Transcript "Інтеграл" Автор Петрів Я.Г. ( Загір`я)

Інтеграл та його
застосування.
Первісна та її
властивості
Диференціювання функції f(x) – операція
знаходження її похідної .
Наприклад. Знайти похідну функції:
а) f ( x)  x3  1; б) f ( x)  cos2 x .
Розв’язання
'
3
'
а) f ( x)  ( x  1)  3x2;
б) f ' ( x)  (cos2x)'  2 sin 2x .
Знаходження функції f(x) за даною її
похідною f ' ( x) називається операцією
інтегрування.
Операція інтегрування обернена до
операції диференціювання.
Наприклад.
а) Якщо f ' ( x)  sin x , то f ( x)   cos x ,
'
оскільки ( cos x)  sin x .
1
'
б) Якщо f ( x)  2 x , то f ( x)  x ,
оскільки ( x )'  1 .
2 x
Функція F(x) називається первісною для
функції f(x) на даному проміжку, якщо для
будь-якого х з цього проміжку
F ( x)  f ( x)
'
Наприклад.
Функція F ( x)  f ( x)  1 x 4  2
-
4
первісна для функції f ( x) 
1
x
на
проміжку (;) , оскільки при x  (;)
'
1

F ( x)   x 4  2   x 3  f ( x).
4

'
2
2
Основна властивість первісних
Якщо функція F(x) є первісною для
функції f(x) на даному проміжку, а С –
довільна стала, то функція F(x)+С також є
первісною для функції f(x), при цьому
будь-яка первісна для f(x) на даному
проміжку може бути записана у вигляді
F(x)+С, де С– довільна стала.
Вираз F(x)+С - загальний вигляд
первісної для функції f(x).
Наприклад.
Якщо F ( x)  2 x - первісна для функції
1
на проміжку (0;) , то
x
1
первісною для функції f ( x)  x
f ( x) 
на
проміжку (0;) є функція F ( x)  2 x  C,
де С – довільна стала, оскільки
F ' ( x)  (2 x  C)' 
 (2 x ) '  C '  2 
1
2 x
0
1
x
 f ( x).
Геометричний зміст основної
властивості первісних
Графіки всіх первісних для даної
функції f(x) одержується з будь-якого з них
шляхом паралельного перенесення вздовж
осі Оу.
3
Сукупність усіх первісних даної функції
f(x) називається невизначеним
інтегралом.
Позначається:  f ( x ) dx ; тобто
 f ( x)dx  F ( x)  C, де F(x) – одна з
первісних для функції f(x), С – довільна
стала.
 - знак інтеграла, f(x) підінтегральна
функція, f(x)dx – підінтегральний вираз.
Наприклад.
3
4
F ( x)  x4 а)  4 x dx  x  C , оскільки
3
4 '
3
первісна функції f ( x)  4x ((x )  4x ).
б)  cos xdx  sin x  C, оскільки F ( x)  sin x первісна для функції '
f ( x)  cos x((sin x)  cos x).
Таблиця первісних (невизначених інтегралів)
Функція f(x)
Загальний вигляд первісних
F(x)+С, де С - стала
0
С
 0  dx  C
1
х+С
 dx  x  C
x (  1,  R)
x 1
C
 1
1
x
1
x
ln x  C
sin x
 cos x  C
cos x
sin x  C
2 x C
1
sin 2 x
1
cos 2 x
 ctgx  C
ex
ex  C
a x (a  0, a  1)
tgx  C
ax
C
ln a
Запис за допомогою
невизначеного інтеграла
x 1
 x dx    1  C; (  1,  R)

1
 x dx  ln x  C

1
dx  2 x  C
x
 sin xdx   cos x  C
 cos xdx  sin x  C
1
 sin
2
x
dx  ctgx  C
1
 cos
e
dx  tgx  C
2
x
x
 ex  C
x
a 
ax
C
ln a
4
Правила знаходження первісних
(правила інтегрування)
1. Якщо F - первісна функції f (x) , а G –
первісна функції g (x) , то F+ G –
первісна функції
Інтеграл від суми дорівнює сумі
інтегралів від доданків, тобто
 ( f ( x)  g ( x)) dx  
f ( x)  g ( x)
f ( x)dx   g ( x)dx
Наприклад.
Знайти первісну для функції:
а) f ( x)  1  x ; б) f ( x)  sin x  cos x .
x
Розв’язання
x2
а) F ( x)  ln x  2  C ;
б) F ( x)   cos x  sin x  C .
Наприклад.
Обчислити:
 1
x
а)   e x  1 dx; б)   sin 2 x  a dx .


