Transcript Урок-конференція Урок-конференція  заслухати доповідачів стосовно виведення формули коренів квадратного рівняння різними методами; навчитися визначати кількість коренів квадратного рівняння в залежності від того, який знак має дискримінант.

Урок-конференція
Урок-конференція
 заслухати доповідачів стосовно
виведення формули коренів квадратного
рівняння різними методами;
навчитися визначати кількість коренів
квадратного рівняння в залежності від
того, який знак має дискримінант D .
 навчитися розв’язувати квадратні
рівняння за допомогою формул.
Основна ідея методу у виборі підстановки
Нехай
тоді
Урок-конференція
Якщо
Якщо
то розв’язків немає.
то розв’язок:
Отже,
Урок-конференція
Цей оригінальний метод є в неопублікованому
рукописі видатного математика.
Нехай дано рівняння
І припустимо, що воно має дійсний корінь
, тоді
Віднявши почленно рівності, дістанемо:
або
, тому
або
Урок-конференція
;
..
або
Отже, якщо рівняння має один корінь
то існує і другий корінь
,
.
Тому рівняння
.
Дістали формулу розкладання квадратного тричлена на множники.
Розкривши дужки у правій частині, дістанемо:
Прирівнявши відповідні коефіцієнти, дістанемо формули Вієта:
,
.
Урок-конференція
,
.
Використавши ці формули, знайдемо значення
Піднесемо обидві рівності
до квадрата і до результату додамо рівність
, помножену на -4.
Дістанемо:
або
Урок-конференція
,
Якщо
, то
Якщо
, то
.
.
Розв’язавши систему:
при
дістанемо
Урок-конференція
або
.
Тобто рівняння має два корені:
Урок-конференція
.
У системі координат позначаємо точки
, де
,
, коефіцієнти
і В
квадратного рівняння
На діаметрі АВ будуємо коло, яке перетинає вісь ОХ у точках,
даного рівняння.
що будуть коренями
Якщо коло не перетинає вісь – коренів немає, а якщо
дотикається - один корінь.
Доведемо це твердження. Знайдемо координати центра:
або
.
Урок-конференція
;
,
;
Складемо рівняння кола:
Коло перетинає вісь ОХ, якщо
, тому:
Урок-конференція
;
.
;
Отже, точки перетину кола і осі ОХ є
коренями квадратного рівняння.
А
у
В
х
Урок-конференція
Означення квадратного рівняння
Рівняння виду:
ax  bx  c  0
2
де х – змінна,
а, b і c – деякі числа,
причому а  0
називається квадратним рівнянням
Дискримінант і формула коренів.
Вираз
D  b  4ac
2
називається дискримінантом.
Формули коренів рівняння:
b D
x1 
2a
b D
x2 
2a
Скільки коренів має рівняння?
D0
2 корені
D0
1 корінь
D0
коренів немає
Приклади
1. Скільки коренів має рівняння?
x

7
x

1

0
Розв’язання:
2
a  1, b  7, с  1
2
D  b  4a c
D  7  4 1 1  49  4  53
2
D0
Відповідь:
2 корені
2. Чи має корені рівняння?
5x  x  2  0
2
Розв’язання:
a  5, b  1, c  2
2
D  b  4a c
2
D  1  4  5  2  1  40  39
D0
Відповідь: коренів немає
Розв’язати рівняння
аx  bx  c  0
2
Розв’язання:
D  b  4a c
2
b D
x1 
2a
b D
x2 
2a
1. Розв’язати рівняння
12x  7 x  1  0
2
Розв’язання:
a  12, b  7, c  1
D  b2  4  a  c
D  7  4 121  49  48  1
b D
x1 
2a
7 1 6
1
x1 


2 12
24
3
7  1 8
1
x2 


2 12
24
4
b D
x2 
2a
Відповідь:
2
1
1
x1   , x2  
3
4
2. Розв’язати рівняння
x  12x  36  0
2
Розв’язання:
a  1, b  12, c  36
D  b2  4  a  c
D  (12)2  4 1 36  144144  0
b D
x1 
2a
 (12)  0 12
x1 

6
2 1
2
b D
x2 
2a
 (12)  0 12
x2 
 6
2 1
2
Відповідь:
x6
3. Розв’язати рівняння
7 x  25x  23  0
2
Розв’язання:
a  7, b  25, c  23
D  b2  4  a  c
D  (25)2  4  7  23  625 644  19
D  19  0
Відповідь: коренів немає
4. Розв’язати рівняння
x  9 x  18  0
2
Розв’язання:
a  1, b  9, c  18
D  b2  4  a  c
D  9  4 118  81 72  9
b D
x1 
2a
9 9 6
x1 

 3
2 1
2
 9  9  12
x2 

 6
2 1
2
b D
x2 
2a
Відповідь:
2
x1  3, x2  6
5. Розв’язати рівняння
x  4 x  21  0
2
Розв’язання:
a  1, b  4, c  21
D  b2  4  a  c
b D
x1 
2a
b D
x2 
2a
D  (4)2  4 1 (21)  16  84  100
 (4)  100 14
x1 
 7
2 1
2
 (4)  100  6
x2 

 3
2 1
2
Відповідь: x1  7, x2  3
6. Розв’язати рівняння
10x  30x  20  0
2
Розв’язання:
a  10, b  30, c  20
D  b2  4  a  c
b D
x1 
2a
b D
x2 
2a
Відповідь:
D  302  4 10 20  900 800  100
 30  100  20
x1 

 1
2 10
20
 30  100  40
x2 

 2
2 10
20
x1  1, x2  2
7. Розв’язати рівняння
x

2
x

8

0
Розв’язання:
2
a  1, b  2, c  8
D  b2  4  a  c
D  (2)2  4 1 8  4  32  28
D  28  0
Відповідь: коренів немає
Розв’язати рівняння
аx  bx  c  0
2
D  b  4a c
2
Якщо D<0, то коренів немає
b
Якщо D=0, то x 
2a
b D
Якщо D>0, то x1  2  a
b D
x2 
2a
Домашнє завдання:
Урок-конференція