Урок-конференція Урок-конференція заслухати доповідачів стосовно виведення формули коренів квадратного рівняння різними методами; навчитися визначати кількість коренів квадратного рівняння в залежності від того, який знак має дискримінант.
Download
Report
Transcript Урок-конференція Урок-конференція заслухати доповідачів стосовно виведення формули коренів квадратного рівняння різними методами; навчитися визначати кількість коренів квадратного рівняння в залежності від того, який знак має дискримінант.
Урок-конференція
Урок-конференція
заслухати доповідачів стосовно
виведення формули коренів квадратного
рівняння різними методами;
навчитися визначати кількість коренів
квадратного рівняння в залежності від
того, який знак має дискримінант D .
навчитися розв’язувати квадратні
рівняння за допомогою формул.
Основна ідея методу у виборі підстановки
Нехай
тоді
Урок-конференція
Якщо
Якщо
то розв’язків немає.
то розв’язок:
Отже,
Урок-конференція
Цей оригінальний метод є в неопублікованому
рукописі видатного математика.
Нехай дано рівняння
І припустимо, що воно має дійсний корінь
, тоді
Віднявши почленно рівності, дістанемо:
або
, тому
або
Урок-конференція
;
..
або
Отже, якщо рівняння має один корінь
то існує і другий корінь
,
.
Тому рівняння
.
Дістали формулу розкладання квадратного тричлена на множники.
Розкривши дужки у правій частині, дістанемо:
Прирівнявши відповідні коефіцієнти, дістанемо формули Вієта:
,
.
Урок-конференція
,
.
Використавши ці формули, знайдемо значення
Піднесемо обидві рівності
до квадрата і до результату додамо рівність
, помножену на -4.
Дістанемо:
або
Урок-конференція
,
Якщо
, то
Якщо
, то
.
.
Розв’язавши систему:
при
дістанемо
Урок-конференція
або
.
Тобто рівняння має два корені:
Урок-конференція
.
У системі координат позначаємо точки
, де
,
, коефіцієнти
і В
квадратного рівняння
На діаметрі АВ будуємо коло, яке перетинає вісь ОХ у точках,
даного рівняння.
що будуть коренями
Якщо коло не перетинає вісь – коренів немає, а якщо
дотикається - один корінь.
Доведемо це твердження. Знайдемо координати центра:
або
.
Урок-конференція
;
,
;
Складемо рівняння кола:
Коло перетинає вісь ОХ, якщо
, тому:
Урок-конференція
;
.
;
Отже, точки перетину кола і осі ОХ є
коренями квадратного рівняння.
А
у
В
х
Урок-конференція
Означення квадратного рівняння
Рівняння виду:
ax bx c 0
2
де х – змінна,
а, b і c – деякі числа,
причому а 0
називається квадратним рівнянням
Дискримінант і формула коренів.
Вираз
D b 4ac
2
називається дискримінантом.
Формули коренів рівняння:
b D
x1
2a
b D
x2
2a
Скільки коренів має рівняння?
D0
2 корені
D0
1 корінь
D0
коренів немає
Приклади
1. Скільки коренів має рівняння?
x
7
x
1
0
Розв’язання:
2
a 1, b 7, с 1
2
D b 4a c
D 7 4 1 1 49 4 53
2
D0
Відповідь:
2 корені
2. Чи має корені рівняння?
5x x 2 0
2
Розв’язання:
a 5, b 1, c 2
2
D b 4a c
2
D 1 4 5 2 1 40 39
D0
Відповідь: коренів немає
Розв’язати рівняння
аx bx c 0
2
Розв’язання:
D b 4a c
2
b D
x1
2a
b D
x2
2a
1. Розв’язати рівняння
12x 7 x 1 0
2
Розв’язання:
a 12, b 7, c 1
D b2 4 a c
D 7 4 121 49 48 1
b D
x1
2a
7 1 6
1
x1
2 12
24
3
7 1 8
1
x2
2 12
24
4
b D
x2
2a
Відповідь:
2
1
1
x1 , x2
3
4
2. Розв’язати рівняння
x 12x 36 0
2
Розв’язання:
a 1, b 12, c 36
D b2 4 a c
D (12)2 4 1 36 144144 0
b D
x1
2a
(12) 0 12
x1
6
2 1
2
b D
x2
2a
(12) 0 12
x2
6
2 1
2
Відповідь:
x6
3. Розв’язати рівняння
7 x 25x 23 0
2
Розв’язання:
a 7, b 25, c 23
D b2 4 a c
D (25)2 4 7 23 625 644 19
D 19 0
Відповідь: коренів немає
4. Розв’язати рівняння
x 9 x 18 0
2
Розв’язання:
a 1, b 9, c 18
D b2 4 a c
D 9 4 118 81 72 9
b D
x1
2a
9 9 6
x1
3
2 1
2
9 9 12
x2
6
2 1
2
b D
x2
2a
Відповідь:
2
x1 3, x2 6
5. Розв’язати рівняння
x 4 x 21 0
2
Розв’язання:
a 1, b 4, c 21
D b2 4 a c
b D
x1
2a
b D
x2
2a
D (4)2 4 1 (21) 16 84 100
(4) 100 14
x1
7
2 1
2
(4) 100 6
x2
3
2 1
2
Відповідь: x1 7, x2 3
6. Розв’язати рівняння
10x 30x 20 0
2
Розв’язання:
a 10, b 30, c 20
D b2 4 a c
b D
x1
2a
b D
x2
2a
Відповідь:
D 302 4 10 20 900 800 100
30 100 20
x1
1
2 10
20
30 100 40
x2
2
2 10
20
x1 1, x2 2
7. Розв’язати рівняння
x
2
x
8
0
Розв’язання:
2
a 1, b 2, c 8
D b2 4 a c
D (2)2 4 1 8 4 32 28
D 28 0
Відповідь: коренів немає
Розв’язати рівняння
аx bx c 0
2
D b 4a c
2
Якщо D<0, то коренів немає
b
Якщо D=0, то x
2a
b D
Якщо D>0, то x1 2 a
b D
x2
2a
Домашнє завдання:
Урок-конференція