Transcript Теорема Вієта.
Slide 1
Квадратні рівняння
Теорема Вієта
Презентацію підготувала
студентка 3 курсу групи А
ІМФТО
Войтко Людмила
Вінниця 2010
Slide 2
Означення
• Рівність із змінною g(x) = f(x) називається
рівнянням із змінною х.
• Різні значення змінної, при яких f(x) і g(x)
приймають рівні числові значення,
називаються коренем рівняння.
• Розвязати рівняння - це значить знайти всі
його корені або довести, що їх немає.
Slide 3
Рівносильні рівняння
• Рівняння, які мають одні і ті ж корені,
називаються рівносильними.
• Рівносильними важаються рівняння, які не
мають коренів.
• Наприклад, рівняння х + 2 = 5 і х + 5 = 8
рівносильні;
• рівняння x2 + 5 = 0 і 3x2 + 1 = 0 рівносильні, так
як вони не мають коренів.
Slide 4
Теорема 1
Якщо в рівнянні будь-який член
перенести із однієї частини в іншу,
змінивши його знак, то отримаємо
рівняння, рівносильне даному.
Slide 5
Теорема 2
Якщо обидві частини рівняння
помножити або поділити на одне і
те саме число відмінне від нуля, то
отримаємо рівняння, рівносильне
даному.
Slide 6
Лінійні рівняння
Лінійним рівнянням з однією змінною
х називають рівняння виду ax = b, де
a,b R; а називається коефіцієнтом
при змінній, b - вільним членом.
Slide 7
Три випадки для
лінійного рівняння ax =
b
• 1) а 0; в даному випадку корінь рівний
b/a;
• 2) а = 0, b = 0; в даному випадку рівняння
приймає вигляд 0 х = 0, що вірно при
будь-яких х;
• 3) а = 0, b 0; в даному випадку рівняння
приймає вигляд 0 х = b, воно не має
коренів.
Slide 8
Квадратне рівняння
Квадратним рівнянням називається
рівняння виду
ax2+bx+c=0,
де a, b, с R (a 0).
Числа a, b, с мають наступні назви:
a - перший коефіцієнт, b - другий
коефіцієнт, с - вільний член.
Slide 9
Дискримінант
• Вираз D=b2–4ac називається
дискримінантом квадратного
рівняння.
• Якщо а = 1, то квадратне рівняння
виду x2+px+q=0 називається
зведеним, а его дискримінант
D=p2–4q.
Slide 10
Теорема 3: D 0
Якщо D 0, то
квадратне рівняння має
два корені x1,x2R,
причому якщо D = 0, то
рівняння має два
співпавших корені, а
якщо D > 0, то рівняння
має два різних дійсних
корені, які
визначаються за
формулою:.
Slide 11
Теорема 3: D < 0
Якщо D < 0, то квадратне рівняння не
має дійсних коренів.
Slide 12
Корені зведеного
рівняння
У випадку
зведеного
квадратного
рівняння формули
для знаходження
коренів мають
вигляд:
Slide 13
Теорема Вієта
• Сума коренів
зведеного квадратного
2
рівняння x + px + q = 0 рівна його
другому коефіцієнту p з
протилежним знаком, а добуток –
вільному члену q.
• Тобто x1 + x2 = – p і x1 x2 = q
Slide 14
Знаходження коренів
Так, не знаючи, як знайти корені
рівняння:
2
x + 2x – 8 = 0,
ми можемо сказати, що їх сума
повинна бути рівна – 2, а добуток
має рівнятись –8.
Slide 15
Приклад
• Теорема Вієта дозволяє вгадувати цілі
корені квадратного тричлена.
• Так, знаходячи корені квадратного
рівняння
2
x – 7x + 10 = 0,
можно почати з того, щоб попробувати
розкласти вільний член (число 10) на два
множники так, щоб їх сума рівнялась
числу 7.
Slide 16
Розв’язок
• Цей розклад очевидний:
10 = 5 × 2,
5 + 2 = 7.
• Звідси повинно слідувати, що числа
2 і 5 є невідомими коренями.
