Transcript Розв`язування прямокутних трикутників

Автор:Ковшун Ганна –
учениця 10 класу.
Керівник: Ковшун М.І. –
вчитель інформатики.
РОЗ’ЯЗАТИ ПРЯМОКУТНИЙ ТРИКУТНИК
ОЗНАЧАЄ:
За відомими його елементами, знайти невідомі
елементи.
Існує 4 типи задач.
Розв’язати прямокутний трикутник:
1. За двома катетами.
2.За гіпотенузою і катетом.
3.За гіпотенузою і гострим кутом.
4.За катетом і протилежним кутом.
Для розв’язання цієї задачі треба знати: теорему Піфагора і
співвідношення між сторонами і кутами прямокутного
трикутника.
Розглянемо окремо ці задачі.
Задача1
Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за двома
катетами: a=3, b=4.
Розв’язання
Треба знайти:
Хай АС=3, ВС=4.
гіпотенузу АВ та гострі кути А і В.
Гіпотенузу знайдемо за теоремою Піфагора:
АВ2=АС2+ВС2. Звідси АВ2=32+42;
АВ2=9+16; АВ2=25; АВ  25  5, АВ=5.
AC 3
SinA

  0,6;
Кут А знайдемо із співвідношення:
AB 5
Тоді
Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то
А=36052/.
В=900-36052/=5308/.
Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за гіпотенузою
с=13 і катетом а=5.
Задача2
Розв’язання
Хай АВ=13 і ВС=5.
Треба знайти катет АС та
гострі кути: А та В.
За теоремою Піфагора: АС2=АВ2-ВС2;
АС2=132-52; АС2=169-25; АС2=144;
Кут А знайдемо із співвідношення:
Тоді А=22037/;
АС=12.
BC 5
SinA 

 0,3846 ;
AB 13
Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то:
В=900-22037/=67023/.
Відповідь: 12, 22037/, 67023/.
Задача3
Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за гіпотенузою с=2
та гострим кутом a=200.
Розв’язання
Так як сума гострих кутів прямокутного
трикутника дорівнює 900, то:
В=900-200=700.
В=700.
АС будемо шукакти із співвідношення:
АС  АВ  Sin70 ,
0
АС
 SinB ,
АВ
АС=2*0,9397=1,8794  1,88; АС=1,88.
ВС
 SinA ; ВС=АВSin200;
ВС шукаємо із співвідношення:
АВ
BC=2*0,3420=0,6840  0,68.
Відповідь: 700, 1,88, 0,68.
ВС=0,68.
Задача4
Знайти невідомі сторони й гострі кути
прямокутного трикутника за катетом а=3 і
гострим кутом a30027 / .
Розв’язання
Хай ВС=3 і a=30027/.
Треба знайти АС, АВ, В.
АВ знайдемо із співвідношення:
ВС
3
ВС
АВ


 5,92. АВ=5,92.
 SinA ;
0
Sin30 27' 0,5068
АВ
ВС
АС знайдемо із співвідношення:
 tgA;
АС
ВС
3
АС 

 5,10. АС=5,10.
0
tg 30 27' 0,5879
Так як сума гострих кутів прямокутного трикутника 900, то:
В=900-30027/=59033/.
Відповідь: 5,92; 5,10; 59033/.
Для тих, хто хоче знати більше:
Задача1
Знайти Х за даними зображеними на
малюнку.
Розв’язання
Треба знайти висоту AD проведену до
сторони трикутника АВС.
Тобто треба знайти AD.
Розглянемо DABD.
Він прямокутний.
AD
Тоді із співвіднош ення
 SinB ; Знаходимо, що AD=AB*SinB;
AB
Тобто AD=a Sina.
Задача2
Треба знайти сторону прямокутника
AD та його діагональ АС.
Розв’язання
Так як протилежні сторони
прямокутника рівні, тобто:
AB=CD=a.
Розглянемо прямокутний
трикутник ACD.
AC знайдемо із співвідношення:
CD
 Sina ,
AC
CD
AC 
;
Sina
a
AC 
.
Sin a
CD
CD
a
 tga , AD 
, AD 
.
AD
tga
tga
Задача3
Знайти Х та У за даними на малюнку.
Розв’язання
Розглянемо прямокутний трикутник
ACD.
Знайдемо АС: DAC=BAD=a
AC
 Cos a , AC  ADCos a , AC  lCos a ;
AD
Знайдемо DC:
DC
 Sina , DC  ADSin a , DC  lSina ; Розглянемо D АВС:
AD
AC
AC
lCos a
l
 Sin 2a , AB 
, AB 

.
AB
Sin 2a
Sin 2a 2Sina
BC
l
l  2Sina  Cos a
 Sin 2a . BC  ABSin 2a . BC 
 Sin 2a . BC 
 l  Cos a .
AB
2Sina
2Sina
BD=BC-DC
BD=l*Cosa - l*Sina  l*(Cosa – Sina)
Задача4
Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо D CDB:
DB
 Cos  , DB  CBCos  , DB  bCos  ,
CB
Розглянемо DАСВ:
AC
 tg , AC  CBtg  , AC  btg .
CB
Задача5
Знайти Х та У за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо D АВС:
AB
a
AC 

.
tga tga
AD
 Cos  ,
AC
AB
 tga ,
AC
DC
 Sin ,
Розглянемо D ADC:
AC
DC  ACSin , DC  a  Sin  aSin .
AD  ACCos ,
a
aCos
AD 
 Cos 
.
tga
tga
tga
tga
Задача6
Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Проведемо ВК ^ AD.
Тоді BC=KD=6. BK=CD= 2
ABK=300.
K
Відповідь: 8.
AK
 tg 30 0 ,
BK
3
AK  BKtg30  2 3 
 2.
3
0
AD=AK+KD,
Тоді
3
AD=2+6=8.
Задача7
Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Так як трапеція ABCD рівнобічна, то:
AD=BC+2ED.
Знайдемо ED.
Розглянемо D CDE.
CDE=600.
CE
CE
0
;
 tg 60 , ED 
Тоді
0
tg 60
ED
3
ED 
 1.
3
Відповідь: 7.
Тоді AD=5+2*1=7.
Задача8
Знайти Х за даними малюнка.
Розв’язання
Розглянемо D ADC:
Він прямокутний
Катет DC лежить проти кута 300, а тому
дорівнює половині гіпотенузи АС.
Отже АС=8.
Розглянемо D АВС.
Він рівнобедрений. Тому АЕ=ЕС=4.
Розглянемо трикутник АВЕ.
Він прямокутний.
ВЕ
3 4 3
0
0
BE

AE

tg
30
,
 tg 30 ,
BE  4 

.
АЕ
3
3