Transcript Лекція 14 (Методи дослідження моделей)

Лекція 14. Підходи до побудови математичних моделей.
Моделювання динамічних систем
Процес моделювання поділяється на два основних етапи:
створення моделі і дослідження моделі.
Довільний процес в будь-якій доcліджуваній системі
описується трьома компонентами:
A (u )  f
Дія (об’єкт) → результат
Метою вивчення системи чи процесу є знаходження
однієї з цих компонент при відомих двох інших.
Прямі та варіаційні принципи побудови моделей.
Ньютон:
парабола:
F  ma
x  x0  v xt
y  y0  v yt 

v y t 2
геодезичні лінії:
Ейнштейн:
G    g  

8 G
c
4
2
T 
d x
ds

2
Г


dx

ds
dx

ds
0
Лекція 14. Підходи до побудови математичних моделей.
Моделювання динамічних систем
Мопертюі (1774) : принцип найменшої дії :
Для істинного руху величина дії
m•v•s є мінімальною
Ф ( u )  min(max)
u ( t , x1 ,..., x n )
-функція стану системи
за набору параметрів хі
Механіка:
Оптика:
Термодинаміка:
Принцип найменшої
дії
Принцип Ферма
(найменшого часу)
Принцип максимуму
ентропії
Програма Ейлера: у вибраній сфері природознавства слід “вгадати”
величину (цільову функцію, функціонал), яку “економить” Природа і
сформулювати загальний варіаційний принцип, з якого отримати
конкретний закон є лише справою техніки.
У макроскопічній теорії екстремальний принцип вводиться як постулат.
У мікроскопічній теорії принцип має статистичну природу і тому
виконується з точністю до кількох флуктуацій.
Лекція 14. Підходи до побудови математичних моделей.
Моделювання динамічних систем
Механіка:
Диференціальні принципи:
Встановлюють правила поведінки
системи в кожний момент часу
Інтегральні принципи:
Визначають поведінку системи за за
скінчений інтервал часу
Можливих переміщень, Д'АламбераЛагранжа, Журдена, Гауса…
Найменшої дії (Гауса-Остроградського, Монпертюі-Лагранжа)
 F
i
 m i ai  xi  0
 F
i
 m i ai  vi  0
 F
i
i
i
 m i ai  ai  0
i
Системи довільної природи:
2
C 
1
2

i
 Fi

R i 
 J i   min
 R ii

С – примус
F – узагальнена сила
R – cупротив (маса)
J - потік (прискорення)
Ентропія → мах
Пригожин, Моісеєв. Якщо закони природи допускають декілька
рівноважних станів, то реалізується такий стан руху, якому відповідає
мінімальний ріст ентропії.
Лекція 14. Підходи до побудови математичних моделей.
Моделювання динамічних систем
Варіаційне числення
Функція, диференціал
Функціонал, варіація
f ( x0 ) 
f ( x 0 )  x 
1
2
 число

функція
функція  число

функціонал
функція  функція

оператор
число
f ( x0   x ) 
f  ( x 0 )  x 
2
3
х0
х1
2
2
O (x )
∆х
K 
mv
b
J(f ) 

f ( x ) dx
функціонали
a
Задача варіаційного числення: задано функціонал J з областю визначення
D(J). Знайти елемент u0, який мінімізує (максимізує) функціонал J.
Екстремум функції ↔
диференціал = 0
Екстремум функціоналу↔
варіація = 0
Лекція 14. Методика дослідження.
Моделювання динамічних систем
Методи аналізу математичних моделей.
Аналітичні
+ Дають загальні
розв’язки у явному
вигляді
- Застосовні до
обмеженого класу
задач
Чисельні
Стохастичні
- Дають лише часткові розв’язки на дискретних областях
- Вимагають забезпечення
умов стійкості, збіжності,
економічності
+ Застосовні до широкого
класу задач
+ Універсальні та
прості в реалізації
- Повільна збіжність
Чисельні методи полягають в заміні пошуку точного розв’язку вихідної
задачі знаходженням набору параметрів {α1,…,αn} деякої наперед вибраної апроксимуючої функції φ(x,α1,…,αn), з умови задовільної її близькості
до точного розв’зку.
n
 ( x ,  1 ,...,  n )   0   1 x  ...   n x
Наприклад:
За способом пошуку набору параметрів αi чисельні методи поділяються:
Прямі
Ітераційні
Лекція 14. Методика дослідження.
Моделювання динамічних систем
Для ітераційних методів характерний вибір початкового наближення {α}0 з
подальшим ітераційним уточненням  i 1  B ( A ) i , де вибір оператора В
залежить від вибору конкретного ітераційного метода.
Признаком застосування прямого чисельного методу є дискретизація
розглядуваної області і на її основі заміна нескінченномірного простору
допустимих розв’язків (станів системи) деяким скінченомірним його
аналогом.
u
u  uh
u(x)
uh ( x) 
xn xn+1
i
i
i
x
a
 u  ( x)
b
 A ( 1 ( x1 )) 




 A ( n ( x1 )) 
A ( 1 ( x n )) 



A ( n ( x n )) 
u 
f 
1
1
 
 
     
u 
f 
n
 
 n
A (u h )  f
Лекція 14. Методика дослідження.
Моделювання динамічних систем
Прямі методи поділяються на групи вибором умови близькості
апроксимуючої функції до точного розв’язку :
Пробних функцій
Спектральні
Апроксимуюча функція φ(x,α1,…,αn)
задовільняє крайові умови, а підбором параметрів αi намагаються
задовільнити оператор крайової
задачі
~
u 
 
i
Апроксимуюча функція φ(x,α1,…,αn)
задовільняє оператор крайової
задачі, а підбором параметрів αi
намагаються задовільнити крайові
умови
i
i
С.кв.відхилення
Проекційні
Колокації
Гальоркіна
МСЕ
Різницеві
Лекція 14. Методика дослідження.
Моделювання динамічних систем
Література.
1. Вовк В.Д. Проблеми застосування об'єктного підходу до програмної реалізації
чисельних методів розв'язування початково-крайових задач // Вісник
Львівського університету. Серія механіко-математична. Випуск 52, 1999.- С.
15-22 (http://blues.franko.lviv.ua/ami/visnyk/52/03/St03.htm)