Transcript Обчислювальна геометрія. Частина 2. Навчальна презентація до

Профільна інформатика
Лінія “АТП”
ОБЧИСЛЮВАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ
ТЕМА “ТОЧКА І ПРЯМА. РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ.
КОЛО”
Точка на площині задається двома
координатами (х; у), де перший параметр положення точки відносно осі абсцис Ох, а другий відносно осі ординат Оу. Обидва параметри
задаються цілими або дійсними числами.
Як відомо з математики, пряму на площині
можна задати у вигляді загального рівняння:
ах + by + с = 0.
Існує ще один спосіб представлення прямої на
площині. Для цього достатньо вказати будь-які дві
різні точки (x1; y1) і (х2; y2), що лежать на заданій
прямій. Як виглядатиме рівняння прямої, заданої
двома точками?
Для цього розглянемо задані дві точки (x1; y1) і
(х2; y2), і деяку довільну точку (x; y), які лежать на
одній прямій (мал. 1).
Відповідно до умови подібності можна записати
таке відношення:
.
Отримане рівняння прямої, що проходить через
2 дані точки.
Кутовий коефіцієнт цієї прямої:
.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані
точки, краще розглядати у такому вигляді:
Розглянемо питання представлення коефіцієнтів
a, b, c через координати двох точок (x1; y1) і (х2; y2),
розміщених на прямій, яка проходить через них.
Це буде корисним для проведення аналізу
взаємного розташування заданих точок і прямих,
де необхідно буде мати справу з коефіцієнтами
загальних рівнянь прямих
.
Звівши подібні члени в наведеному вище
рівнянні, отримаємо:
Для визначення чи розміщені три дані точки
(x1; y1), (х2; y2) і (x3; y3) на одній прямій
скористаємося рівнянням прямої:
,
проте, щоб досягнути точності результату краще
скористатися рівнянням у такому вигляді:
1) Якщо С=0, рівняння матиме вигляд:
і визначатиме пряму, що проходить через
початок координат;
2) Якщо В=0 (
), рівняння матиме вигляд
або
і визначає пряму, паралельну осі
OY, якщо крім цього ще й С=0, отримаємо
рівняння осі OY:
;
3) Якщо А=0 (
), рівняння матиме вигляд
, або
і визначає пряму, паралельну
осі OX. Якщо крім цього С=0, то отримуємо
рівняння осі OX:
.
Для визначення кута  між двома прямими
і
, скористаємося
формулою:
.
Кут визначається від першої прямої до другої
проти годинникової стрілки.
Якщо задані точки, що є кінцями відрізка
і
, та відомо, що точка
належить відрізку
, то відрізок ділиться
цією точкою у відношенні :
, тоді
координати точки М визначаються за
формулами:
або
.
Частковим випадком є середина відрізка:
,
.
Про взаємне розміщення двох точок (x1; y1) і
(х2; y2) можна говорити для таких випадків:
1). Якщо
і
, то задані точки знаходяться
на одній вертикалі на площині;
2). Якщо
і
, то задані точки
знаходяться на одній горизонталі на площині;
3). Якщо
і
, то задані точки збігаються;
4). Якщо
і
, то задані точки не
збігаються на площині й не знаходяться на одній
горизонталі або вертикалі.
Розглянемо, чи перетинаються ці прямі, чи
вони паралельні, чи обидва ці рівняння
представляють одну і ту саму пряму. Знаючи
коефіцієнти загальних рівнянь типу
двох заданих прямих (а1, b1, с1) та (а2, b2, с2),
можна дати відповідь на всі поставлені
запитання.
1). Якщо
,
,
, то це означає, що
обидва рівняння описують одну і ту саму пряму.
2). Якщо
, або
то це свідчить про
те, що задані прямі паралельні.
Оскільки при діленні дійсних чисел можна
втратити правильну відповідь на точності
отриманих результатів, то краще перевірити
одночасне виконання таких умов:
;
;
.
Якщо умови збігу та паралельності заданих двох
прямих не виконуються, то можна стверджувати, що
вони перетинаються. А в цьому разі може виникнути
необхідність визначення координат точки перетину
таких прямих. Їх можна знайти, розв'язавши систему
лінійних рівнянь:
На першому кроці з першого рівняння визначимо
змінну х через у:
Підставимо отриманий вираз у друге рівняння,
визначивши значення у через коефіцієнти (а1, b1, с1) та
(а2, b2, с2) двох заданих рівнянь прямих:
.
Отриманий вираз для у дасть змогу вивести
аналогічний вираз для х:
.
Для визначення перпендикулярності двох прямих
можна скористатися перевіркою умов:
або
Нехай задана пряма загальним рівнянням
ах + by + с = 0 та дві точки (x1;y1) і (х2;y2).
Ознакою того, що точка (х0; у0) лежить на прямій,
є ах0+bуо+с=0.
Якщо точка не лежить на прямій, то зрозуміло, що
. А це означає, що значення ах0 + bу0 + с або
додатне, або від'ємне.
Оскільки пряма ах0 + bу0 + с = 0 ділить координатну площину
на дві півплощини, то виявляється, що всі точки (xi; yi), які лежать
одній з них, дають однаковий знак виразу ах0 + bу0 + с.
Отже, якщо для двох заданих точок (x1; y1) і (х2; y2) має місце
вираз (ах1 + bу1 + с)(ах2 + bу2 + с)>0, то це означатиме, що ці
дві точки лежать по один бік від заданої прямої
ах + by+с=0, а якщо (ах1 + bу1 + с)(ах2 + bу2 + с)< 0, то по
різні.
Коло — геометричне місце точок площини, відстань від яких до
заданої точки, що називається центром кола, є постійною
величиною і дорівнює радіусу кола. Коло на площині, даного
радіуса R, у певній вибраній декартовій системі координат XOY і ,
з центром в точці
описується стандартним рівнянням:
, або загальним рівнянням:
де
,
,
.
Якщо центр кола знаходиться в початку координат (0, 0), то
рівняння спрощується до такого вигляду:
.
Нехай Р( ) – точка кола, тоді рівняння дотичної до кола в даній
точці має вигляд:
, або