x

Розв’язання
а)  e x  1 dx  e x dx  1 dx 


x

x
 e x  2 x  C;
б)   12  a x dx   12 dx   a x dx 
 sin x
5
 ctgx 

ax
 C.
ln a
sin x
Правила знаходження первісних
(правила інтегрування)
2. Якщо F - первісна функції
f (x), а k і b –
сталі, то kF – первісна для функції kf (x) .
Наприклад.
Знайти первісну для функції:
4
1 x
а) f ( x)  2 ; б) f ( x)  a .
cos x
5
Розв’язання
а) F ( x)  4tgx  C ;
x
x
б) F ( x)  1  a  C  a  C.
5 ln a
Сталий множник виноситься за знак
інтеграла, тобто  (kf ( x)) dx  k  f ( x)dx , де k –
стала.
5 ln a
Наприклад. Обчислити:
а) 35 x 6 dx ; б) 1 dx .

4 x
Розв’язання
7
а) 35x 6dx  35 x5dx  35  x  C 


7
 5 x  C;
б) 1 dx  1 1 dx  1  2 x  C 
4 x 4 x
4
7

6
x
 C.
2
Правила знаходження первісних
(правила інтегрування)
f ,(xа) k і b –
3. Якщо F - первісна функції
1
сталі (k  0) , то F (kx  b) - первісна для
функції f (kx  b) . k
Наприклад. Знайти первісну для функції:
а)f ( x)  (2 x  3)
4
3 
; б)f ( x)  cos 4 x 


Розв’язання
(2 x  3) 5
(2 x  3) 4 1 1
C
 C 
а)F ( x) 
10
4 1
2
;
б)F ( x)  sin  3 x   1  C  4 sin 3 x   C
3
4
.


3
4 
4
1
 (kx  b)dx  k F (kx  b)  C
Наприклад. Обчислити:
а) (7 x  9)3dx ; б) a 2 x dx .


Розв’язання
а) (7 x  9)3dx  (7 x  9)  1  C 
4
4
7
(7 x  9)
C
28
2x
2x
б) a 2 x dx  a  1  C  a  C
ln a 2
2 ln a

7
.
4
Криволінійна трапеція та її площа
Криволінійною трапецією називається
фігура, обмежена графіком невід’ємної
на відрізку a; b функції, віссю Ох і
прямими x=a і x=b.
Теорема. Нехай y  f (x) - непарна і
невід'ємна на відрізку a; b функція, а S –
площа відповідної криволінійної трапеції.
Якщо F (x)- первісна для f (x) на інтервалі,
F (xa) .
що містить відрізок a; b , то S  F (yb) sin
Наприклад.
Наприклад. Обчислити площу криволінійної
трапеції, обмеженої лініями: y  sin x , y  0 ,
x=0, x   .
Розв’язання
y  sin x - синусоїда; y  0- вісь Ox; x=0 – вісь
Оу; x   - пряма, що проходить через
точку  ;0 паралельно осі Оу.
Для функції y  sin x первісною є F ( x)   cos x;
a=0, b =  .
Нехай S - шукана площа, тоді S  F (b)  F (a)..
S  F ( )  F (0)   cos  ( cos0) 
8
(кв. од.)
Відповідь: 2 кв. од.
 (1)  1  2
Визначений інтеграл
f (x) - неперервна на проміжку І;
F (x) - первісна для на проміжку І;
F (b)  F (a) - приріст первісної.
Число F (b)  F (a) називається визначеним
інтегралом від a до b від функції f (x) , a  I ,
b  I.
Позначається:
 b
a)  f ( x)dx; чит ат ься:
 a

b
б ) F (b)  F (a)  F ( x)

a

9
"інт еграл
від
а
до b
еф від
ікс де ікс";
Формула Ньютона - Лейбніца
b
b
a
a
 f ( x)dx  F ( x)
f (x) - підінтегральна функція;
f ( x)dx - підінтегральний вираз;
a - нижня межа інтегрування;
b - верхня межа інтегрування;
x – змінна інтегрування.
Основні властивості визначених інтегралів
b
b
b
a
a
a
1)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b
b
a
a
2)  kf ( x)dx  k  f ( x)dx , (k – стала);
10
Обчислення об’ємів за допомогою
визначеного інтеграла
Нехай криволінійна
трапеція обмежена зверху
графіком функції y  f (x), яка
неперервна і невід’ємна на
відрізку a; b, віссю Ох і
прямими x=a і x=b.
Внаслідок обертання цієї
криволінійної трапеції
навколо осі Ох утворилося
тіло, об’єм якого можна
обчислити за формулою:
Наприклад. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо
осі абсцис фігури, обмеженої лініями:
,
, y  0, y  x.2
x 1
x2
Розв’язання
- вісь Ох;
y  0 - пряма, що проходить через
x  1 (1;0) паралельно осі Оу;
точку
- пряма, що проходить через
x  2 (2;0) паралельно осі Оу;
точку
- парабола.
y  x2
b
V    f 2 ( x)dx.
х
-2
-1
0
1
2
у
4
1
0
1
4
a
а =1, b=2 – межі інтегрування.
2
2
1
1
V    ( x 2 ) 2 dx    x 4 dx   
x5
5
2
1

