Transcript Завантажити
Творча група вчителів математики Антонова С.В. Сформулюйте теорему про площу трикутника Площа трикутника дорівнює півдобутку двох його сторін на синус кута між ними. Чому дорівнює площа трикутника АВС ? 1 1 1 S AB BC sin B AC BC sin C AB AC sin A 2 2 2 AB sin B AC sin C AB AC ВС sin C sin B sin A В А С Теорема синусів Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів N M MN NF MF sin F sin M sin N В F AB AC ВС sin C sin B sin A С А Записати теорему синусів для трикутників • • • • АВ ВС АС АВС sin C sin A sin B VX XR VR VXR sin R sin V sin X PO OH PH POH sin H sin P sin O UT TR UR UTR sin R sin U sin T Наслідки з теореми синусів Радіус описаного кола трикутника можна обчислити за формулою 𝒂 R= 𝟐𝒔𝒊𝒏𝜶 R- радіус описаного кола а- сторона трикутника α- протилежний їй кут 𝒂 𝒃 𝒂 2R = = = 𝒔𝒊𝒏𝜶 𝒔𝒊𝒏𝜷 𝒔𝒊𝒏𝜸 Теорема косинусів Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними N M F MN ² = MF ² + FN ² – 2MF 𝐅𝐍 ∙ 𝒄𝒐𝒔∠MFN Перший випадок Доведення : C Кут А - гострий CD – висота A ∆АDС : ∠D = 90 ° СD = AC·sin𝜶 ; AD = AC·cos𝜶 𝑩𝑪𝟐 = 𝑪𝑫𝟐 + 𝑫𝑩𝟐 ∆СDB : ∠D = 90 ° D B 𝑩𝑪𝟐 = 𝑪𝑫𝟐 + 𝑫𝑩𝟐 = С𝑫𝟐 + (𝑨𝑩 − 𝑨𝑫)𝟐 = =(AC·sin𝜶) 𝟐 +(𝑨𝑩 − AC·cos𝜶 )𝟐 = = 𝑨𝑪𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝑨𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑪𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝑨𝑪𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 𝑩𝑪𝟐 = 𝑨𝑪𝟐 ∙ (𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶) + 𝑨𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑪𝒄𝒐𝒔𝜶 BC ² = AC ² + AB ² – 2AB AC∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 Доведення : C Другий випадок Кут А - тупий CD – висота ∆АDС : ∠D = 90 °, D A B СD = AC·sin∠CAD= AC·sin(180° − ∠CAB)=AC·sin∠CAB AD = AC·𝒄𝒐𝒔∠CAD=AC·cos(180° − ∠CAB)= =−AC·cos∠CAB ∆СDB : ∠D = 90 °,𝑩𝑪𝟐 = 𝑪𝑫𝟐 + 𝑫𝑩𝟐 𝟐 𝟐 𝑩𝑪𝟐 = С𝑫𝟐 + (𝑨𝑩 + 𝑨𝑫)𝟐 =(AC·sin𝜶) +(𝑨𝑩 − AC·cos𝜶 ) = = 𝑨𝑪𝟐 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝑨𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑪𝒄𝒐𝒔𝜶 + 𝑨𝑪𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 𝑩𝑪𝟐 = 𝑨𝑪𝟐 ∙ (𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜶 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶) + 𝑨𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩 ∙ 𝑨𝑪𝒄𝒐𝒔𝜶 BC ² = AC ² + AB ² – 2AB AC∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 Записати теорему косинусів для трикутників • АВС АВ AC BC 2 AC BC cosC 2 2 AC XR AB VR BC 22XR ABVR BCcos cosRB VX 22 • VXR • POH • UTR 2 2 22 BC AB VR AC 22VX ABVR ACcos cosVA XR VX 2 2 2 PO2 OH2 PH2 2OH PH cos H VR VX XR 2VX XR cos X 2 2 2 OH PO PH 2 PO PH cos P UT22 TR 22 UR 22 2TR UR cos R PH OH OP 2OP OH cos O 2 2 2 TR UT UR 2UT UR cos U 2 2 22 UR UT TR 2UT TR cos T 2 2 2 Наслідки з теореми косинусів BC ² = AC ² + AB ² – 2AB AC∙ 𝒄𝒐𝒔𝜶 В AC ² + AB ² − BC ² 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 2AB · AC Якщо a² > b²+c² , cos ∠А <0 α A С ∠А – тупий, трикутник тупокутний. Якщо a² = b²+c², cos ∠А =0 А–прямий, трикутник прямокутний. Якщо a² < b²+c² , cos ∠А >0 ∠А – гострий, трикутник гострокутний. Установіть відповідність між сторонами трикутника (1-4) та його видом (а-г) 1. а=10,b=15,c=18 A. Гострокутний 2. а=5, b=7, c=9 3. а=5, b=12, c=13 Б. Прямокутний 4. а=3, b=4, c=8 Г. Не існує В. Тупокутний Наслідки з теореми косинусів Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін BD ²+ AC ² = 2· (AB ² + BC ²) B A C D Список використаних джерел • http://ito.vspu.net/SAIT/inst_kaf/kafedru/matem_fizuka_tex_ osv/www/Naukova_robota/data/Konkursu/2009_2010/boych yk_2009_2010/matematuka/matematuka.html • http://www.oktyabrskiyruo.edu.kh.ua/nasha_biblioteka/mediateka/pidruchniki/ • http://nsportal.ru/karatanova-marina-nikolaevna http:/ • /le-savchen.ucoz.ru • http://le-savchen.ucoz.ru/index/0-91 • http://le-savchen.ucoz.ru/index/0-92 • http://www.zavuch.info/methodlib/371/38882