Transcript МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА А.І. Колосов, А.В.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ
МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА
А.І. Колосов, А.В. Якунін, С.М. Ламтюгова
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
У ПРЕЗЕНТАЦІЯХ
ЧАСТИНА І:
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
НА ПЛОЩИНІ
Харків – ХНАМГ – 2009
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ МІСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА
До друку дозволяю
Проректор
________________М.П. Пан
А.І. Колосов, А.В. Якунін, С.М. Ламтюгова
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРЕЗЕНТАЦІЯХ
ЧАСТИНА І:
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
Електронний альбом дидактичних матеріалів
для студентів 1 курсу денної та заочної форм навчання
за напрямом підготовки 6.050701 “Електротехніка та електротехнології”,
спеціальностей “Електротехнічні системи електроспоживання” і “Світлотехніка і джерела світла”
Харків – ХНАМГ – 2009
УДК 517.2+517.51
Колосов А.І., Якунін А.В., Ламтюгова С.М.
Аналітична геометрія у презентаціях. Частина І: Аналітична геометрія на площині:
Електронний альбом дидактичних матеріалів для студентів 1 курсу денної та заочної форм
навчання за напрямом підготовки 6.050701 “Електротехніка та електротехнології”,
спеціальностей “Електротехнічні системи електроспоживання” і “Світлотехніка і джерела
світла”. – Харків: ХНАМГ, 2009. – 78 с.
Рецензент: д.ф.-м.н., проф. М.Й. Кадець
Рекомендовано кафедрою вищої математики,
протокол № 11 від 22.05.2009 р.
4
Змiст
Передмова ……………………………………………………… .............7
Iнструкцiя по застосуванню………………………………................8
1 Декартова прямокутна система координат
на площині ……………………………………………………….............10
1.1 Координатна пряма. Числові проміжки.
Модуль дійсного числа ………………………………………. .............11
1.2 Декартова прямокутна система координат
на площині. Відстань між двома точками.
Ділення відрізка у заданому відношенні ………………….. ...........13
2 Пряма на площині. Основні типи рівняння
прямої …………………………………………………………... ............17
2.1 Рівняння з двома змінними як рівняння лінії……….. ............18
2.2 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом………….. .............21
2.3 Рівняння прямої, що проходить через задану
точку в заданому напрямку. Пучок прямих……………… ............23
5
2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві
задані точки …………………………………………………................25
2.5 Загальне рівняння прямої та його окремі
випадки ………………………………………………………… .............27
2.6 Рівняння прямої у відрізках на осях …………………. .............29
2.7 Кут між прямими. Умови паралельності та
перпендикулярності прямих ………………………………...............31
2.8 Відстань від точки до прямої ………………………….............34
3. Лінії другого порядку ……………………………………...............36
3.1 Загальне рівняння лінії другого порядку…………….. .............37
3.2 Коло ……………………………………………………….. .............38
3.3 Еліпс ………………………………………………………...............40
3.4 Гіпербола …………………………………………………. .............44
3.5 Парабола …………………………………………………. .............48
3.6 Лінії другого порядку як конічні перерізи та
їх оптична властивість ……………………………………..............52
6
4 Полярна система координат. Параметрично
задані лінії ………………………………………………………............54
4.1 Полярні координати ……………………………………. .............55
4.2 Зв’язок між полярними і прямокутними
координатами ………………………………………………… ............59
4.3 Рівняння ліній другого порядку в полярній
системі координат ………………………………………….. .............63
4.4 Рівняння деяких ліній у параметричній формі…….. .............64
Список літератури …………………………………………................67
7
Передмова
У цьому альбомі стисло викладено навчальні елементи
розділу “Аналітична геометрія на площині”, що відповідають
діючим програмам курсу вищої математики для студентів
електротехнічних спеціальностей. Головна увага приділяється
розкриттю суті понять, їх взаємозв’язків без надмірної
строгості викладу з об’єднуючою прикладною спрямованістю.
Теоретичні відомості подаються чітко й аргументовано з
опорою на наочність, інтуїцію та з ілюстрацією на типових
прикладах, частина з яких розрахована на самостійне
опрацювання.
Зібрані в альбомі дидактичні матеріали призначені для
студентів електротехнічних спеціальностей.
зміст
8
Iнструкцiя по застосуванню
Альбом дидактичних матеріалів «Аналітична геометрія у
презентаціях. Частина І: Аналітична геометрія на площині»
створено в програмi Power Point у виглядi слайд-шоу.
Презентацiя подана в режимi «Тiльки для читання», тому
редагування слайдiв не можливе.
Гiперпосилання в змiстi та спецiальнi кнопки на початку
кожного роздiлу задають перехід на потрібну сторiнку (розділ
чи пункт). У кiнцi кожного пункту є кнопка «на початок
роздiлу», де в свою чергу є кнопка «змiст». Далі зi змiсту
можна перейти в будь-який роздiл чи пункт, який цікавить. У
презентацiї є приховані слайди, що уточнюють окремі
поняття, на якi можна перейти за гiперпосиланнями, що
розмiщені по тексту.
9
Кнопка
мiстить посилання на iнформацiю, що
розрахована на самостiйне опрацювання.
Можна вийти з презентацiї в будь-який момент. Для цього
потрібно натиснути на клавiатурi клавiшу Esc або клiкнути
правою кнопкою мишi, після чого з’явиться керуюче меню,
де останнім пунктом буде режим "Закiнчити показ". Iз цього
ж меню можна перейти на будь-який вибраний слайд, не
обов’язково в тому порядку, що пропонує презентацiя.
У друкованому варiантi – неповна демонстраційна збірка
пропонованих матеріалів. Повна версія посібника з
анімацією, рисунками та опрацьованими самостiйними
завданнями – тільки в електронному виглядi.
Побажання та пропозиції для покращення приймаються за
електронною адресою: [email protected]
зміст
1.1 Координатна пряма. Числові проміжки.
Модуль дійсного числа
1.2 Відстань між двома точками. Ділення
відрізка у заданому відношенні
зміст
11
1.1 Координатна пряма. Числові проміжки.
Модуль дійсного числа
Напрямлена пряма, на якій задано
початок відліку О і масштаб ОЕ=1,
називається координатною прямою
(віссю) (рис. 1).
Довільній точці М координатної
прямої Ох відповідає певне дійсне число х
– її координата. Навпаки, довільному
дійсному числу х відповідає певна точка
М координатної прямої Ох. Враховуючи
таку взаємно однозначну відповідність,
координатну пряму називають числовою
прямою і ототожнюють з множиною
дійсних чисел R: R=(–∞; +∞).
Основні числові проміжки показані
на рис. 2:
[a;b] – відрізок; [a;b), (a;b], (–∞;a],
[a;+∞) – півінтервали; (a;b), (–∞;a),
(a;+∞), (–∞;+∞) – інтервали, a<b.
Проміжки [a;b], [a;b), (a;b], (a;b)
називаються скінченними, а всі інші –
нескінченними. Числа a і b – їхні кінці,
d=b – a – довжина.
О
–1
Е
0
М(х)
х
1
х
Рис. 1
a ; b 
a ; b 
a
a ; b 
a
b
b
x
a
  ; a 
x
b
a
x
x
a ; b 
a ;   
x
a
  ; a 
a
a
b
x
a ;   
x
a
Рис. 2
x
12
Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа x називається невід’ємне
число,
яке
позначається
|x|
і
визначається
формулою
 x, x  0
x 
.
 x, x  0
Модуль дійсного числа x дорівнює відстані відповідної точки M(x) від
початку відліку O (геометричний зміст модуля). Відстань між довільними двома
точками M1(x1 ) і M2(x2 ) визначається за формулою
M 1M 2 
 x 2  x1  2
 x 2  x1 .
Інтервал (a–ɛ ; a+ɛ) називається ɛ – околом числа a і
позначається U(a;ɛ), де ɛ – довільне додатне число, ɛ >0
(рис. 3).
Зауваження. Координатну пряму Ox умовно можна
вважати замкненою в нескінченно віддаленій точці ∞.
Тому для довільного додатного числа M, M>0,
розглядають
U  ; M   x x  M 
M - окіл символу нескінченності ∞ (рис. 4).
U a ;  
x
a
a a
Рис. 3