 25 15 
1 (куб. од.)
 32 1 
           6 
5
5
 5 куб.
 5 5
Відповідь:
од.
1
6 
5
11
Вчимося розв’язувати
1. Знайти загальний вигляд первісної
для функції:
а) f ( x)  14  cos x ;
x
б) f ( x)  3  2 x;
2 x
в) f ( x)  x  cosx ;
1
2
x
2
1
2
x
2
г) f ( x)  sin  cos .
Розв’язання:
1
n
а) 1) Використаємо x  x  n
x 41
4
F ( x) 
 sin x  C;
f
(
x
)

x

cos
x
;
 4 1
2) Використаємо для функції f ( x)  x1
3
1
x
(  1) первісною є функція F ( x)  x . F ( x)   3  sin x  C; F ( x)   3x 3  sin x  C.
 1
1
1
F ( x)   3  sin x  C.
F ( x)   3 Відповідь:
sin x  C.
3x
3x
.
y  F (x) 3 1
б) 1) Використаємо, якщо
f ( x)  
 2 x;
2 x
первісна для функції y  f (x), то Y  kF (x- )
11
первісна для функції: y  kf (x).
1 F ( x)  3  2 x  2  x  C ;
2) Використаємо: для функції f ( x) 
2
11
x
2
- первісною є функція F ( x)  2 x .
x
F ( x)  3 x  2 
2
 C;
F ( x)  3 x  x 2  C.
12
Відповідь:
F ( x)  3 x  x 2  C.
m
в) 1) Використаємо: n x m  x n .
2) Для функції f ( x)  x (  1)
первісною є
x  1
F ( x) 
 1
.
1
f ( x)  x 2  cosx;
F ( x) 
3) Якщо F (x) - первісна для функції f (x),
1
1
2
x
1
 sin x  C ;
1

1
2
3
1
то k F (kx  b)(k і b – сталі)
для функції f (kx  b) .
– первісна
x2 1
F ( x) 
 sin x  C ;
3 
2
F ( x) 
3
2
2x
1
 sin x  C;
3

2
1
x 3  sin x  C ;
3

2
1
F ( x)  x x  sin x  C.
3

2
1
Відповідь: F ( x)  x x  sin x  C.
3

F ( x) 
г) Якщо
f (x, )то
F (x
)
- первісна
для функції
1
F (kx  b)(k
k
і b – сталі) –
первісна для функції
f (kx  b.)
1 1 
x 1 1
x
    cos     sin  C ;
2 1 
2 2 1
2
2
2
1
x 1
x

F ( x)   2    cos    2  sin  C;
2
2 2
2

x
x
F ( x)   cos  sin  C.
2
2
F ( x) 
Відповідь: F ( x)   cos x  sin x  C.
2
13
2
y знайти
f (x) первісну,
2. Для функції
графік якої проходить через точку А:
а) f ( x)  4x3  2x  3, А(-1;-3);
2
б) f ( x)  3x 
3
2 x
, А(1;2);
 3
x
в) f ( x)  5 sin  2 cos 3x , А  ;  .
2
2
2
Розв’язання:
1) Для функціїy  f (x) запишемо
первісну в загальному вигляді.
2) У записану рівність замість х
підставимо абсцису точки А і
знайдемо значення С.
x 31
x11
а) F ( x)  4  3  1  2  1  1  3x  C;
F ( x)  x 4  x 2  3x  C; А(-1;3);
 3  (1) 4  (1) 2  3  (1)  C;  3  1  1  3  C;
С=-6. Відповідь: F ( x)  x 4  x 2  3x  6.
x 21 3
  2 x  C; F ( x)  x 3  3 x  4;
2 1 2
2  13  3  1  C; 2  1  3  C;
б) F ( x)  3 
С=4. Відповідь:F ( x)  x3  3 x  C .
в) F ( x)  5  1    cos x   2  1  sin 3x  C ;
14
А(1;2);
1 
2
3
2 x 2
 3
F ( x)  10  cos   sin 3x  C ; A ; ;
 2 2
2 3
2
  2   
  10cos : 2   sin 3    C;
3
2  3  2
2
2 2
2
 2
3
 (1)  C;
  10 cos  sin
 C ;   10
3
2 3
3
4 3
2
x 2
Відповідь:F ( x)  10  cos 2  3  sin 3x  5 2.
C  5 2.
3. Обчислити інтеграл:

4
dx
в)  cos 2 x ;
0
1
а)  3x dx ;
5
0
б)  3  12 dx ;
 x
1
1

г)
2
 sin 2 xdx.

