Transcript Функціональний метод розв`язування рівнянь

Моя візитна картка
Бідюк
Андрій Олександрович
Навчаюся у 9 класі
Микласької ЗОШ І-ІІ ступенів
Білогірського району
Хмельницької області
Тема дослідницької
роботи
Функціональний метод
розв'язування рівнянь,
нерівностей і задач
Предмет дослідження:
рівняння, нерівності і задачі
на екстремум
Об'єкт аналізу:
статті по даній темі в
опрацьованій літературі
Вибір теми дослідження

Під час вивчення властивостей функцій було
помічено , що їх зручно використовувати при
розв’язуванні рівнянь, нерівностей і задач.
 Проте, у підручнику з алгебри для 9 класу
показано використання лише кількох
властивостей, термін “ функціональний метод”
не введено , а матеріал розкидано по кількох
пунктах.
Мета роботи :
 1)
Систематизувати і виділити властивості функцій, які
зручно використовувати для спрощення розв’язування
рівнянь, нерівностей і задач.
 2)
Підібрати відповідні типи рівнянь і задач, скласти
алгоритми їх розв’язування із застосуванням властивостей
функцій.
 3)
Ввести та означити термін “ функціональний метод “,
показати на прикладах його застосування.
 4)
Порівняти даний метод з методами розкладання на
множники, тотожних рівносильних перетворень, заміни
змінних, пониження степеня.
 5)
Показати раціональні способи розв’язування задач
на екстремум з використанням властивостей квадратичної
функції.
Література
 Найдохідливіше це питання розкрито в підручнику
Мерзляка А.Г. Алгебра, 9 клас, «Поглиблене
вивчення математики», статті З.О.Брусило
«Розвиток у майбутніх викладачів математики
умінь розв'язування рівнянь і нерівностей
функціональним методом». Тут же вперше зустрів
термін «функціональний метод».
 Суть функціонального методу у
розв'язанні рівнянь без їх послідовних
рівносильних перетворень на основі
прямого використання конкретної
властивості функції. Далі це буде
показано на прикладах.
Основна частина
 У першому розділі
систематизовано властивості
функції, які викладені у формі
тверджень Т-1 - Т-14 та три
додаткові твердження , які
використовуються при доведенні
нерівностей і розв'язуванні
задач на екстремум.
 У другому розділі показано
приклади рівнянь, нерівностей і
задач, розв'язаних з використанням
цих властивостей, підібрані
алгоритми розв'язання до кожного
з них.
Приклади рівнянь та алгоритми їх
розв'язування
Т.3. Сума кількох невід’ємних функцій рівна нулю тоді і
тільки тоді, коли всі функції дорівнюють нулю.
До Т.3.
⇔
𝐱 𝟐 − 𝟓𝐱 + 𝟔 + 𝐱 𝟐 − 𝟗 + 𝟗 − 𝟑𝐱 =0 ⇔
𝑥 2 − 5х+6 = 0
х = 2, х = 3
х = ±3 ⇔ х=3
𝑥2 − 9 = 0 ⇔
х=3
9 − 3𝑥 = 0
Так як всі три функції невід’ємні.
Відповідь: 3
Т.8,Т.9.
Застосування скінченної ОДЗ :
ОДЗ(f(x)+g(x)+h(x))=D(f)∩D(g)∩D(h)
До Т.8.Т.9
𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 + 𝟐 𝟗 − 𝟑𝒙 = 𝟐 𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟐𝟒
𝑥 2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0
ОДЗ=D(f)∩D(g)∩D(h)=
9 − 3𝑥 ≥ 0 ⇒
2𝑥 − 2 ≥ 0
⟹
𝑥 ∈ (−∞; 1] ∪ [3; ∞)
𝑥≤3
𝑥≥1
Перевіряємо числа 1, 3
x{1;3}
Відповідь: 1
Т.6. Якщо f(x)- зростаюча, то рівняння
f(f(x))=x⇔f(x)=x
𝟔+ 𝟔+х=х⇔ 𝟔+х=х
До Т.6
ОДЗ:[0;∞)
6+х=х2,
Відповідь: 3
х2-х-6=0,
х1=3 х2=-2< 0
Т.5 Використання монотонності функції: якщо в рівнянні
виду f(x)=g(x) дані функції одна зростаюча, а друга спадна,
то дане рівняння має не більше 1 кореня
До Т.5
x2+ 𝒙 =
𝟏𝟐
𝒙
+ 𝟏𝟓
Дане рівняння виду f(x)=g(x), причому
f(x)- зростаюча, g(x)- спадна.