M

U ( ; M )
O

M
x
Рис. 4
На початок розділу
13
1.2 Відстань між двома точками. Ділення відрізка у
заданому відношенні
Дві взаємно перпендикулярні координатні
прямі Ox і Oy зі спільним початком O
утворюють декартову прямокутну систему
координат на площині (рис. 5).
Ox – вісь абсцис
Oy – вісь ординат
Сукупність прямих, що перпендикулярні
координатним осям, утворює координатну
сітку на координатній площині Oxy.
Положення довільної точки M однозначно
визначається впорядкованою парою чисел
(x;y) – її координатами
( x – абсциса,
y – ордината).
З прямокутного ΔM1NM2 (рис. 6) за
теоремою Піфагора випливає, що відстань
між довільними двома точками M1(x1;y1)
і M2(x2 ; y2) визначається формулою
M M 
1 2
x 2  x1    y 2  y1 
2
2
y
M x ; y 
y
x
O
x
Рис. 5
y
M 1  x1 ; y 1 
M
2
x2 ; y 2 
y 2  y1
x 2  x1
O
Рис. 6
N  x 2 ; y1 
x
14
Нехай задані дві точки M1(x1; y1 ), M2(x2 ; y2 ) і відношення λ=M1M/MM2,
у якому точка M(x ; y) ділить відрізок M1M2, починаючи від точки M1 (рис. 7).
З подібності прямокутних трикутників ΔM1NM ~ ΔMPM2 випливає, що
NM
PM
y

M 1N

MP
2
M 1M
MM
2
M
2

x 2 ; y 2 
M x , y 
M 1  x1 ; y 1 
x  x1
O
y  y1
N  x ; y1 
; x  x1  y  y 1   .
x2  x
y2  y
Звідси
координати
точки
M(x;y),
яка
ділить заданий відрізок
у заданому відношенні,
обчислюються
за
формулами
y2  y
x2  x
P x2 ; y 
x
Рис. 7.
x
x1   x 2
1 
; y
y1   y 2
1 
.
Зауваження 1. Якщо точка M лежить між точками M1 і M2, то λ >0
(ділення внутрішнім способом); якщо точка M не належить відрізку M1M2,
то λ<0 (ділення зовнішнім способом).
Зауваження 2. Якщо точка M ділить відрізок M1M2 пополам, то λ =1. Тоді
координати середини відрізка визначаються за формулами
x
x1  x 2
2
; y
y1  y 2
2
.
15
Приклад
Трикутник ABC задано координатами вершин A(–3;4), B(7; –2),
C(5;6). Побудувати ∆ABC в системі координат. Знайти: а) довжину
медіани AM; б) точку E перетину медіан. (рис. 8)
Нехай M – середина сторони BC:
x
x1  x 2
2
AM 

75
 6; y 
y1  y 2

26
2
2
 x 2  x1  2   y 2 
y1  
2
2
 2 ; M 6 ; 2  .
6    3 2   2  4 2

85 .
За властивістю точки перетину медіан трикутника
  AE EM  2 1  2
Тоді координати точки E:
x
y
x1   x 2
1 
y1   y 2
1 


2

E3; 2 
3

 3  26
1 2
4  22
1 2
 3;
2
2
.
3
На початок розділу
16
Ілюстрація до прикладу
y
A(-3,4)
6
C(5,6)
4
E
M(6,2)
x
O
-3
5
-2
Рис. 8
7
B(7,-2)
x – вісь абсцис
y – вісь ординат
XOY – координатна
площина
A, B, C – вершини
трикутника
M – середина сторони BC
E – точка перетину медіан
2.1 Рівняння з двома змінними як рівняння лінії
2.2 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
2.3 Рівняння прямої, що проходить через задану
точку в заданому напрямку. Пучок прямих
2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
2.5 Загальне рівняння прямої та його окремі випадки
2.6 Рівняння прямої у відрізках на осях
2.7 Кут між прямими. Умови паралельності
та перпендикулярності прямих
2.8 Відстань від точки до прямої
зміст
2.1 Рівняння з двома змінними як рівняння лінії
Співвідношення F1(x; y) = F2(x; y) називається рівнянням з двома
змінними. Його можна подати у стандартному вигляді
F(x; y) = 0.
Тут F1(x; y), F2(x; y) i F(x; y) – деякі вирази.
Зображення множини розв’язків даного рівняння на координатній
площині Oxy називається графіком цього рівняння.
Звичайно графіком рівняння служить деяка лінія.
Наприклад,
а) графіком рівняння x2+y2 =1 є коло з центром у початку координат
O(0;0) і радіусом R = 1 (дійсна лінія);
б) графіком рівняння x2+y2 =0 є одна точка – початок координат O(0;0)
(вироджена лінія);
в) рівняння x2+y2 = –1 ніякого графіка не має (уявна лінія).
Зауваження 1. Вигляд рівняння лінії залежить як від
самої лінії, так і від вибору системи координат.
18
Зауваження 2. Говорять, що лінія задана неявно, якщо її
рівняння має вигляд F(x; y) = 0 або F1(x; y) =F2(x; y). Якщо рівняння
лінії розв’язане відносно змінної y, то говорять, що лінія задана
явно рівнянням y=f(x), де f(x) – деякий вираз. Лінія може задаватись
системою рівнянь x=x(t) і y=y(t), де t – допоміжна змінна
(параметр), і x(t), y(t) – деякі вирази. Тоді говорять, що лінія
задана параметрично. Наприклад, траєкторія руху матеріальної
точки в механіці часто задається в параметричній формі, при цьому
роль параметра відіграє час.
Правило 1. Щоб встановити, чи лежить указана точка M0(x0 ; y0) на
даній лінії l: F(x; y)=0, треба перевірити, чи задовольняють координати
точки рівняння лінії:
F(x0 ; y0)=0  M0 ϵ l; F(x0 ; y0) ≠ 0  M0  l.
Правило 2. Щоб встановити, чи перетинаються дві дані лінії
l1: F1(x; y)=0, l2: F2(x; y)=0, і знайти точки перетину (спільні точки), треба
скласти систему рівнянь
 F1  x ; y   0

