Transcript Моделювання динамічних систем Лекція 5. Дискретні моделі

Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Відображення
Еволюція динамічних систем не завжди є
гладкою у часі. Зокрема, описання чисельності
біологічної
популяції
з
допомогою
апарату
диференціальних рівнянь має зрозумілі труднощі.
Ряд Фібоначчі
x n  2  x n 1  x n
x n 1  f ( x n , x n 1 ,..., x n  k )
f (x)
Еволюцію моделей виду
x1
x0
x1
(1,1, 2 ,3,5 ,8 ,....)
x2
x
x n 1  f ( x n )
зручно відображати
на діаграмі Ламерея
взаємодії графіка функції відображення і
бісектриси прямого кута
Трикутне (кусково-лінійне) відображення
Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
•
•
•
Результат завершення перехідного
етапу еволюції дискретних
відображень:
Нерухома точка
Цикл
Динамічний хаос
X  f (X )
df
1
dx
Логістичне відображення (Ферхюльста)
x n  1   x n (1  x n )
Обмежувальні фактори
(смертність, конкуренція,…)
0 4
   (0,4 ]
x1  0
*
x  1
*
2
1
r
*
f  ( x1 )    1
*
f ( x 2 )  2    1
Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Зв’язок між неперервними та дискретними моделями
Тонка гра між неперервним та
дискретним складає структуру
нашого світу.
В.І.Арнольд
Має існувати зв’язок між
x  F ( x ) і
x n 1  f ( x n )
Відображення Пуанкаре
Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Фрактали
В теорії динамічних систем фрактальні
множини займають особливе місце,
оскільки розв’язки більшості нелінійних
задач є фракталами.
Канторів пил d0.63
Салфетка Серпинського d1.59
Природа економна в принципах,
а не в структурах.
Сніжинка Коха d1.26.
Кущ
Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Самоподібність
N = 3, r = 1/3, d = 1
Nr
d
1
d 
r – коефіцієнт подібності
N = 9, r = 1/3, d = 2
Периметр сніжинки Коха = 3 * lim 4
n 
n
3
n
ln N
ln 1 / r

Потужність множини Кантора дорівнює потужності
континууму [0,1]
Системи ітерованих функцій
N = 27, r = 1/3, d = 3
t1 : f 1 ( z ) 
t2 : f 2 ( z ) 
1
2
z
1
2
t3 : f 3 ( z ) 
1
2
z
1
4
i
3
4
1
2
z
Лекція 5. Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Фрактальність хаосу
Лекція 5 Дискретні моделі.
Моделювання динамічних систем
Література.
1. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания: Учеб.
Пособие для вузов. - М. Изд-во физ.мат.литературы, 2002.-292 с.
http://sgtnd.narod.ru/papers/Lect13.pdf
2. Данилов Ю.А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение:
учеб.пособие. Изд. 2-е испр. – М.: КомКнига, 2006. 208 с.
3. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
Москва: Постмаркет, 2000. – 352 с.
4. Морозов А.Д. Введение в теорию кварталов. – Москва-Ижевск: Институт
компьютерных исследований, 2002, 160 с.