Необхідність розв'язувати рівняння не тільки першого, але й другого степеня ще в давнину була визвана потребами розв'язувати задачі, зв'язані з знаходженням площ земельних ділянок і з земельними роботами воєнного характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000років до нашої ери вавілонці. Застосовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що в їх клинописах текстах зустрічається, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння: х²+х=¾: х²-х=14½.

Правило розв'язування цих рівнянь, викладено у вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасним, але невідомо, яким чином дішли вавілонці до цього правила. Майже всі знайдені до сих пір клинописні тексти приводять тільки задачі з розв'язками у вигляді рецептів, без вказівок відносно того, яким чином вони були знайдені.

Недивлячись на високий рівень розвитку алгебри у Вавілоні, в клинописних текстах відсутнє поняття відємного числа і загальні методи розв'язування квадратних рівнянь.

В “Арифметиці” Діофанта немає систематичного викладання алгебри, але в ній міститься систематизований ряд задач, які супроводжуються поясненням і розв'язуванням за допомогою складання рівнянь різних степенів.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення розв'язку вміло вибирає невідомі. Наприклад “Знайдіть два числа, якщо їх сума рівна 20, а добуток 96”.

Діофант міркує так: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так якщо вони були б рівні то їх добуток дорівнював не 96, а 100. таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, т.б. 10+х, друге ж менше, т.б. 10-х. різниця між ними 2х. Звідси рівняння (10+х)(10-х)=96 Або ж 100-х²=96 х²-4=0 (1)

Звідси х-2. Одне число 12, друге 8.

Розв'язок х=-2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала менше додатні числа.

Якщо ми розв'яжемо цю задачу, вибираючи за невідоме одне з шуканих чисел, то ми матемем таке рівняння: У(20-У)=96; у²-20у+96=0 (2) ясно, що, вибираючи за невідоме піврізницю шуканих чисел Діофант спрощує розв'язок; йому вдається звести задачу до розв'язання неповного квадратного рівняння.

Завдання учням: Розв'язати квадратні рівняня з “Арифметики” Діофанта 1) 12х²+х=1; 2) 630х²+73х=6.

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються уже в астрономічному трактаті “Ариабхаттиам”, складеному в 499році індійським математиком і астрономом Ариабхаттой. Інший індійський вчений, Брахмагунта (VIIст), виклав загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до однієї конононічної форми: ах²+вх=с, а>0 (1) В рівнянні (1) коефіцієнти, крім а, можуть бути і від'ємними. Правило Брахмагунти по суті співпадає з нашим.

В Стародавній Індії були розповсюджені публічні змагання в розв'язуванні важких задач. В одній з старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань слідуючи: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачі часто були віршовані.

Наприклад. Задача знаменитого індійського математика XIIст, Бахаскари «Обезьянок резвых стая Власть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам… Стали прыгать повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?» Розв'язок Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратного рівняння. (х/8)²+12=х Баскара пише так х²-64х=-768 і, що доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додаємо до двохчастин 32², одержуємо: х²-64х+ 32²=-768+1024 (х-32)²=256, Х-32=±16 Х1=16; х2=48.

В алгебраічному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь, виражаючи їх слідуючим чином: 1) “Квадрати рівні кореням”, т.б ах²=вх.

2) “Квадрати рівні, числу”, т.б. ах²=с.

3) “Корені рівні числу”, т.б ах=с.

4) “Квадратні числа рівні кореням”, т.б. ах²+с=вх.

5) “Квадрати і корені числу”, т.б. ах²+вх=с 6) “Корені і числа рівні квадратам”, т.б. вх+с=ах²

Для ал-Хорезмі, що уникає використання від'ємних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а не від'ємники. При цьому не беруться до уваги рівняння, у яких немає доданків розв'язків. Автор викладає способи розв'язування вказаних рівнянь, користуючись правилами ал-джабр і ал-мукабала.