6
Розв’язання:
1) Знайдемо первісну підінтегральної
функції.
2) У первісну замість х підставимо
спочатку верхню межу інтегрування,
потім – нижню та обчислимо різницю
одержаних значень.
1
1
5
5
а) 3x dx  3 x dx  3 
0
0
б)  3 
1
1
x 51
5 1
1
 3
0
1
x6
6

0
1 6
x
2
1

0
1 6 1 6 1
1   0  ;
2
2
2
1
1 
x 21
2
2
dx

3

x
dx

3
dx

x
dx

3
x





 2 1
x2 
1
1
1
1
1


1
1
1
1 1 
 (3  1  3  (1))      6  2  8;
1 1


4
4
dx
1

в)  cos2 x  cos2 x dx  tgx
0
0


2
2
1
г)  sin 2 xdx   cos 2 x
2



4
 tg

4
 tg 0  1  0  1
0
 1
1
 
  
  cos 2      cos 2    
2
 2
 6 
 2
6
6
1
1

1
1 1 1 1 3
  cos   cos    (1)      .
2
2
3
2
2 2 2 4 4
1
3
Відповідь: а) 2 ; б) 8; в) 1; г) 4 .
15
1

4. Обчислити площу фігури, обмеженої
лініями:
а) y  x 2  2; y  4  x;
б) y  x 2  3x  4; y  4  2 x 2 .
Розв’язання:
Вчимося
розв’язувати
а) 1) В одній системі координат будуємо y  x2  2 - парабола, вітки якої напрямлені вгору (а=1,
дані лінії.
а > 0).
(0;2) – вершина параболи.
х
1
2
3
у
3
6
11
y  4 x
- пряма, яка
проходить через точки:
(0;4), (2;2).
2) Знаходимо абсциси точок перетину
даних ліній – межі інтегрування.
3) Обчислимо площу утвореної фігури,
використавши:
b
S   ( f1 ( x )  f 2 ( x )) dx
a
16
де - f1 ( x) функція, графік якої обмежує
f ( x)
фігуру зверху, 2
- функція, графік
якої обмежує фігуру знизу.
Межі інтегрування: x 2  2  4  x; x 2  x  2  0; x1  2; x2  1.
а=-2, b=1 – межі інтегрування.
1
1
1
S   (4  x  ( x 2  2))dx   (4  x  x 2  2)dx   ( x 2  x  2)dx 
2
2
2
 x

 x

 13 12
1
x
x
  

 2 x     
 2 x       2  1 
2
 2 1 11
 2  3
 2  3 2
 2
21
11
1
3
2
1
 (2) 3 (2) 2

1 1
8 4

  

 2  (2)      2     4  
3
2
3 2
3 2



1 1
8
1
(кв.од.)
   2 24 4
3 2
3
2
б) 1) Будуємо в одній системі
координат графіки функцій
2
y  4  2x2.
y  x  3x  4та
y  x2  3x  4 - парабола, вітки якої напрямлені вгору (а=1, a>0).
m
 (3)
 1,5; n  (1,5) 2  3  1,5  4  1,75;
2 1
(-1,5; 1,75) – вершина параболи.
х=1,5 – вісь симетрії параболи.
Точки перетину параболи з віссю Ох:
у=0, x2  3x  4  0 ; D  (3) 2  4 1 4  7, D  0;
рівняння коренів не має.
Отже, з віссю Ох парабола не
перетинається.
х
2
3
4
у
2
4
8
y  4  2x2 - парабола, вітки якої
напрямлені вниз (а=-2, a<0).
m
0
2
 0, n  4  2  0  4;
2  (2)
(0;4) – вершина параболи.
17
х
1
2
у
2
-4
2) Знаходимо межі інтегрування –
розв’язуємо рівняння
x 2  3x  4  4  2 x 2 .
Межі інтегрування:
x 2  3x  4  4  2x 2 ;
3x 2  3x  0;
3x( x  1)  0;
х=0, х=1.
а=0, b=1 – межі інтегрування.
3) Обчислюємо площу фігури,
врахувавши, що парабола
y  x2  3x  4 обмежує
фігуру
знизу, а парабола
y  4  2x2
- зверху.
1
S   ((4  2 x 2 )  ( x 2  3x  4))dx 
0
1
1
0
0
  (4  2 x 2  x 2  3x  4)dx   (3x 2  3x)dx 
1
1

x 2 1
x11 
3 

    x3  x 2  
   3 
 3
2 1
1  1 0 
2 0

3  
3


   13  x 2     03   02   1  1,5 
2  
2


 0,5
(кв. од)
Відповідь: 0,5 кв.од.
18