Slide 1

НУ БіП України
“Бережанський агротехнічний інститут”

ДИСЦИПЛІНА: “Теоретичні основи електротехніки”

Лекція № 1.
Трифазні симетричні кола

Час: 2 години.
Література: Євдокімов Р. Є.Теоретичні основи електротехніки,
Попов В. С. Теоретична електротехніка
Петров І. В. Теоретичні основи електротехніки і
електровимірювання

Лектор Оберська Н. В.

1


Slide 2

НУ БіП України
“Бережанський агротехнічний інститут”
План

1.Загальні відомості про трифазні системи . трифазна
система е.р.с.
2.Незв'язана трифазна система електричних кіл.
3.З’єднання зіркою при симетричному навантаженні.
4. Фазні та лінійні напруги.
5. Фазні та лінійні струми

2


Slide 3

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
За критеріями оптимальності системи
управління можна поділити на такі групи:

1. Системи оптимальні за швидкодією. Це системи, в яких перехід
керованого процесу або об’єкта з початкової до кінцевої точки
фазового простору здійснюється за найкоротший час. У цьому
випадку функціонал має вигляд:
tk

I ( x , u )   dt  t n  t k  m in .

(2)

tn

2. Системи оптимальні за витратами ресурсів. Це системи,
які забезпечують переведення об’єкта у фазовому просторі з
початкового до кінцевого стану при мінімальних витратах
tk
ресурсів:
m

I ( x,u ) 

C i u i ( t ) dt
t 
,
i=1
n

де Сі – коефіцієнт зв’язку швидкості витрат ресурсів з
управляючими діями.

(3)

3


Slide 4

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
3. Системи з мінімальними втратами енергії, які при переведенні
об’єкта на фазовій площині з початкового до кінцевого стану
забезпечують мінімум функціонала:
tk

I ( x , u )   u 2 ( t ) dt  m in .

(4)

tn

4. Системи з мінімальними втратами управління називають
системами з мінімальним відхиленням дійсних координат об’єкта від
бажаних значень. До них відносяться системи з мінімальними
помилками відтворення дії, що задається :
tk

I ( x,u ) 



x 2 ( t ) dt  m in .

(5)

tn

5. Існують системи, які враховують швидкодію і витрати
ресурсів. У цьому випадку застосовується
комбінований критерій:
t
k

I ( x,u ) 

  k  u (t )  dt  m in

tn

.

(6)

4


Slide 5

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
6. Системи з функціоналами, які враховують точність відтворення
траєкторії, що задається, та обмеження на енергетичні витрати.
tk

I ( x,u ) 



tn

 x 2 (t ) 


 u 2 ( t )  dt  m in .


(7)

де λ – множник Лагранжа.
Теорія оптимального управління розв’язує дві основні задачі:
1. Визначення оптимального управління як функції часу u(t), яке
переводить об’єкт з початкового стану в кінцевий згідно із заданим
критерієм якості. Це розімкнуте управління, тому програма зміни керівної
дії не залежить від стану об’єкта протягом часу.
2. Оптимальне управління є функцією фазових координат об’єкта
u = f(t). Таким чином задача полягає в побудові оптимального автоматичного
регулятора в замкненій автоматичній системі.
Для оптимізації динамічних систем використовують методи:
• варіаційного числення;
• принцип максимуму Понтрягіна;
• динамічного програмування Беллмана;
• спектральні методи оптимізації.
5


Slide 6

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Друге питання. ВАРІАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ
Основою оптимізації, як відомо, є математична модель об'єкта,
критерій оптимальності (управління), що характеризує мету
управління, та обмеження. За критерій управління вибирають
функціонал, що мінімізує, наприклад, усі витрати на управління, або
якийсь інший (можливо технологічний) показник. Обмеження
накладаються на управління, технологічні параметри тощо.
Математично задача може бути подана як:
(8)
x = f(x,u,t);
tk

I=

 f 0 (x,u ,t)d t = m in

;

(9)

t0

u k (t)  u *k = 1,m ;
де х = (х1, х2,..., хn) -n-мірний вектор змінних стану об'єкта;
u =(u1, u2,..., um) -m-мірний вектор управління;
І - функціонал;
- деякі задані величини;
u k ,k = 1 ,m

(10)

6


Slide 7

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Для системи диференціальних рівнянь (8), що є математичною
моделлю функціонування об'єкта управління, невідомі функції часу
хі(t), i = 1 ,n визначаються з урахуванням граничних умов:
хі (t0)=xi0,

хі (tk)=xik, i = 1 ,n .

