Transcript Моделювання динамічних систем
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Моделювання динамічних систем З допомогою апарату диференціального числення можна вияснити основні координат, тощо.
якісні характеристики поведінки складної функції навіть без детальної побудови її графіка.
Для цього досить виявити особливі точки, у яких її похідні перетворюються в нуль, визначити ділянки зростання та спадання функції, знайти точки перетину з осями Фазовий простір. Фазовий об’єм.
1
k
2
x xy
k
1
xy
2
y
.
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Особливі (стаціонарні) точки
(
Моделювання динамічних систем
x
0 , 0 )
Приклад 1.
Лінійні системи.
dx dt dy dt
ax
by
cx
dy x
Ae
t y
Be
t
A
B
aA
bB
cA
dB a
c d b
0 1 , 2
a
d
2 (
a
d
) 2 4 (
ad
bc
) 4
x y
c
11
e
1
t c
21
e
1
t
c
12
e
2
t
,
c
22
e
2
t
.
У випадку λ 1 , λ 2 ≠ 0 існує лінійне однорідне перетворення координат, що приводить систему до канонічного вигляду
d
dt
1
d
2
dt
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Моделювання динамічних систем Випадок 1.
λ 1 і λ 2 дійсні та одного знаку
d
d
Сімейство парабол.
2 1
c
,
де
2 1 λ 1 і λ 2 < 0 стійкий вузол; λ1 і λ2 > 0 нестійкий вузол .
.
Випадок 2.
λ 1 і λ 2 дійсні та різних знаків
d
d
c
,
де
2 1 Сімейство гіпербол.
Випадок 3.
Один з λ 1 і λ 2 є нульовим (напр. λ 1 ) , коли Система має цілу пряму
ax
by
0 точок рівноваги
ad
bc
0 Наближення, або віддалення від положення рівноваги залежить від знаку другого кореня 2
a
d
Моделювання динамічних систем
.
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Випадок 4.
λ 1 і λ 2 комплексно-спряжені 1
p
iq
u
iv
2
u p
iv iq du
pu
qv dt dv
dt pv
qu
*
u
*
v dv du
pv
qu pu
qv r
ce p
q du dt
i dv dt
(
p
iq
)(
u
iv
)
du dt
i dv dt
(
p
iq
)(
u
iv
)
u
v
r
cos
r
sin
dr d
p r q
1 2
d
dt
u
2
p
v
2 Re Re 0 0 Стійкий фокус Нестійкий фокус
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Моделювання динамічних систем
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Моделювання динамічних систем Приклад 2. Лінійний осцилятор із затуханням.
x
2
x
x
0 1 .
0 1
y x
x
Ae
t
cos(
t Ae
t
C
), cos(
t
C
) sin(
t
1
C
2 ) 2 .
1
x
Ae p
1
t
Be p
2
t
, (
y
p
1
x
)
p
1
C
(
y
p
2
x
)
p
2
p
1 , 2 1 2 ( 2 1 )
λ = 0 Центр λ < 1 Стійкий фокус λ > 1 Стійкий вузол
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Приклад 3. Нелінійні системи. Сідло-вузол.
x x
1 2
x
1 2
x
2
Приклад 4.
sin
Маятник.
0
x
1
x
,
x
2
Моделювання динамічних систем
y
y
sin(
x
) Коливний рух Обертовий рух Сепаратриса.
Ділить фазовий простір на області з різною поведінкою
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Маятник з тертям.
Моделювання динамічних систем Приклад 5. Нелінійна система в полярних координатах . Фокус і граничний цикл.
( ) Y λ < 0 Y λ > 0 Х Х (x 0 ,y 0 ) Рис. 2. Фокус і граничний цикл.
Теорема Бендиксона – Пуанкаре (без доведення).
Фазова траекторія на площині може піти у безмежність, «впертися» в особливу точку, або «намотатися» на граничний цикл.
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Поле напрямків .
dx dt dy dt
f
(
x
,
y
)
g
(
x
,
y
)
dy dx
g
(
x
,
y
)
f
(
x
,
y
)
tg
Метод ізоклин .
dy dx dy
dx
const y
2
x
2
Моделювання динамічних систем
Лекція 6. Якісна теорія динамічних систем.
Моделювання динамічних систем Література.
1. Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора: Учеб. пособие. Москва-Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2002, 144 с.
2. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем.
http://sins.xaoc.ru/pdf/articles/articles_r028.pdf