Його розв'язування, звичайно, не співпадає повністю з нашим. Уже не говорячи про те, що вони чисто риторичні, слідує відмітити, наприклад, що при розв'язуванні неповного квадратного рівняння першого виду ал-Харезмі, як і всі математики до XVIIст., не враховує нульового розв'язку, мабуть тому, що в конкретних практичних задачах воно не має значення. При розв'язуванні повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язування, а потім їх геометричні додавання.

Наведемо приклад:

“Квадрат і число 21 рівні 10 кореням. Знайти коренів” (розуміється корінь рівняння х²+21=10х) Розв'язок автора звучить приблизно так: розділи пополам число коренів, одержавши 5, помнож 5 саме на себе, від добутку відніми 21, залишиться 4. добудь корінь з 4, одержиш 2. Відніми 2 від 5 одержиш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал-Хорезмі є першою що дійшла до нас книгою, в який систематично викладена класифікація формули їх розв'язування.

Формули розв'язування квадратних рівнянь по зразку ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в “Книзі абока”, написаною в 1202р італійським математиком Леонардо Фітоначчі.

Це об'ємна праця, в якій відроджений вплив математики як країн ісламу, так і Стародавній Греції, відрізняються і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язування задач і перший в Європі підійшов до введення від'ємних чисел. Його книга спонукала розповсюдженню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з “Книги абака” переходили майже у всіх європейських підручниках XVI-XVIIст. І частково XVII.

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до єдиного канонічного виду х²+вх=с, при можливих комбінаціях знаків коефіцієнтів в,с було сформульовано в європі лише в 1544р. М. Штифелем. Вивів формули розв'язування квадратного рівняння в загальному вигляді є Вієта, однак Вієта признавав тільки додатні корені. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбелли серед перших в XVIСТ. враховують, не тільки додатні, а і від'ємні корені. Лише в XVIIст. в працях Жирара, Декарта, Ньютоната інших вчених спосіб розв'язування квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

Теорема, що виражає зв'язок між коєфіцієнтами квадратного сформулювана вперше в 1591році слідуючим чином: “Якщо В+Д, помножене на А мінус А², рівне ВД, то А рівне В і рівне Д”. Щоб зрозуміти Вієта, слідує згадати що А, як і всяка голосна бугева, означала у нього невідоме (наше х), приголосні Ж,В,Д коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри формулювання теореми Вієта означає: (а+в)х-х²=ав, Т.б. х²-(а+в)х+ав=0.

То х1=а, х2=в.

Виражаючи залежність між коренями і коефіцієнтами рівняння загальними формулами, записаними з допомогою символів, Вієт встановив (единообразне) в прийомах розв'язуванні рівнянь. Одначе символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не признавав від'ємних чисел і тому при розв'язуванні рівнянь розглядав лише випадки, коли всі корені додатні.

Рівняння виду ах²+вх+с=0, де а,в,с-числа, причому а≠0, називається а-1-й коєфіцієнт, в-2й коєфіцієнт; с-вільний член цього рівняння.

Приклади.

3х²+2х-1=0 –квадратне рівняння; а=3 (1-й коєфіцієнт-3); в=2 (2-й коєфіцієнт-2); с=-1 (вільний член- -1).

а=1 х²+pх+g=0 Зведене квадратне рівняння ах²+вх+с=0 де а≠0 Квадратне рівняння в або с, або і в, і с дорівнюють 0 неповне квадратне рівняння в=0 ах²+с=0 с=0 ах²+вх=0 в=с=0 ах²=0

1) Якщо 3х²+2х-1=0, то слід розкласти на множники ліву добутку до нуля: ах²+вх=0 х(ах+в)=0 2) Якщо ах²+с=0, то слід звести це рівняння до виду х²=А: ах²+с=0 ах²=-с х²=-с/а , якщо –с/а> -два корені, якщо –с/а<0 немає коренів.

3) Якщо ах²=0, то х²=0, х=0:

ах²=0

Приклади.

Розв'язати рівняння: 1) 3х²-х=0 х(3х-1)=0 х=0 або 3х-1=0 х=1/3 Відповідь: 0; 1/3.