 F2  x ; y   0
і розв’язати її.
19
Правило 3. Щоб скласти рівняння даної лінії треба:
1) ввести систему координат;
2) знайти співвідношення між координатами довільної
(поточної, бігучої) точки M(x; y) цієї лінії та відомими сталими
величинами, що визначають саме цю лінію, на основі
характеристичної властивості даної лінії;
3) за допомогою рівносильних перетворень звести одержане
рівняння до найбільш простого вигляду.
Зауваження 3. Тип лінії визначають, зводячи її рівняння
до відповідного стандартного вигляду.
l
M1
M
M2
Скласти рівняння серединного перпендикуляра l до
відрізка M1M2, де M1(–3;4), M2(3, –1) (рис. 9).
Довільна точка M(x; y) шуканої лінії рівновіддалена
від кінців відрізка M1M2: M1M = M2M;
 x  x1 2   y 
Рис. 9
y1  
2
 x  3 2   y  4 2

 x  x 2 2   y 
y2 
2
 x  3 2   y  1 2
2
x  6 x  9  y  8 y  16  x  6 x  9  y  2 y  1
2
2
2
l : 12 x  10 y  15  0 –
2
пряма лінія.
На початок розділу
2.2 Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Нехай похила пряма l утворює кут α з віссю Ox і перетинає вісь Oy
Тангенс кута нахилу α називають кутовим
у точці B(0;b) (рис. 10).
коефіцієнтом k прямої l: k=tgα. Число b називають початковою
ординатою прямої l.
Нехай M(x; y) – довільна точка
y
M x ; y 
прямої l. У прямокутному ΔBNM
 MBN=α. Тоді
l
yb
B 0 ; b 
α
x
N x ; b 
NM
BN
 tg  MBN ;
yb
 tg   k ;
x
y – b = kx .
O
x
Звідси маємо рівняння прямої з
Рис. 10
кутовим коефіцієнтом
y = kx + b.
Зауваження 1. Якщо b=0, то пряма y=kx проходить через початок координат
O(0;0). Якщо k=0, то пряма y=b паралельна осі Ox (горизонтальна).
Зауваження 2. Якщо пряма паралельна осі Oy (α=90º), то її
кутовий коефіцієнт не існує (k = tg 90º = ∞), і її рівняння не
можна подати у відповідному вигляді. Рівняння вертикальної
прямої має вигляд x=a, де a – абсциса точки перетину A(a;0) з
віссю Ox.
21
Побудувати пряму за її рівнянням:
а) y=3x – 2; б) y= – 3x; в) y=2; г) x= – 3.
а) x = 0 → y = 3·0 – 2 = – 2; б) x = 0 → y = – 3·0 = 0;
x = 1 → y = 3·1 – 2 = 1
x = 1 → y = – 3·1 = – 3
x
0
1
x
0
1
y
–2
1
y
0
–3
в) пряма,
паралельна осi
Оx i проходить
через т. (0;2)
г) пряма,
паралельна осi
Оy i проходить
через т. (– 3;0)
y
б)
а)
г)
в)
2
1
0
–3
1
x
–2
–3
На початок розділу
2.3 Рівняння прямої, що проходить через
задану точку в заданому напрямку. Пучок прямих
Нехай пряма l проходить через задану точку M0(x0; y0) і має
заданий кутовий коефіцієнт k. Тоді для прямої l маємо
y=kx+b; M0(x0 ; y0) ϵ l  y0=kx0+b;
b=y0 – kx0 ; y=kx+y0 – kx0 .
Звідси отримуємо рівняння прямої, що проходить через задану
точку в заданому напрямку
y – y0=k (x – x0).
Зауваження. Пучок прямих з центром у точці M0(x0; y0) задається
сукупністю рівнянь
 y  y 0  k  x  x 0  , k    ;   

x  x0 .

23
Написати рівняння і побудувати пряму,
що належить пучку з центром у точці
M1(–3,1), якщо: а) пряма паралельна осі
Ox; б) пряма паралельна осі Oy; в) пряма
нахилена до осі Ox під кутом α=60º.
а) якщо пряма паралельна осi Оx, то k = 0: y – 1= 0, y = 1;
б) якщо пряма паралельна осі Oy, то її рівняння має вигляд x = – 3;
в) якщо пряма нахилена до осі Ox під кутом α=60º, то k = tg 60º =
y – 1= 3 (x+3);
y
6,2
y=
x
y
3
3:
x+3 3 +1
0
4,5
б)
-1
6,2 4,5
а)
M1(–3,1)
1
в)
–3
–1 0
x
На початок розділу
2.4 Рівняння прямої, що проходить через дві задані
точки
Нехай пряма l проходить через дві задані точки M1(x1 ; y1) і M2(x2 ; y2).
Оскільки пряма l проходить через точку M1(x1 ; y1), то y – y1= k (x – x1).
Тоді
M2(x2 ; y2) ϵ l  y2 – y1= k(x2 – x1);
k 
y  y1 
y 2  y1
x 2  x1
y 2  y1
x 2  x1
;
 x  x1  .
Звідси маємо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
y  y1
y 2  y1

x  x1
x 2  x1
.
25
Трикутник ABC задано координатами вершин A(1;–2), B(–5;1),
C(3;–1). Побудувати ∆ABC в системі координат (рис. 11).
y
Знайти рівняння бісектриси AL.
AB 
  5  1 2  1    2 2
AC 
3  1 
2
В(–5;1)
 3 5;
1
1
   1    2  
2
5 .
BL

LC
AB

3 5
AC
L:
AL :
x
 5  33
1 3
y  y1
y 2  y1

 1;
x  x1
x 2  x1
;
–2
3.
y
1  3   1
1 3
y   2 
 1 2   2 
С(3;–1)
А(1;–2)
Рис. 11
5
Тоді
x
O L
–1
–5
За властивістю бісектриси внутрішнього
кута трикутника
 