(11)

Сформульована вище задача розв'язується з використанням
методів варіаційного числення за умови, що на управління
обмеження не накладаються. Для цього використовують такі чотири
класи задач варіаційного числення:
• найпростіша (n = 1);
• узагальнена найпростіша (n > 1);
• задача на умовний екстремум функціонала (9);
• задача на екстремум функціонала, що залежить від похідних
змінних стану об'єкта вищого порядку.

7


Slide 8

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Найпростіша задача варіаційного
числення. Розглядається
tk
функціонал
I  x(t)   f  t,x(t),x(t)  dt






0





(12)
який кожному елементу х = х(t) з множини Х деякого функціональ-ного
простору Х1 ставить у відповідність певне число I. У цьому разі
говорять, що на множині ХХ1 задано функціонал I(x) = I  x(t) 
У варіаційному численні як функціональні простори Х
використовуються лiнiйнi нормовані простори C  t , t  , n = 1,n , що
t0

n

0

k

складаються з функцій х(k)(t), якi мають на відрізку  t 0 ,t k  неперервні
похідні х(k)(t) до n-го порядку включно, з величиною норми функції та
її похідних до п-го порядку включно, а також відстанню між ними.
Функціонал I  x(t)  досягає на кривій х*(t) локального чи
відносного мінімуму (максимуму) за умов, коли для всіх х(t) навколо
кривої х*(t) виконується нерівність



I  x  (t)   I  x(t)  , I  x (t)   I  x(t) 


















.

(13)

8


Slide 9

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Локальні мінімуми i максимуми функціонала I  x(t) називаються його
локальними екстремумами. Якщо ці нерівності виконуються для всіх
кривих х(t), що належать деякий множині то на кривій х*(t)
досягається абсолютний екстремум функціонала I  x(t)  на множині
I  x(t)  у просторі C0[t0,tk]
G. Локальний екстремум функціонала
називається сильним, а у просторі C 1  t 0 , t k 
- слабким локальним
екстремумом. Усякий сильний екстремум функціонала є також
слабким, зворотне є невірним у загальному випадку.

Для розв’язання найпростішої задачі варіаційного числення (12)
використовується умова, згідно з якою функціонал (12) досягає на
функції х(t) C 1  t 0 , t k  слабкого екстремуму, якщо ця функція
задовольняє рівнянню Ейлера
f0 d  f0 
.= 0
- 
(14)
 x dt   x 




9


Slide 10

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Розв’язання (інтегральні криві) рівняння (14) називаються
екстремалями функціонала (12). Рівняння (14) у розгорнутому вигляді
записується як:
 2 f0
 2 f0
 2 f0 f0
x(t)
+ x(t) 


=0 .
(15)
2
x  x t  x x
 ( x)
Якщо

 2 f0

 0 , то рівняння (14), (15) є звичайними

 ( x)
диференціальними рівняннями другого порядку, їх загальне
2

розв’язання залежить від двох довільних сталих, які знаходяться з
використанням граничних умов
х(t1) = х1 , х(t2) = х2.

(16)

10


Slide 11

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Екстремум функціонала, що залежить від кількох функцій.
Узагальненням найпростішої задачі варіаційного числення є
задача на екстремум функціонала, що залежить від кількох функцій:
tk

I  x1 (t),...,x n (t)    f 0  t,x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t), x 1 (t)..., x n (t)  dt ,



(17)

t0

де функція f0[…], що має неперервні частинні похідні до другого
порядку включно за всіма аргументами та х(t) C 1  t 0 , t k  , n = 1 ,n .
Граничні умови у цій задачі виглядають як
хі (t0) = xi0, хі (tk) = xik,

i =. 1,n

(18)

Для того, щоб набір функцій х1(t), ..., хn(t) C 1  t 0 , t k  , n = 1 ,n
доставляв слабкий екстремум функціоналу (17)‚ потрібно щоб ці
функції задовольняли систему диференціальних рівнянь Ейлера:
f0

d  f0
- 
 x dt   x


= 0


,i = 1,n

.

