Transcript Лекція 8 (Стійкість)

Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Пороговий характер якісних змін у природі.
Кількість переходить у якість стрибком.
Вірність у коханні подібна стійкості
корабля на штормових хвилях
2-й закон діалектики.
(власне)
Стійкість – здатність системи до збереження свого поточного стану в
умовах зовнішнього впливу.
Нестійкий розв’язок – то є зле.
Еволюцію, як переходи кількості в якість першим зрозумів Г.Гегель.
Забування початкових умов.
Нелінійна реакція системи може спричиняти до швидкого зростання
окремих її параметрів (енергетичних, геометричних, тощо), які у всіх
випадках є обмеженими. За умов вичерпування запасу міцності внутрішніх
зв’язків система “розвалюється” на складові частини.
У такий спосіб Природа звільняється від систем, які перестали відповідати
зовнішньому оточенню. Вона “подрібнює” вже непридатний матеріал,
ретельно його “перемішує” каскадом біфуркацій ( щоб якнайдалі відійти від
“застарілого” варіанту) і формує нову стійку форму.
Класична європейська наука (епоха Відродження – кінець ХХ ст.) була
побудована для систем у стійкому стані.
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Моделі стійкості.
У небесній механіці рух важався стійким, якщо відбувався в обмеженій
області простору (Лагранж,1736-1813).
Стійкість за Пуассоном передбачає нескінченну кількість повернень
траекторії до як завгодно малого ε–околу будь-якої наперед вибраної її точки
.
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Якщо траекторія між регулярними проходженнями через ε окіл кілька разів
оминає його (і тим частіше «промахується», чим менше ε), то такий рух називають квазіперіодичним
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Рух системи називаєься стійким за Ляпуновим, якщо всі інші
можливі її рухи, котрі мало відрізняються від нього у початковий
момент часу, і далі мало будуть від нього відхилятися на всьому
часовому інтервалі спостереження.
Задамося двома сусідніми траекторіями X(t) та Y(t) , що стартують з
близьких точок х0 та y0 відповідно. Тоді, згідно з Ляпуновим,
траекторія X(t) є стійкою, якщо для довільно вибраного числа ε > 0,
знайдеться таке δ > 0, що за старту δ–близьких траекторій || х0– y0|| < δ
їх розходження залишиться ε–обмеженим ||X(t) – Y(t)|| < ε у будь-який
момент часу t > 0
Якщо крім наведених умов стійкості виконується ще й:
lim || X(t) - Y(t) ||  0
t 
то траекторія називається асимптотично стійкою. А якщо зменшення початкового
збурення має експоненціальний характер:
||X(t) - Y(t)||  Me γ(t t0 )||x0  y0||
то і стійкість називається експоненціальною.
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Аналіз стійкості.
Порівняння двох траекторій у підході Ляпунова дало змогу використати потужний і добре розроблений апарат варіаційного числення. Розглянемо модель:
dx
 F (x)
dt
де x – вектор шуканих функцій (х1, х2, … , хn) у nмірному фазовому просторі.
y(t)  x(t)  ~
x(t) - слабко збурений розв’язок.
dx d~x

 F(x)  A(x)~x  O(~x 2 ) , де матриця Якобі
dt dt
d~
x
 A(x (t))~
x
dt
 F1
 x
 1
A 
 Fn
 x1




- стійкість у першому наближенні.
F1 
xn 

 
Fn 
xn 

Для розуміння ідеї знаходження числових показників стійкості розглянемо
спочатку модель з постійними у часі коефіцієнтами матриці А, тоді
 ~x1s 
 ~x1s 
 
 
s     A   
 ~x 
 ~x 
 ns 
 ns 
s  1, ... , n
μs – власні числа
xs - власні вектори
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Отож, невеликі (у межах застосовності лінійного наближення) початкові
d~
xs
 s ~
xs у часі
збурення системи у напрямках власних векторів
dt
поширюються експоненціально
~
xs  e st
Таким чином, тільки за від’ємності дійсних частин всіх власних
значень збурення надалі залишатимуться обмеженими, і, навпаки, для
нестійкості системи досить наявності хоча б одного власного числа з
додатною дійсною частиною. В теорії звичайних диференціальних
рівнянь доведено, що ця ж умова стійкості зберігається для будь-яких
напрямків початкового збурення.
У випадку змінної у часі матриці A(u(t)) наведений вище механізм оцінки
стійкості на основі власних чисел не проходить. Втім, за умови неперервності
за часом її коефіцієнтів Ляпунову все ж вдалось сконструювати набір
чисельних показників, які характеризують стійкість лінійної системи і за
властивостями нагадують набір власних чисел у випадку матриці А з
постійними коефіцієнтами
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
1-й метод. Показники Ляпунова.
x(t )  e
 (t ) t
1
(t )  ln x(t )
t
1
  lim ln x(t )
t  t
Теорема Ляпунова (без доведення).
Якщо елементи матриці А динамічної системи обмежені і неперервні, то
•для будь-якого ненульового розв’язку існує дійсний скінчений
характеристичний показник Ляпунова,
•фундаментальній системі з n (за розмірністю фазового простору)
розв’язків відповідає такої ж розмірності спектр показників Ляпунова
1 ≥  2 ≥ … ≥ n .
Сигнатури спектру показників Ляпунова.
“–” , “–” , … , “–”
“0” , “–” , … , “–”
“0” , “0” , … , “–”
- рівновага
- граничний цикл
- n-мірний тор
Для складних нелінійних систем отримання розв’язків останньої є рідкісною
удачею. Ляпунов передбачив, що для багатьох практичних задач цілком
достатнім буде встановлення лише самого факту стійкості (чи нестійкості) їхніх
розв’язків, а у визначенні «сили» стійкості, яка виражається кількісними
значеннями характеристичних показників, особливої потреби нема.
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
2-й (прямий) метод. Функції Ляпунова.
Будь-яку знаковизначену скалярну функцію V ( x1 , x2 , ... , xn , t ) від фазових
координат системи та часу називають функцією Ляпунова (системи).
Дослідимо на стійкість розв’язок
Нехай
x(t )
Підстановка
x(t)
автономної системи
dx
 F ( x)
dt
y(t )  x  x
dy
 F (y  x)  F (x)  Y (y) y(0)  0
dt
деяке його збурення на величину
x(t)
дає
Задача дослідження стійкості розв’язку
нульового розв’язку
y(t)  0
x(t) перейшла у задачу про стійкість
задачі про збурення
Швидкість зростання функції Ляпунова на траекторіях збурення:
dV V y1
V yn

 ... 
 gradV  Y (y )
dt y1 t
yn t
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
Метод функцій Ляпунова.
Теорема Ляпунова (без доведення).
Якщо для задачі про збурений рух вдається знайти знаковизначену функцію
V, похідна якої за часом в сенсі рівнянь задачі також була б знаковизначеною
функцією протилежного до V знаку, то незбурений рух є стійким.
Важливо, що для побудови функцій Ляпунова
знаходження самих розв’язків системи не
потрібне.
Для лінійних та квазілінійних систем функції
Ляпунова найчастіше будують у вигляді
квадратичних форм.
v( x, t )  x C (t ) x 
t
m
c
k , s 1
ks
(t ) xk xs
Лекція 8. Стійкість систем.
Моделювання динамічних систем
1. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения
2. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.
3. Николис Г. Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах:
от диссипативных структур к упорядочености через флуктуации. –М.
Мир., 1979, -512с.
4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория
дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.
5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.:
Наука, 1967.
6. Дубошин Г.Н. Основы устойчивости движения. М.: Изд-во МГУ, 1952.