2) 4х²-1=0 4х²=1; х²=1/4>0; х=±1/4; х1=1/2; х2=-1/2; Відповідь: ±1/2; 3) 5х²=0 х=0 Відповідь: 0

х=0 (один корінь)

У рівнянні ах²+вх+с=0; Д=в²-4ас-дискрименент, що показує кількість (наявність) коренів: 1) Якщо Д<0, коренів немає; 2) 3) Якщо Д=0, то один корінь (два рівні); Якщо Д>0, то два різні корені, тобто ах²+вх+с=0, а±0; в±0; с±0 Д=в²-4ас Д<0 Коренів немає х 12 =-в/2а два рівні корені Х12=-в±√Д/2а два різні корені

Приклад.

Розв'язати рівняння: 3х²-5х+2=0 а=3; в=-5; с=2 Д=в²-4ас=(-5)²-4*3*2=25-24=1 Д>0 √Д=1 Х1.2=-в±√Д/2а; х1.2=5±1/2*3; Х1=5+1/6=1; х2=5-1/6=2/3 Відповідь: 1; 2/3.

Якщо в рівнянні ах²+вх+с=0 (а≠0) в=2m(парні числа), то Д 1 =Д/4=m²-ас Д 1 <0 Коренів немає Д 1 =0 Х 12 =-к/а Два рівні корені (один корінь ) Д 1 >0 Х12=-к ± √ Д 1 /а Два різні корені Приклад.

Розв'язати рівняння: 3х²-2х-1=0; в=-2; m=в/2=-1.

Д1=m²=ас=(-1)²-(1)*3=1+3=4; 4>0; √Д1=√4=2.

х1.2=-к±√Д1/а; х1.2=1±2/3; Х1=1+2/3=1; х2=1-2/3=-1/2 Відповідь: 1; -1/3.

1. Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння.

Якщо х1 і х2-корені рівняння х²+px+g=0, то х1+х2=-p; х1*х2=g.

Приклад.

х²+3х-5=0. має два корені (бо Д>0); Тоді х1+х2=-3; х1*х2=5 2. Теорема Вієта для незведеного рівняння.

Якщо х1 і х2-корені рівняння ах²+вх+с=0 (а≠0), то х1+х2=-в/а; х1*х2=с/а; Приклад: 3х²-2х-1=0. Має два корені (Д>0); х1+х2=2/3; х1*х2=-1/3.

3. Теорема обернена до теореми Вієта.

Якщо m і n такі, що m+n=-p, а m*n=g, тоді m і n-корені рівняння x²+px+g=0

Якщо Якщо х 1 ,х 2 -корені Рівняння ах²+вх+с=0 пряма то    

х

1

х

1  *

х х

2 2  

с



в а а

обернена якщо то

1. Розв'яжіть рівняння: а) 18-2х²=0; в) х²+16=0; б) 6х²=18; г) 3х+5х²=0; д) х²=9х; е) 0,5х²-3х=0.

2. Знайдіть корені рівняння: а) х²-7х-13=12-7х; б) 6х²-11=-4+18х-7; в) (х-1)(х+1)=0; г) х²-4х+4=0; д) (х=3)(х-5)=0.

3. У квадратному рівняння підкресліть однією лінією старший коефіцієнт двома лініями- другий і трьома-вільний член а) 2х²+3х-4=0; д) 4х²-2х+5=0; б) 13х-5х²+1=0; е) 11-2х²+4=0; в) 12+х²-5х=0; ж) 14-х²-2х=0; г) х²+4=6х; з) 7х-х²=5.

4. Складіть квадратне рівняння ах²+вх+с=0, в якому: а) а=1, в=-2, с=3; в) с=-5, а=2, в=-1; б) в=4, а=-1, с=4; г) в=0, с=9, а=-1.

5. Виділіть квадрат двочлена: а) 4х²+20х+31; б) х²+10х+16.

6. Розв'яжіть рівняння: а) х²-4х+3=0; б) 3х²-7х+4=0; в) 5х²-6х+1=0; г) х²+2=0; д) 6х²+9=0; е) (х+4)²=3х+40.

7. Знайдіть дискримінант квадратного рівняння: а) 3х²-4х-16=0; б) х²-2х+3=0; в) 2х²+9х+5=0.

8. При якому значенні а рівняння має один корінь?

