Transcript Document
Серед усіх наук, що відкривають людству шлях до пізнання законів природи є наймогутніша, найважливіша наука – математика. С.В. Ковалевська Серед змістовних ліній математики є тема “Рівняння” “Рівняння – це золотий ключик, який відкриває всі математичні сезами” С. Коваль \ в якому вивчають тригонометричні функції та їх застосування. Тригонометричні функції-функції, аргументрами яких є кути або дуги. Алгебра багато століть розвивалася як наука про рівняння • Для розв’язування цих відомих нам рівнянь ми користуємося заздалегідь виведеними формулами або виробленими алгоритмами, що значно спрощує роботу. Особливістю є те: -що загальних методів, загального способу не існує; -що вони або зовсім не мають розв’язків, або мають безліч, внаслідок періодичності. Б Л ОК И Складніші Найпростіші Типові sin x 1 cos x 1 E (tgx) R • Множину розв’язків тригонометричних рівнянь, яка задається формулою називається серією. • Розв’язки, які одержують при конкретних значеннях n (k), називають частковими розв’язками. • Пробуємо всі тригонометричні функції звести до одного аргументу; • Якщо вдалося звести до одного аргументу, то пробуємо всі тригонометричні вирази звести до однієї функції; • Якщо до одного аргументу вдалося звести, а до однієї функції ні, то пробуємо звести рівняння до однорідного; • Якщо попередні пункти не виконуються, то пробуємо одержати добуток; • В решті випадків переносимо всі члени в один бік і використовуємо спеціальні прийоми розв’язування (намагаємося розпізнати типове рівняння). • Приклад. Розв’язати рівняння sin2x + 4sinx -5 = 0 Розв’язання. Заміна sinx=t.Одержуємо t2 +4t -5 =0; t= -5; t=1. Тоді sinx=-5, sinx=1 Якщо до рівняння змінна входить в одному й тому ж вигляді, то зручно цей вигляд змінної позначити однією буквою (новою змінною) • 4cosx – 4 = sin2x, sin2x–4cosx+4 =0, 1-cos2x-4cosx+4=0, cos2x+ 4cosx -5=0, тоді cosx =-5, cosx = 1. Зводяться до однієї функції, вводиться нова змінна і одержується алгебраїчне рівняння, зокрема квадратне. • Приклад: cos2x + sinx = 0 1 – 2sin2x +sinx =0, 2sin2x-sinx -1=0, тоді sinx=1 або sinx=-1/2 В такому випадку слід виконати такі перетворення, щоб утворилися однакові аргументи та залишилася лише одна функція. Рівняння називається однорідним рівнянням відносно sinx і cosx, якщо сума показників степенів у кожному доданку однакова( дорівнює степеню рівняння). Загальний запис: asinx +bcosx =0; asin2x + bcosxsinx +ccos2x = 0 Ідея розв’язування: ділення членів рівняння на cosx або sinx в степені,що дорівнює степеню рівняння. Але при цьому необхідні обгрунтування, що cosx не дорівнює нулю, що є частиною розв’язування рівняння. Приклади: Sin3x- 2cos3x=0, 3sin2x-=2sinxcosx-cos2x=0, cos2x -3cosxsinx = -1, 6sin2x+1/2sin2x-cos2x =2. • Cos3xsin2x+cos3x =0, • 3cosx/2 – sinx =0, • Sin2x – sin2x = 0. Для розв’язування використовуються відповідні формули та умова рівності добутку нулю. • Серед типових є рівняння asinx + bcosx = c. Рівняння одне, а способів 10! Приклад: sinx + cosx = -1. Можливі 3 шляхи розв’язування: - рівносильні перетворення(що не змінюють ОДЗ); - перетворення , що звужують ОДЗ; - перетворення,що розширюють ОДЗ. • Приклад: sinx + cosx =-1, 1 1 1 sin x cos x 2 2 2 1 cos sin x sin cos x 4 4 2 1 sin(x ) 4 2 x 4 x x (1) n arcsin( 1 ) n, n 2 1 n, n 2 4 4 (1) n1 arcsin (1) n1 4 n, n sin x cos x 1 x 2 1 tg 2 2x 2tg 1 tg 2 x 2 + 1 tg 2 2x 1 Знайдемо ті значення х при яких тангенс не існує x k , k Z 2 2 2 x 1 tg 0, 2 2tg x 1 tg 2 x 1 tg 2 x , 2 2 2 x2 2k , k Z Перевіримо, чи x 2k , k Z x tg 1 2 x1 2 є коренями даного рівняння sin cos 1 2k , k Z (при k 0, x ) -1= -1, то x є коренем даного рівняння. sin x cos x 1 sin2 x 2 sin x cos x cos2 x 1 sin 2 x 0 x 2 n, n Z Якщо: n=0, то x=0; n=1, то x= n=2, то x= 2 3 2 n=3, то х= n=4, то х= 2 Отже, x=π і х=3π/2 – корені даного рівняння, а x=0 і x= π/2– сторонні корені. Відповідь: x1 2 2k , k Z x2 2k , k Z Рівняння, що розв’язуються: - перетворенням суми в добуток; - використанням формул пониження степеня; - перетворенням в суму, а потім в добуток; - використанням оцінки множини значень; Рівння з додатковими умовами; Рівняння, що містять суму і добуток sinx і cosx; Рівняння, для розв’язування яких використовуються формули потрійного аргументу. • Поняття рівняння пронизує весь шкільний курс математики. • Мова алгебри рівняння. • Без них не обходяться такі сьогодні предмети як фізика, хімія, географія, біологія, економіка... • Рівняння – це не просто рівність З одною змінною чи кількома. Рівняння – це думок активність. Це інтелекту боротьба. То ж будьте творчими,активно розвивайтесь Долайте труднощі у своєму житті, Але з рівняннями, прошу не розлучайтесь. Вони послужать вам ще в майбутті Л.О.БУКАТА