3

1
2

x 1
11
;
;
1

L 1;   .
2

x  1.
На початок розділу
2.5 Загальне рівняння прямої та його окремі випадки
Кожна пряма описується деяким рівнянням першого степеня.
Навпаки, кожне рівняння першого степеня є рівнянням деякої прямої.
Загальним рівнянням прямої називається рівняння першого
степеня вигляду
Ax + By + C = 0,
де A, B і C – сталі коефіцієнти, причому хоча б одне з чисел A, B відмінне
від нуля, тобто A2 + B2 ≠ 0.
Зауваження 1. Загальне рівняння прямої записується з точністю до сталого
множника. По можливості його зводять до вигляду, де всі коефіцієнти – цілі
числа, причому перший ненульовий коефіцієнт додатний.
Зауваження 2. У залежності від значень сталих A, B і C можливі наступні
окремі випадки:
C = 0, тоді пряма Ax + By = 0 проходить через початок координат;
A = 0, тоді пряма By + C = 0 паралельна осі Ox. Її рівняння можна подати
у вигляді y = b, де b = – C / B;
B = 0, тоді пряма Ax +C = 0 паралельна осі Oy. Її рівняння можна подати у
вигляді x = a, де a = – C / A;
A = 0 і C = 0, тоді пряма y = 0 співпадає з віссю Ox;
B = 0 і C = 0, тоді пряма x = 0 співпадає з віссю Oy.
27
У трикутнику ABC задано рівняння сторін AB: 3x – 4y – 2 = 0
і AC: 2x + 5y – 9 = 0. Знайти координати вершини A.
AC:
AB:
x
0
2
x
2
–3
y
–1/2
1
y
y
3
–3
AB
3
Сторони трикутника AB і
AC перетинаються в точці A.
Тому координати точки А
можна знайти, розв’язавши
систему рівнянь
AC
1
O
-1/2
1
A
2
 3x  4 y  2  0  2

 2 x  5 y  9  0  (  3)
x  6x  8y  4  0


  6 x  15 y  27  0
– 23y = – 23
y=1
3x – 4·1 – 2=0
x =2
А(2;1)
На початок розділу
2.6 Рівняння прямої у відрізках на осях
Нехай похила пряма l відтинає на осях координат Ox і Oy
відповідно відрізки a і b, тобто перетинає осі координат у двох
заданих точках A(a;0) і B(0;b) (рис. 12).
Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві задані
точки, отримаємо
y0
y
b0
B(0;b)
l
b
A(a;0)
O
x
a
Рис. 12

xa
0a
y
;

b
x
 1.
a
Звідси маємо рівняння прямої у відрізках на
осях:
x
a

y
 1.
b
Зауваження 1. У відрізках на осях не можна подати
рівняння прямих, які паралельні осям координат.
29
Пряма l задана своїм загальним рівнянням 3x – 4y – 8 = 0.
Записати її рівняння:
а) з кутовим коефіцієнтом; б) у відрізках на осях.
a) 3x – 4y – 8 = 0; – 4y = – 3x + 8;
k 
3
;
3
y
x  2;
4
b  2.
4
б) 3x – 4y – 8 = 0; 3x – 4y = 8;
a 
8
;
3x

4y
8
8
 1;
x
8 3

y
2
 1;
b  2.
3
На початок розділу
2.7 Кут між прямими. Умови паралельності та
перпендикулярності прямих
Нехай прямі l1 і l2, що зображені на рис. 13, мають задані кутові
коефіцієнти відповідно k1 і k2. Тоді для кута φ між ними маємо
φ = α2 – α1; tg  
tg  2  tg  1
1  tg  1  tg  2
y
.
α2
Оскільки tgα1 = k1; tgα2 = k2, то тангенс
кута між прямими знаходиться за
формулою
k k
tg  
2
1
1  k1 k 2
φ
l1
l2
α2
α1
O
.
α1
x
Рис. 13
Для паралельних прямих φ = 0, tgφ = 0, а для перпендикулярних прямих
φ = 90º, tgφ → ∞. З одержаної формули випливає, що
1) необхідною і достатньою умовою паралельності невертикальних
прямих l1 і l2 є рівність k1 = k2;
2) необхідною і достатньою умовою перпендикулярності похилих
прямих l1 і l2 є рівність k1k2 = – 1.
Зауваження. Кут між прямими φ розуміється як кут
повороту. Гострий кут між прямими знаходиться за
формулою
k 2  k1
 г  arctg
1  k1 k 2
.
31
A
У тупокутному ΔABC ( – тупий)
задано рівняння сторін
AB:
y = – 3x + 5, AC: y = 2x – 10 і координати вершини C(2; – 6).
Знайти: а)  A ; б) рівняння висоти CN; в) рівняння середньої
лінії ML, що паралельна AB, де M – середина сторони AC. (рис. 14)
а) Знайдемо гострий кут між прямими AB і AC:
kAB = – 3; kAC = 2;  г  arctg
k 2  k1
1  k1 k 2
 arctg
2   3 
1  2   3 
 arctg 1   4 .
Тодi  A     г     4  3 4 .
б) CN  AB  k 1 k 2   1 ; k AB   3;
M
k CN   1 k AB  1 3 ;
1
1
20
C  CN ; CN : y  y 0  k  x  x 0  ; y  6   x  2  ; y  x 
.
3
3
3
 y  3 x  5
; A 3 ;  4  .
в) A  AB  AC : 
 y  2 x  10
y  y2
46
x x
3 2 5