4х²-ах+9=0

1. Знайдіть корені рівняння: 1) 5х²=25х; 2) 100х²-16=0; 3) 3х²-11х-4=0; 4) х²-3х+1=0; 5) 2х²+5х+9=х+2.

2. Розв'яжіть рівняння: 1) (х-4)(4х+9)=(х-5)²; 2) 3х²-6х/2=4-2х.

3. При якому значенні с рівняння 2х²-2х+с=0 має один корень (два рівні корені)?

4. У рівняння х²+рх-18=0 один із коренів дорівнює -9. Знайдіть другий корень і коефіцієнт р.

5. Чи існують такі значення а, при яких значеннях двочленів 4,5а²+0,18 і 0,3+1,5а є рівними? Якщо існують то знайдіть їх.

Початковий та середній рівні У завданнях 1-8 виберіть правильну відповідь: 1.

Серед наведених рівняння виберіть квадратне

А

х³+х² х+1=0

Б В

Х+4/х=2 -2х²=4

Г

(х-2)(х-3) х²=0 2. Запишіть рівняння (4-2х)(2х+4)=0 у вигляді ах²+вх+с=0 та вкажіть його

А

а=-2; в=0; с=4.

Б

а=4; в=16; с=0.

В

а=-4; в=0; с=16.

Г

а=-4; в=0; с=8.

3. Коренями рівняння а-а²=0 є числа.

4. Розв'яжіть рівняння 2у²+3у+5=0

А Б В 0 1 1; 0

Інша відповідь

А Б

-1; 2,5 -0,5; 2

В

Інша відповідь

Г Г

Коренів немає

А Б В Г

5. Не розв'язуючи рівняння 17а-71-а²=0, визначте знаки його коренів (якщо вони є) 6. Складіть квадратне рівняння за його коренями х1=5 і х2=-4

Обидва додатні

А

х²-20х+1=0 Коренів немає

Б

х²+х-20=0 Різні знаки Обидва від'ємні

В

х²-х 20=0

Г

х²+9х 20=0

7. Знайдіть середнє арифметичне коренів квадратного рівняння 2х²-14х+3=0.

А Б 7/2 -14 В -7

8. При якому значенні к один із коренів рівняння 3х²+8х+к=0 дорівнює -1?

Г 7 А -11 Б 5 В 11 Г

Такого значення к не існує

9. Знайдіть суму коренів рівняння (3х-5) ²²-(2х+1)²=24 10. При якому значенні а корені рівняння х²+(а-2)х+а-6=0 Будуть протилежними числами?

11. Відомо, що х1 і х2 корені рівняння х²-9х+4=0 Не розв'язуючи рівняння, знайдіть 1/х1+1/х2.

12. Обчисліть суму коренів рівняння.

(х²-5х+4)√х²-8х-9 =0

13. При якому найменшому значенні параметра а рівняння (а²-2а-3)х²-(а+1)х+5=0 Має єдиний корінь?

14. Знайдіть корені рівняння (|х|+1)²=4|х|+9, Які належать області визначення функції У=2х/2х+8.

1.

2.

3.

4.

зясувати, має воно корені чи ні?

Розшифруйте записи: ах²+вх+с=0; ²-n=0; n≥0; ²-(√n)²=0 =√n чи =-√n. Чи правда, що якщо в рівнянні ах²+вх+с=0 числа а і с мають різні знаки, то рівняння має корені?

Корені якого з рівнянь: х²-6х=0; х²-2х-24=0; х²-10х+25=0; х²-2х+24=0; х²-6х-16=0 мають таку властивість:

• • • • 5.

• 6.

•

7.

8.

9.

сума коренів дорівнює 6, добуток-16; один із коренів дорівнює 6; корені рівні; кожний із коренів на 2 менший, ніж корені рівняння х²-6х-16=0.

Відомо, що х²-6х-9=0. Знайдіть значення виразу: 1) х²-9; 2) х²+4х+3; 3) х²-х-15; Гра “Десять секунд на роздуми” Знайдіть х+у у системі 

х

2  

у у

 2 2  16 Знайдіть ху у системі  

х

1

х

 

у

1

у

  5 10 11

Доведіть, що система рівнянь не має розв'язків.

