Transcript Лекція 10 (Теорія біфуркацій)

Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
На роздоріжжі.
Біфуркації наче факели освітлюють шлях від досліджених систем
до недосліджених.
В.І.Арнольд
 dui
 Fi (u1 ,..., un , k1 ,..., km )

 dt
ui (0)  ui
i  1,..., n
 du
 dt  v

 dv  av  b(u  u 3 )
 dt
Фазовий портрет системи дає
якісне описання її поведінки у часі
(зокрема
стійкості)
за
різних
початкових умов при фіксованому
наборі параметрів.
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
А як реагує система на зміну параметрів ?
Якісна перебудова фазового портрета системи за плавної зміни її
параметрів називається біфуркацією.
Біфуркаційні діаграми
Стійка
та
нестійка
гілка
діаграми можуть зіштовхнутись
та анігілювати.
Це змушує
систему виконати революційний
стрибок.
Бовдурія.
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
Параметричні діаграми.
x  bx  cx  0
mx  rx  sx  0
x  e t
D  b 2  4c
 2  b  c  0
Статична нестійкість
b
v
x
v
Стійкий
вузол
D=0
v
x
x
v
стійкий
фокус
v
центр
x
x
С (жорсткість)
v
Сідло
D = 0 не є
біфуркацією,
оскільки не
впливає на
стійкість
v
x
x
нестійкий
фокус
v
x
Нестійкий вузол
D=0
Динамічна нестійкість
(затухання)
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
Біфуркації.
dx
 F (x, λ )
dt
  *,   *,   *
Фазові портрети є топологічно еквівалентними,
якщо існує невироджене неперервне перетворення
координат, яке переводить всі елементи одного
фазового простору в елементи другого.
Якщо фазові портрети при    та    топологічно не еквівалентні,
*
то    називається біфуркаційним значенням параметра.
*
*
Біфуркації положення рівноваги.
1. злиття двох станів рівноваги в один
2. народження граничного циклу
3. поява трьох станів рівноваги з одного
1. Біфуркація “сідло-вузол”
(дотична,катастрофа складки)
xn 1    xn2
x    x 2 2
x  x  x 3
x  x  x
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
Поява трьох станів рівноваги з одного
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
2. Біфуркація Хопфа (транскритична,
народження граничного циклу)
2
n 1
n
n
x
 x  x
Моделювання динамічних систем
3. Біфуркація “Вила” (посткритична,
втрата симетрії, збірка)
3
n 1
n
n
 x  x
x
Біфуркація Андронова-Хопфа.
     (   )
   

Y
Y
λ<0
Х
(x0,y0)
Рис. 2. Фокус і граничний цикл.
λ>0
Х
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
“Жорсткі” біфуркації (катастрофи).
    (   2   4 )
   

Y
Стаціонарними траекторіями системи є фокус і два граничних цикла
Y
Х
λ < -1
“Жорсткі” біфуркації
змінюють не тільки самі
атрактори, а й басейни
їх притягування
 1  0
 2  1  1  

Y
Х
-1 < λ < 0
“Чорна діра”
Х
λ>0
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
Біфуркація сідло-вузол. Народження граничного циклу.
 x1   x  
 x   x
2
 2
Y
2
1
Y
Х
Х




 x1  x1 1  ( x12  x22 )  

 x2  x2 1  ( x12  x22 )
λ>0
λ=0
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
Ієрархія
МЕГА
Керуючі параметри
МАКРО
Параметри порядку
МІКРО
Лекція 10. Біфуркації в нелінійних системах.
Моделювання динамічних систем
Література.
1. Томпсон Дж. М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике: Пер. с англ.
– М.: Мир, 1985, – 254 с.
2. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций). – М .: Изд-во физикоматематической литературы, 2001.--296 с.--ISBN 5-94052-044-8.