  5;
– середина сторони AC: x  1 2 
 ; y 1
2
2
2
2
2
M 5 2 ;  5  .
ML || AB ;
k ML  k AB   3 ; M  ML ;
ML : y  y 0  k  x  x 0  ; y  5   3  x  5 2  ;
y  3 x  5 .
2
32
AB: y = – 3x + 5,
x
0
1
y
5
2
AC: y = 2x – 10
x
5
4
y
0
–2
y
5
AB
AC
2
C(2; – 6).
1
O
2
4
5
x
ML
–2
φ A
–6
M N
C
Рис. 14
На початок розділу
2.8 Відстань від точки до прямої
Нехай задані точка M0(x0; y0) і пряма l своїм загальним
рівнянням Ax+By+C=0 (рис. 15).
Відстанню d від точки до прямої називається довжина
перпендикуляра M0N, опущеного з даної точки на дану пряму.
M0
d
l
N
Рис. 15
Скориставшись умовою перпендикулярності,
знайдемо рівняння цього перпендикуляра l  .
Склавши і розв’язавши систему рівнянь прямих l і
l  , одержимо точку перетину N. Довжину
перпендикуляра M0N знайдемо як відстань між
двома точками. В результаті (проробіть указані
операції самостійно) одержимо формулу для
відстані d від точки до прямої
d 
Ax 0  By 0  C
A B
2
.
2
34
У трикутнику ABC задано рівняння сторони AB: x/4 – y/3 = 1 і
координати вершини C(–2; –5). Знайти довжину висоти CN.
Перетворимо рівняння прямої AB до загального вигляду:
x/4 – y/3 = 1; 3x – 4y = 12; 3x – 4y – 12 = 0.
Знайдемо довжину висоти CN як відстань від точки C до прямої AB:
CN  3  (  2 )  4  (  5 )  12
3  (4)  2 5 .
2
2
У трикутнику ABC задано рiвняння висот: x + y – 2 = 0,
9x – 3y – 4 = 0 i координати вершини A(2; 2). Знайти
рiвняння сторiн трикутника. (Розв’язати самостiйно)
На початок розділу
3.1 Загальне рівняння лінії другого порядку
3.2 Коло
3.3 Еліпс
3.4 Гіпербола
3.5 Парабола
3.6 Лінії другого порядку як конічні перерізи та
їх оптична властивість
зміст
3.1 Загальне рівняння лінії другого порядку
Пряма – це єдина лінія першого порядку. Її загальним рівнянням є
алгебраїчне рівняння першого степеня.
Лінії другого порядку відповідає рівняння другого степеня, загальний
вигляд якого
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
де A, B, C, D, E, F – сталі коефіцієнти, причому хоча б одне з чисел A, B і
C відмінне від нуля, тобто
A2 + B2 + C2 ≠ 0.
Існують чотири типи ліній другого порядку – коло, еліпс, гіпербола і
парабола.
Зауваження. Надалі будемо розглядати тільки суттєво криві дійсні
лінії другого порядку. Випадки виродження та уявні лінії вивчати не
будемо.
37
На початок розділу
3.2 Коло
Колом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких
відстань до заданої точки площини C (центра кола) дорівнює заданому
сталому числу r (радіусу кола).
Розглянемо коло з центром у початку координат O(0;0) і радіусом r
(рис. 16).
Для довільної точки M(x ; y) кола:
y
M
r
MO  r ;
2
2
r ;
x  y r
2
M
r
C(a;b)
x
O
2
2
2
2
2
називається
канонічним
(найпростішим)
рівнянням кола.
Зауваження. Якщо центром кола служить точка
C(a;b), то маємо рівняння кола зі зміщеним
центром (рис. 17)
Рис.16
y
x  y r .
Одержане співвідношення
x
O
x  y
 x  a 2   y  b 2
Рис.17
38
r .
2
Переконатись, що рівняння
3x2 + 3y2 + 6x – 5y – 9 = 0
є рівнянням кола. Знайти його центр C(a;b) і радіус r.
x2 + y2 + 2x – (5/3)y – 3 = 0;
2
2
5
5
2
2
x  2 x  1  1  y  2  y        3  0;
6
6
6
5
(x + 1)2 + (y – 5/6)2 = (13/6)2; C(– 1; 5/6); r = 13/6.
Дано дві точки A(2; –3) і B(–6; 1). Скласти
рівняння кола l, для якого відрізок AB служить діаметром.
Центром кола l є середина C діаметра AB, а радіус кола r = AB/2. Тоді:
x
x1  x 2

2
C   2 ;  1  ; AB 
2  (6)
y
  2;
y1  y 2
2
2
 x 2  x1  2   y 2 
y1  
2

 31
  1;
2
 2    6  2    3  1  2
 4 5;
r  2 5.
Рівняння кола  x  2    y  1  20 .
2
2
39
На початок розділу
3.3 Еліпс
Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких
сума відстаней до двох заданих точок площини F1 і F2 (фокусів еліпса)
дорівнює заданому сталому числу 2a, більшому за відстань між фокусами.
Для довільної точки M(x ; y) еліпса (рис. 18) r1 + r2 = 2a,
де r1 = MF1 і r2 = MF2 – фокальні радіуси
точки M(x; y); F1(– c; 0), F2( c; 0) – фокуси,
y
B2 M
F1F2 = 2c < 2a. Тоді
r1
r2
 x    c  2   y  0  2   x  c  2   y  0  2  2 a .
O
F2 A2 x
A1 F1
Підносячи до квадрата і спрощуючи,
B1
(проробіть це самостійно), одержимо
канонічне рівняння еліпса
Рис. 18
40
x
2
a
2

y
2
b
2
 1.
Еліпс має форму овалу, який симетричний відносно великої осі
A1A2
= 2a і малої осі B1B2 = 2b, а також центрально симетричний відносно точки
O(0;0) – центра еліпса. Точки перетину з осями координат A1(– a;0),
A2(a;0), B1(0; –b), B2(0;b) називаються вершинами еліпса.
Відношення міжфокусної відстані F1F2=2c до великої осі A1A2=2a
називається ексцентриситетом еліпса і позначається ε : ε=c/a .
Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму еліпса, при цьому
0
≤ ε < 1. Якщо ε=0, то маємо окремий випадок еліпса – коло, при цьому
a=b=r. Чим більше значення ε, тим сильніше витягнутий еліпс вздовж
великої осі.
Дві прямі, що мають рівняння x=± a/ε, називаються директрисами
еліпса. Оскільки для еліпса ε<1, то права директриса розміщена
вертикально правіше від його правої вершини; а ліва директриса – лівіше
від його лівої вершини.
Властивість директрис еліпса: Відношення фокального радіуса r
довільної точки еліпса до відстані d цієї точки до відповідного фокусу є
стала величина, що дорівнює ексцентриситету еліпса r/d=ε .
41
Переконатись, що рівняння
9x2 + 100y2 – 900 = 0
є рівнянням еліпса. Зобразити ескіз еліпса, знайшовши точки його
перетину з осями координат (вершини еліпса).
9 x  100 y  900 ;
2
2
x
2

y
100
2
9
 1;
x
10
2
2

y
2
3
2
1–
еліпс, що перетинає осі координат у вершинах A1(– 10,0), A2(10,0), B1(0, –3),
B2(0,3).
y
3 B2
A1 –10
10 A2
O
– 3 B1
42
x
Скласти канонічне рівняння еліпса, мала піввісь якого b  4 3 ,
а лівий фокус знаходиться у точці F(– 4;0). Знайти його ексцентриситет і
написати рівняння директрис.
За умовою задачі b  4 3 , а половина міжфокусної відстані c=4.
Тоді
с  а b ;
2

2

2
2
a  4 3  4  64 ;
a  8.
2
2
Звідси
х / 64  у / 48  1
2
2
  4 81 2
– канонічне рівняння;
– ексцентриситет;
х   8 / 1 2  ; х   16
43
– директриси.
На початок розділу
3.4 Гіпербола
Гіперболою називається множина всіх точок площини, для кожної з
яких модуль різниці відстаней до двох заданих точок площини F1 і F2
(фокусів гіперболи) дорівнює заданому сталому числу 2a, меншому за
відстань між фокусами.
Для довільної точки M(x; y) гіперболи (рис. 19) r1  r2  2 a ,
де r1=MF1 і r2=MF2 – фокальні радіуси точки M(x; y); F1(–c; 0), F2(c; 0) –
фокуси, F1F2 = 2c > 2a. Тоді
 x    c  2   y  0  2   x  c  2   y  0  2  2 a .
y
Підносячи до квадрата і
M
2 =c2–a2>0
спрощуючи,
поклавши
b
B2
(проробіть
це
самостійно),
r1
r2
одержимо канонічне рівняння
A1
x
A
F1
F
2
O
2
гіперболи
B1
Рис. 19
x
2
a
2