Усно розв'яжіть систему рівнянь Декілька друзів, зустрівшись, привітались один з одним. Скільки було друзів, якщо відомо, що їх кількість дорівнювала кількості рукостискань?

1.

2.

Квадратними є рівняння: 1) 3х²+5х+1=0; 2) 3х+5²=0; 3) 9х²=0; 4) -х²+2=0; 5) 1/х²+2х-3=0; 6) 6х²+х+3=0 Яке з квадратних рівнянь є неповним; зведеням? 1) х²+3х-2=0; 2) х²+√2х=0; 3) 7х²-1,2=0; 4) 5х²+х+1=0; 5) -х²-3х=0; 6) √2х²=0.

3.

Розвяжіть неповне квадратне рівняння 1) х²+16=0; 2) х²+х=0; 3) х²-4=0; 4) 5х²=0; 5) х²-2х=0; 6) -√2х²=0.

4. Чи правильно записано Д=в²-4ас квадратного рівняння: 1) 2х²+5х-3=0; Д=5²-4*2*3; 2) х²-3х-4=0; Д=(-3)²-4*1*(-4); 3) 3х²-х+2=0; Д=(-1)²+4*3*2; 4) -2х²+5х+7=0; Д=5²-4*(-2)*7;

5.

6.

Знайдіть Д і скажіть, скільки коренів має рівняння: 1) 4х²-х+7=0; 2) х²+4х-3=0; 3) х²-6х+9=0; Кожне з наведених рівнянь має корені. Назвіть суму і добуток цих коренів.

1) х²-5х+4=0; 2) х²+3х-27=0; 3) 3х²-16х+5=0; 7. Один з коренів рівняння дорівнює 3. Знайдіть інші корені: 1) х²-10х+с=0; 2) х²-вх-3=0 х²-вх-3=0; 3) х²-6х+6=0; 8.

Кожне з наведених рівнянь має корені. Не розв'язуючи цих рівнянь, вкажіть знаки цих коренів: 1) х²-10х-24=0; 2) х²+14х+35=0; 3) х²-12=0;

1. Квадратним є рівняння: а) 7х-3=0; б) (х+1)²=х²-4х; в) 5²=4х²; г) 1/х=4х².

2. Коефіцієнти а, в і с квадратного рівняння 3-х²-6х=0 є: а) 3; 0; -6; б) 3; -1; -6; в) -1; -6; 3; г) -6; -1; 3.

3. Розв'язком рівняння 4х²+3х=0 є : а) 0,75; б) 1; -0,75; в) 0; -0,75; г) немає коренів; 4. 25 дорівнює дискримінант рівняння: а) х²+3х+4=0; б) 4х²+3х-1=0; в) 16х²-3х=0; г) 2х²-3х+2=0; 5. Розв'язком рівняння х²-3х-18=0 є: а) -3; 6; б) 3; -6; в) -3; -6; г) 3; 6; 6. Рівність (х-3)²=9х-х²+2 є правильною при значеннях х: а) -0,5; -74 б) -0,5; 7; в) таких немає; г) 0.5; 7.

7. Сума коренів рівняння 4х²+17х+4=0 дорівнює: а) 17; б) -4,25; в) 4,25; г) інша відповідь. 8. Добуток коренів рівняння 2х²+х+3=0 дорівнює: а) 3; б) -3; в) інша відповідь; г) 1,5.

9. Рівняння 8х²+dх+8=0 має коренів 2, якщо d дорівнює: а) ½; б) -½; в) 2; г) -20 10. Розвязком рівняння: є: а) -2; 2; б) 1; в) -1; г) немає коренів.

2

х х

  2 1 

х х

  1 2  1

11. Квадратом двочлена х²+2х-10=0 є: а) (х+1)²-11; б) (х+1)²-9; в) (х-2)²+10; г) (х-10)²+2.

12. За допомогою данного рисунка графічно розвязали рівняння: а) -х²=х-2; б) х²=х+2; в) -х²=-х-2; г) х²=-х-2. у -2 0 1 3 х 9