Квадратні рівняння
Теорема Вієта
Презентацію підготувала
студентка 3 курсу групи А
ІМФТО
Войтко Людмила
Вінниця 2010
Slide 2
Означення
• Рівність із змінною g(x) = f(x) називається
рівнянням із змінною х.
• Різні значення змінної, при яких f(x) і g(x)
приймають рівні числові значення,
називаються коренем рівняння.
• Розвязати рівняння - це значить знайти всі
його корені або довести, що їх немає.
Slide 3
Рівносильні рівняння
• Рівняння, які мають одні і ті ж корені,
називаються рівносильними.
• Рівносильними важаються рівняння, які не
мають коренів.
• Наприклад, рівняння х + 2 = 5 і х + 5 = 8
рівносильні;
• рівняння x2 + 5 = 0 і 3x2 + 1 = 0 рівносильні, так
як вони не мають коренів.
Slide 4
Теорема 1
Якщо в рівнянні будь-який член
перенести із однієї частини в іншу,
змінивши його знак, то отримаємо
рівняння, рівносильне даному.
Slide 5
Теорема 2
Якщо обидві частини рівняння
помножити або поділити на одне і
те саме число відмінне від нуля, то
отримаємо рівняння, рівносильне
даному.
Slide 6
Лінійні рівняння
Лінійним рівнянням з однією змінною
х називають рівняння виду ax = b, де
a,b R; а називається коефіцієнтом
при змінній, b - вільним членом.
Slide 7
Три випадки для
лінійного рівняння ax =
b
• 1) а 0; в даному випадку корінь рівний
b/a;
• 2) а = 0, b = 0; в даному випадку рівняння
приймає вигляд 0 х = 0, що вірно при
будь-яких х;
• 3) а = 0, b 0; в даному випадку рівняння
приймає вигляд 0 х = b, воно не має
коренів.
Slide 8
Квадратне рівняння
Квадратним рівнянням називається
рівняння виду
ax2+bx+c=0,
де a, b, с R (a 0).
Числа a, b, с мають наступні назви:
a - перший коефіцієнт, b - другий
коефіцієнт, с - вільний член.
Slide 9
Дискримінант
• Вираз D=b2–4ac називається
дискримінантом квадратного
рівняння.
• Якщо а = 1, то квадратне рівняння
виду x2+px+q=0 називається
зведеним, а его дискримінант
D=p2–4q.
Slide 10
Теорема 3: D 0
Якщо D 0, то
квадратне рівняння має
два корені x1,x2R,
причому якщо D = 0, то
рівняння має два
співпавших корені, а
якщо D > 0, то рівняння
має два різних дійсних
корені, які
визначаються за
формулою:.
Slide 11
Теорема 3: D < 0
Якщо D < 0, то квадратне рівняння не
має дійсних коренів.
Slide 12
Корені зведеного
рівняння
У випадку
зведеного
квадратного
рівняння формули
для знаходження
коренів мають
вигляд:
Slide 13
Теорема Вієта
• Сума коренів
зведеного квадратного
2
рівняння x + px + q = 0 рівна його
другому коефіцієнту p з
протилежним знаком, а добуток –
вільному члену q.
• Тобто x1 + x2 = – p і x1 x2 = q
Slide 14
Знаходження коренів
Так, не знаючи, як знайти корені
рівняння:
2
x + 2x – 8 = 0,
ми можемо сказати, що їх сума
повинна бути рівна – 2, а добуток
має рівнятись –8.
Slide 15
Приклад
• Теорема Вієта дозволяє вгадувати цілі
корені квадратного тричлена.
• Так, знаходячи корені квадратного
рівняння
2
x – 7x + 10 = 0,
можно почати з того, щоб попробувати
розкласти вільний член (число 10) на два
множники так, щоб їх сума рівнялась
числу 7.
Slide 16
Розв’язок
• Цей розклад очевидний:
10 = 5 × 2,
5 + 2 = 7.
• Звідси повинно слідувати, що числа
2 і 5 є невідомими коренями.