Дане рівняння має 1 корінь. Його неважко підібрати.
Відповідь: 4
Т.13. Властивості нулів парної функції
(вони симетричні відносно початку координат )
До Т.13
2ax4+ 𝒙 +x2=a2-1.
При якому а рівняння має єдиний корінь?
f(x)=2ах4+ х + х2-а2+1 – парна ( f(-x)= f(x)). Отже, х0=-х0=0.
Х=0 – корінь рівняння. Тоді а2-1=0, а = ±1.
Перевіримо, чи а = ±1 рівняння має єдиний корінь.
1) При а=1, то х=0
2) При а=-1, то х=0, х=1 і т.д.
Відповідь: при а=1 рівняння має один корінь.
Т.10. Використання обмеженості області значення.
Якщо Е(х)=[а;b], i f(x) - зростаюча, то а≤ f(x)≤ 𝐛.
До Т.10. Довести нерівність, якщо х∈[0;1], у∈[0;1],
z∈[0;1], то x(1-y)+(1-z)+z(1-x)≤ 𝟏.
Розв’язання . Розглянемо різницю лівої і правої частини
x(1-y)+(1-z)+z(1-x)-1=x(1-y-z)-yz+y+z+1
функція f(x)= (1-y-z)x-yz+y+z-1, де у і z параметри,
лінійна і при D(f)=[0;1] її графіком є відрізок, max f(x)
вона набуває на одному з кінців D(f). А так як f(0)≤ 0,
f(1)≤ 0, то max f(x)≤ 0, а тому
x(1-y)+(1-z)+z(1-x)≤ 1∎
Т.4 Використання монотонності функції.
Рівняння f(x)=а має 1 корінь, якщо f(x)- монотонна
(зростаюча або спадна )
До Т. 4.
2х7+х5+х=4.
Розв’язання
f(x)=2х7+х5+х – зростаюча, тому рівняння
має 1 корінь.
Неважко помітити що це буде 1
Відповідь: х=1
Т.14
ах2+bx+c
– має екстремум
−𝑫
y0=
𝟒𝒂
при
−𝒃
x0=
𝟐𝒂
До Т.14.
Розкласти число 8 на доданки так, щоб їх добуток був
найбільшим.
Розв’язання : І – х, ІІ – 8-х, їх добуток
у= х(8-х)=-х2+8х.
y0=
−𝐷
=4
4𝑎
Відповідь: 8=4+4.
при
х=4
Т.7 Якщо для 𝒙 ∈ 𝑫 𝒇 ∩ 𝑫 𝒈
𝒇 𝒙 =𝑨
𝒇 𝒙 ≤ 𝑨, 𝒈(𝒙) ≥ 𝑨 то f(x)=g(x)⇔
𝒈 𝒙 =𝑨
До Т.7. 𝒙 − 𝟐 + 𝟒 − 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟏;
f(x)= 𝑥 − 2 + 4 − 𝑥, g(x)=𝑥 2 − 6𝑥 + 11.
g(x)=(x-3)2+2≥ 2.
До наборів ( 𝑥 − 2 ; 4 − 𝑥); (1;1) застосуємо нерівність
Коші - Буняковського :
𝑥 − 2 + 4 − 𝑥= 𝑥 − 2 *1+ 4 − 𝑥*1≤
≤
12
+
12 *
2
2
( 𝑥 − 2 ) +( 4 − 𝑥) =
= 2 ∗ х − 2 + 4 − х=2
Отже, 𝑓 𝑥 ≤ 2. Тоді задане рівняння рівносильне
системі
𝑥−2 + 4−𝑥 =2
(х − 3)2 +2 = 2
Відповідь: х=3
ВИСНОВОК
 1. Отже, все що сказано вище підтверджує думку про те,
що функціональний метод має право на існування поряд з
іншими , причому в багатьох випадках його переваги над
методами рівносильних перетворень, розкладання на
множники, заміни змінних, пониження степенів безсумнівні.
 2. Існує цілий ряд рівнянь і задач, які набагато простіше
розв’язуються саме цим методом (вони показані у таблиці).
 3. Випробувана у нашому класі таблиця алгоритмів
розв’язування функціональним методом є зручним
посібником як на уроці так і вдома , економить час,
дозволяє зробити більше завдань , розв’язати складні
вправи.