x 
1
x
2
ln x
 ln( x  x )
3
2
ДЯКУЄМО ЗА УВАГУ