y
2
b
2
 1.
Гіпербола складається з двох нескінченних гілок,
які симетричні відносно дійсної осі A1A2=2a і уявної осі B1B2=2b, а
також центрально симетричні відносно точки O(0; 0) – центра гіперболи.
44
Дійсні вершини A1(–a;0), A2(a;0) є точками перетину гіперболи з віссю
Ox. Через уявні вершини B1(0; –b), B2(0;b) гіпербола не проходить. Прямі
y 
b
x;
y
b
a
a
x
є асимптотами гіперболи.
Асимптотою називається пряма, що необмежено зближається з гілкою
кривої на нескінченності.
Відношення міжфокусної відстані F1F2=2c до дійсної осі A1A2=2a
називається ексцентриситетом гіперболи і позначається ε : ε=c/a.
Зауваження. Ексцентриситет характеризує форму гіперболи, при цьому
ε >1. Чим більше значення ε, тим сильніше витягнута гіпербола вздовж
дійсної осі.
Дві прямі, що мають рівняння x=± a/ε, називаються директрисами
гіперболи. Оскільки для гіперболи ε >1, то права директриса розмішена
вертикально між центром і правою вершиною, а ліва директриса – між
центром і лівою вершиною.
Властивість директрис гіперболи аналогічна відповідній властивості для
еліпса: r/d=ε .
45
Переконатись, що рівняння 9x2 – 25y2 – 225 = 0 є
рівнянням гіперболи. Знайти вершини гіперболи та
її асимптоти. Зобразити ескіз гіперболи.
2
2
9 x  25 y  225 ;
2
2
2
x  y 1
25
9
2
9 x  25 y  1;
225
225
– гіпербола з вершинами:
дійсні вершини гіперболи: A1(–5;0), A2(5;0),
уявні вершини гіперболи: B1(– 3;0), B2(3;0),
асимптоти: y  
b
a
x;
y
y
3
x.
5
3 B2
–5
A1
A2 5
O
–3 B1
46
x
Знайти рівняння гіперболи lg, якщо її
ексцентриситет εg=2, а фокуси збігаються з
фокусами еліпса le: x2/100 + y2/36 = 1.
le :
x 100  y
2
36  1;
2
a e  100 ;
2
b e  36 ; c e  a e  b e ;
2
2
2
c e  100  36  64 ; c g  c e  8 ;  g  c g a g ;
a g  8 2  4;
2
a g  16 ; b g  c g  a g ;
2
lg :
x 16  y
2
2
2
2
2
2
ag  cg  g ;
b g  8  4  48 ;
2
2
2
48  1 .
Точка M  8 ; 6 3  належить гіперболі
x
2
a  y
2
2
b  1,
2
а її асимптоти y=±(3/2)x. Знайти канонічне рівняння, ексцентриситет і
директриси гіперболи.
2
2
2
Оскільки точка M належить гіперболі, то   8  / а  6 3  / b 2  1 .
З рівняння асимптот маємо b/a=3/2. Розв’язуючи одержану систему
двох рівнянь з двома невідомими a і b (зробіть це самостійно), знаходимо
a=4 і b=6.
Звідси x2/16 – y2/36 = 1 – канонічне рівняння; с 2  а 2  b 2 ; c 2  16  36  52 ;
c  2 13 ;   c a ;   2 13  4  13 2 – ексцентриситет;
х  4 /


13 2 ;


х   8 13 / 13
– директриси.
47
На початок розділу
3.5 Парабола
Параболою називається множина всіх точок площини, для кожної з
яких відстань до заданої точки площини F (фокуса параболи) дорівнює
відстані до заданої прямої ld (директриси параболи), що не проходить
через фокус.
Для довільної точки M(x; y) параболи (рис. 20) r=d,
де r = MF – фокальний радіус точки M(x; y); d – відстань від точки
M(x; y) до директриси ld : x = –p/2; F(p/2;0) – фокус; p – параметр
параболи (відстань від фокуса до директриси), p > 0. Тоді
x 
y
M
d
ld
r
O
p/2
Рис. 20
F
p 2    y  0   x    p 2 .
2
2
Підносячи до квадрата і спрощуючи (проробіть
це самостійно), одержимо канонічне рівняння
параболи y2 = 2px.
Очевидно, що x ≥ 0.
Парабола має форму нескінченної гілки, яка
x
симетрична відносно осі параболи OF. Точка O(0,0)
на осі симетрії (початок координат) називається
вершиною параболи. Асимптот парабола не має.
48
Зауваження 1. Згідно з означенням параболи і властивостями директрис
еліпса і гіперболи, прийнято, що ексцентриситет параболи дорівнює
одиниці ε=1.
Зауваження 2. На практиці часто зустрічаються параболи з іншим
розміщенням відносно системи координат. На рис. 21 – 24 наведені основні
випадки і відповідні канонічні рівняння.
y
y
ld
ld
O
x
F
Рис. 21
y2=2px
O
F
x
y2= – 2px
Рис. 22
y
y
F
x2=2py
x
O
ld
O
x
F
ld
Рис. 24
Рис. 23
49
x2= – 2py
Визначити координати фокуса F(p/2;0) і
рівняння директриси ld параболи y2=12x.
Знайти кінці M1(p/2;–p) і M2(p/2; p) хорди
M1M2=2p, яка проходить через фокус
параболи і перпендикулярна до її осі.
Зобразити ескіз параболи, провівши
плавну лінію через її вершину O і точки
M1(p/2;–p), M2(p/2; p).
y
6
ld
F
-3
y2 = 2px; y2 = 12x; 2p = 12; p = 6;
F(p/2; 0); F(3;0);
ld: x = – p/2; x = – 3;
M1(3; –6), M2(3,6).
M2
O
3
-6
M1
50
x
Скласти рівняння параболи lp: y2 = 2px, якщо її фокус збігається з
правою дійсною вершиною гіперболи lg: x2/4 – y2/6 = 1. Знайти точки
перетину цих ліній.
l g : х / 4  у / 6  1;
2
F  p 2 ; 0   A 2 a g ; 0  ;
a g  4;
2
2
p  4 ; lp : y
p 2  ag  2 ;
2
 2 px ; y  8 x ;
2
x2 4  y2 6  1
;

2
y 8x

x
2

4
8x
 1 ; 3 x  16 x  12  0 ;
2
6
– не задовольняє умову x ≥ 0;
x1  6 ; x 2   2 3
y  86;
2

y1  4 3 ; y 2   4 3 ;