(19)

11


Slide 12

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Екстремум функціонала, що залежить від похідних вищого
порядку, є узагальненням найпростішої задачі варіаційного числення:
tk
(20)
(1)
(n)
I  x1 (t),...,x n (t)    f 0  t,x,x ,..., x  dt ,




t0
де функція
має
неперервні
частинні
похідні аж
(1)
(n)
f 0  за
t, x,всіма
x ,...,
x 
до (n+1)-го порядку
аргументами,
х(t)
.
C 1  t0 , t k 
Граничні умови до цієї задачі виглядають так:

x0 (t) = x0 ,

x (1) (t) = x 0(1) , ... , x (n)(t) = x 0(n) ;

x0 (t) = x0 ,

x (1) (t) = x 0(1) , ... , x (n)(t) = x 0(n) .

(21)

C 1  t0 , t k 
Для того, щоб функціонал (20) досягав на функції х(t)
локального екстремуму потрібно, щоб ця функція задовольняла
рівняння Ейлера-Пуассона:
f0 d  f0  d  f0  d  f0 
+
+ ...+

(1) 
2 
(2) 
3 
(3) 
(22)
 x dt   x  dt   x  dt   x 
+ (-1)

n

d  f0 
= 0.
n 
(n ) 
dt  x

12


Slide 13

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Розв’язання рівняння (22) — екстремаль функціонала (20), що
задовольняє граничні умови (21), є кривою можливого абсолютного
екстремуму цього функціонала на множині:



G = x(t)C 1  t 0 , t k  x(t 0 ) = x 0 ,..., x (t 0 ) = x 0 , x(t k ) = x k , x (t k ) = x k
(n)

(n)

(n)

(n)

 . (23)

Задачі на умовний екстремум. Задачі варіаційного
числення, в яких на невідомі функції накладаються, крім граничних
умов, додаткові обмеження, називаються задачами на умовний
екстремум.
Розглядається задача стосовно екстремуму функціонала, що
залежить від кількох функцій:
tk

I  x1 (t),...,x n (t)    f 0  t,x 1 (t), x 1 (t)..., x n (t), x 1 (t)..., x n (t)  d t ,



(24)

t0

з граничними умовами

хі (t0) = xi0, хі (tk) = xik
(25)
та додатковими обмеженнями, що задаються рівняннями зв'язку
(26)
  t, x ,..., x , x ..., x  = 0, j = 1,m(m < n) .
j

1

n

1

n

Ця задача варіаційного числення називається задачею Лагранжа. 13


Slide 14

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Для розв'язання задачі Лагранжа вводиться функція Лагранжа
(умовний екстремум з диференціальними, у загальному випадку,
зв'язками)
L  t,x1 ,..., x n ,x1 ...,x n , 1 ,..., n  = f 0  t,x 1 ,...,x n ,x 1 ...,x n  +

+  λ j (t)   j  t,x1 ,...,x n ,x1 ,...,x n  ,
m

(27)

j=1

де λ(t) C 1  t 0 , t k  - довільні функції (множники Лагранжа).
Якщо функції x1 (t),..., x n (t) забезпечують слабкий екстремум
функціонала (24) за умов (26), (27), то існують такі множники
Лагранжа  j (t), j = 1,m , для яких ці функції задовольняють систему
рівнянь Ейлера:
L d  L 
(28)
k = 1 ,n ,

= 0 ,
 xk d t  xk 
записаних для функціонала
умовний екстремум функціонала

I( x,..., x ) 
n

I( x,..., x n )

tk

 L dt .

Тобто задача на

t

0
зводиться
до

дослідження екстремуму функціонала без I( x,..., x n )
умов (26).

додаткових

14


Slide 15

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БІОРЕСУРСІВ
І ПРИРОДОКОРИСТУВАННЯ УКРАЇНИ
Література:
1. Лисенко В.П., Кузьменко Б.В., Головінський Б.Л. Оптимальні системи
автоматичного управління. – К.: ВЦ НАУ, 2003. -96 с.

Питання?