M1 6;  4 3 ;
51


M 2 6; 4 3 .
На початок розділу
3.6 Лінії другого порядку як конічні перерізи та їх оптична
властивість
Будь-яка дійсна суттєво крива лінія другого порядку
може бути одержана як перетин кругового конуса
площиною, що не проходить через його вершину.
Зокрема:
1) якщо площина перпендикулярна до осі конуса, то
в перерізі – коло;
1) 4)
2) якщо площина перетинає лише одну
порожнину конуса і не паралельна жодній
його твірній, то в перерізі – еліпс;
3)
3) якщо площина паралельна осі конуса, то
в перерізі – гіпербола;
4) якщо площина паралельна твірній
конуса, то в перерізі – парабола. (рис. 25)
52
2)
Рис. 25
Оптична властивість ліній другого порядку: промінь, що виходить з
фокуса, йде вздовж фокального радіуса, відбивається від дзеркальної
поверхні, що має твірною лінію другого порядку, а потім йде вздовж
іншого фокального радіуса. У випадку еліпса відбиті промені проходять
через другий фокус. У випадку параболи відбиті промені утворюють
паралельний пучок, що йде у нескінченність. У випадку гіперболи відбиті
промені утворюють пучок, що розсіюється, з центром у другому фокусі.
53
На початок розділу
4.1 Полярні координати
4.2 Зв’язок між полярними і прямокутними
координатами
4.3 Рівняння ліній другого порядку в полярній
системі координат
4.4 Рівняння деяких ліній у параметричній
формі
зміст
4.1 Полярні координати
55
У полярній системі координат (рис. 25) положення довільної точки M
однозначно визначається впорядкованою парою чисел (ρ;φ) – її полярними
координатами. Тут ρ – полярний радіус OM (відстань від точки до полюса
O), φ – полярний кут
 xOM
(кут між полярною віссю –
напрямленою півпрямою Ox із
M(ρ;φ)
заданим масштабом OE=1 – і
полярним радіусом).
ρ
Сукупність
півпрямих
φ=C1=const, що виходять з
полюса, і концентричних кіл
x
O E
ρ=C2=const
зі
спільним
центром у полюсі, утворює
координатну сітку полярної
системи координат.
Зауваження 1. Полярна система координат
широко застосовується у механіці та інших
Рис. 25
областях при вивченні обертових рухів.
Зауваження 2. Надалі обмежимось розглядом тільки головних значень
полярних координат (ρ; φ), що задовольняють умови ρ ≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π.
56
Побудувати точки у полярній системі координат: а) M(4; π/3);
N(3; 5π/4); в) P(4; 0); г) Q(5; π).
M
Q
π
5π/4 π/3
O E
N
P
x
б)
Побудувати задану дугу спіралі Архімеда ρ = (4/π)φ,
0≤φ≤3π, надаючи аргументу φ значення з відрізка [0; 3π]
через проміжок π/4, починаючи з φ = 0.
φ=0, ρ=(4/π)·0=0;
φ= π/4, ρ=(4/π)· (π/4) =1;
φ= π/2, ρ=(4/π)· (π/2) =2;
φ= 3π/4, ρ=(4/π)· (3π/4) =3;
φ= π, ρ=(4/π)· π =4;
φ= 5π/4, ρ=(4/π)· (5π/4) =5;
φ= 7π/4, ρ=(4/π)· (7π/4) =7;
φ= 2π, ρ=(4/π)· (2π) =8;
φ= 9π/4, ρ=(4/π)· (9π/4) =9;
φ= 5π/2, ρ=(4/π)· (5π/2) =10;
φ=11 π/4, ρ=(4/π)· (11π/4) =11;
φ= 3π, ρ=(4/π)· (3π) =12.
φ= 3π/2, ρ=(4/π)· (3π/2) =6;
Таблиця 1
φ
0
π/4
π/2
3π/4
π
5π/4
3π/2
ρ
0
1
2
3
4
5
6
φ
7π/4
2π
9π/4
5π/2
11π/4
3π
ρ
7
8
9
10
11
12
Побудуємо точки за їх координатами із табл. 1, а потім сполучимо
знайдені точки плавною лінією. Отримаємо задану дугу спіралі Архімеда
(Рис. 26).
58
π/2
3π/4
π/4
9 π/4
π
x
O
0
2π
E
5π/4
3π/2
7π/4
Рис. 26
На початок розділу
59
4.2 Зв’язок між полярними і прямокутними
координатами
Припустимо, що полюс O полярної системи співпадає з початком
декартової прямокутної системи координат Oxy, а полярна вісь служить
додатною піввіссю абсцис Ox (рис. 27).
y
З прямокутного ∆OMN маємо формули
переходу від полярних до декартових координат
M(ρ;φ)
ρ
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ
y
φ
O
x
Рис. 27
x
а також обернені формули переходу від декартових
до полярних координат
 
x  y ; sin   y
2
2
x  y ; cos   x
2
2
x  y .
2
2
Зауваження. Деякі лінії, що у декартових координатах задаються
рівняннями у незручній для дослідження неявній формі, при переході до
полярних координат набувають досить простого явного вигляду ρ = ρ ( φ).
Використовуючи формули переходу, записати рівняння заданих ліній у
полярній системі координат:
а) вертикальна пряма x = a;
б) горизонтальна пряма y = b;
в) коло (x – a)2 + y2 = a2 з центром у точці C(a; 0) на осі OX, що
проходить через початок координат O;
г) коло x2 + (y – b)2 = b2 з центром у точці C(0; b) на осі OY, що
проходить через початок координат O.
(Пункти б) і г) розв’язати самостійно).
a) x = a; ρ cos φ = a; ρ = a/cos φ;
в) (x – a)2 + y2 = a2;
(ρ cos φ – a)2 + (ρ sin φ)2 = a2;
ρ2 cos2 φ – 2 aρ cos φ + + a2 + ρ2 sin2 φ = a2;
ρ2 (cos2 φ + sin2 φ) – 2 aρ cos φ = 0; ρ2 – 2 aρ cos φ = 0;
ρ = 2 a cos φ;
61
Використовуючи формули переходу, записати рівняння заданих ліній у
полярній системі координат і побудувати їх ескізи. (Розглядати тільки
головні значення полярних координат):
а) лемніската (x2 + y2)2 = a2(x2 – y2), a = const > 0;
б) кардіоїда (x2 + y2 – ax)2 = a2(x2 + y2), a = const > 0. (Розв'язати
самостійно. Значення аргументу взяти з кроком π/4, починаючи з φ = 0).
a) (x2 + y2)2 = a2(x2 – y2); ((ρ cos φ)2 + (ρ sin φ)2)2 = a2((ρ cos φ)2 – (ρ sin φ)2);
ρ4 (cos2 φ + sin2 φ)2 = a2ρ2(cos2 φ – sin2 φ); ρ2 = a2 cos 2φ;   a cos 2 .
Допустимі значення полярного кута визначаються системою обмежень ρ
≥ 0, 0 ≤ φ ≤ 2π, cos 2φ ≥ 0.
Звідси D    :   0 ;  4   3  4 ; 5 4   7  4 ; 2  .
Надаючи аргументу φ значення з області визначення D(ρ) через проміжок
π/8, починаючи з φ = 0, побудуємо точки за їх координатами із табл. 2, а
потім сполучимо знайдені точки плавною лінією. Отримаємо ескіз
лемніскати (рис. 28).
62
  a cos 2 .
Таблиця 2
φ
0
ρ
a
φ
π
ρ
a
π/8
a
4
8 2
9π/8
a
4
8 2
O
π/4
3π/4
0
0
7π/4
15π/8
0
a
4
7π/8
a
8 2
4
8 2
2π
a
a
x
Рис. 28
б)
На початок розділу
63
4.3 Рівняння ліній другого порядку в полярній системі
координат
Рівняння ліній другого порядку в полярних координатах набувають
найбільш простого вигляду, якщо полюс O розмістити відповідно у центрі
кола, у лівому фокусі еліпса, у правому фокусі гіперболи чи у фокусі
параболи, а за напрям полярної осі вибрати додатний напрям осі Ox
(рис. 30).
Нехай M1M2 = 2p – хорда, яка проходить через
M2
вибраний полюс і перпендикулярна до полярної осі.
p
O
Число p = M1O = M2O називається параметром лінії,
x
p > 0. Для параболи параметр p уже визначений раніше
M1
як відстань від фокуса до директриси. Для кола p = r, а
для еліпса і гіперболи p = b2/a .Тоді рівняння
Рис. 30
ρ = p /(1 – ε cos φ)
визначає відповідно
а) коло, якщо ε = 0;
б) еліпс, якщо 0 < ε < 1;
в) параболу, якщо ε = 1;
г) праву гілку гіперболи, якщо ε > 1.
На початок розділу
4.4 Рівняння деяких ліній у параметричній формі
Нехай плоска лінія задана у декартовій прямокутній системі координат
параметричними рівняннями
x = x(t); y = y(t),
де t – допоміжна змінна (параметр), x(t) і y(t) – деякі вирази.
Якщо з цих рівнянь удається вилучити параметр t, то одержується
рівняння лінії у неявній F(x, y) = 0 чи навіть у явній y = f (x) формах.
Показати, що система параметричних рівнянь
x = a cos t, y = b sin t,
де a, b = const причому a > 0, b > 0 визначає еліпс з півосями a і b.
cos t = x/a, sin t = y/b;
cos2 t + sin2 t = (x/a)2 + (y/b)2 = 1;
x
2
a
2

y
2
b
2
 1.
Зауваження 1. Якщо a = b = r, то маємо параметричні рівняння кола
x = r cos t; y = r sin t,
r > 0.
64
65
Побудувати ескіз дуги циклоїди, що задана в параметричній формі
 x  a t  sin t 
;



y

a
1

cos
t

t  0 ; 4   ; a  0 .
Побудуємо точки за їх
координатами із табл. 4, а потім
сполучимо
знайдені
точки
плавною лінією. Отримаємо
задану дугу циклоїди (рис. 31).
Таблиця 4
t
0
π/2
π
3π/2
x
0
a(π/2 – 1)
аπ
а(3π/2+1)
y
y
0
a
2а
а
2a
t
2π
5π/2
3π
7π/2
4π
x 2aπ a(π/2 – 1) 3аπ а(7π/2+1) 4аπ
O
Рис. 31
2aπ
x
y
0
а
2а
а
0
Побудувати ескіз астроїди, що задана в параметричній формі
 x  a cos 3 t
; t  0 ; 2   ; a  0 .

3
 y  a sin t
(Розв’язати самостійно. Значення параметра t взяти з кроком π/2, починаючи з
t = 0).
Зауваження 2. Якщо лінія задана явно рівнянням y = f(x), то її можна
подати в параметричній формі
x = t; y = f (t).
Зауваження 3. Якщо лінія в полярних координатах задана рівнянням
ρ=ρ(φ), то використовуючи формули переходу x = ρcos φ і y = ρsin φ, її можна
подати в параметричній формі x = ρ(φ)cos φ; y = ρ(φ)sin φ, де роль параметра
відіграє полярний кут φ.
Знайти рівняння лінії ρ=2p cos φ/sin2 φ; p>0 в декартових
координатах і визначити її тип.
2 p cos 

2
x


(

)
cos


cos


2
p
ctg

2
Спосіб 1. 
sin 
;

2 p cos 
 y   ( ) sin  
sin   2 p ctg 
2

sin 
ctg2 φ = x /(2p);
y2 = 4p2 ctg2 φ = 4p2 x /(2p);
y2 = 2px – парабола.
Спосіб 2. 

2
2
x  y ; sin   y
x  y
2
2

 2p x
x  y ; cos   x
2
x  y
2
2
2
 : y
y2 = 2px – парабола.
x  y
2
x  y ;
2
2
2

2
На початок розділу
Список лiтератури
1. Вища математика. У 2 ч. Ч.1: Лінійна і векторна алгебра: Аналітична
геометрія: Вступ до математичного аналізу: Диференціальне і інтегральне
числення / П.П. Овчинников, Ф.П. Яремчик, В.М. Михайленко; За заг. ред.
П.П. Овчинникова. – К.: Техніка, 2003. – 600 с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1. – М.: Наука, 1997. –304 с.
3. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика. – К.: А.С.К., 2003. – 648 с.
4. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука,
1975. – 272 с.
5. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – Донецьк: Сталкер, 2003.
– 495 с.
6. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика: Довідник. – К.:
Дiал, 2003. – 461 с.
7. Станішевський С.О. Вища математика. – Харків: ХНАМГ, 2005.–270
с.
8. Станішевський С.О., Якунін А.В., Ситникова В.С. Вища математика
для електротехніків. Модуль 1. – Харків: ХНАМГ, 2009. – 308 с.
9. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
– М.: Наука, 1968. – 336 с.
67
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
Анатолій Іванович Колосов,
Анатолій Вікторович Якунін,
Світлана Миколаївна Ламтюгова
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ У ПРЕЗЕНТАЦІЯХ.
ЧАСТИНА І: АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ НА ПЛОЩИНІ
Електронний альбом дидактичних матеріалів для студентів 1 курсу денної
та заочної форм навчання за напрямом підготовки 6.050701 “Електротехніка
та електротехнології”, спеціальностей “Електротехнічні системи електроспоживання”
і “Світлотехніка і джерела світла”
Відповідальний за випуск: С.О. Станішевський
Редактор: М.З. Аляб’єв
План 2009, поз. 189 М
_________________________________________________________________________________
Підп. до друку 29.05.09 р. Формат 60х84 1/16 Папір офісний
Друк на ризографі.
Умовн.-друк.арк 3,0 Обл.-вид.арк. 3,2
Тираж 10 прим.
Зам. №
_________________________________________________________________________________
ХНАМГ, 61002, Харків, вул. Революції, 12
_________________________________________________________________________________
Сектор оперативної поліграфії ЦНІТ ХНАМГ
ХНАМГ, 61002, Харків, вул. Революції, 12