Slide 1

Матеріали до уроку алгебра у 8 класі по темі:
” Формула коренів квадратного рівняння”

Старший вчитель
вищої категорії
Величко Олена Михайлівна


Slide 2

Вивчайте ази науки, перед тим як зібратися на її вершини.
Ніколи не беріться за наступне, доки не засвоїли попереднє
І.П Павлов

Формула коренів
квадратного рівняння

Урок 1


Slide 3

Формула коренів квадратного рівняння




Квадратним називається рівняння виду ax²+bx+c=0,
де х – змінна, a, b, с – дійсні числа,
а≠0
а – перший коефіцієнт,
b – другий коефіцієнт,
c – вільний член



Якщо а = 1, то квадратне рівняння називається зведеним



Якщо а ≠ 1, то квадратне рівняння називається незведеним



Якщо а ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, то квадратне рівняння називається повним



Корні квадратного рівняння ax²+bx+c=0 знаходяться по формулам:
x1 

D  b  4 ac
2

b

2a

D

x2 

b

D

2a

;
називається дискримінантом квадратного рівняння



Вираз

•

Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів.
Якщо D = 0, то рівняння має один дійсний корінь (два рівні корені)
Якщо D > 0, то рівняння має два різних дійсних кореня

•

•


Slide 4

Визначте які з рівнянь є повними, а які неповними?

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

x² – 64 = 0;
x² + 49 = 0;
2x² – 7 = 0;
x² = 0;
2x² + 4x – 1 = 0;
x² + 3x – 4 = 0;
x² – 2x + 2 = 0;
x² + 3x + 2,25 = 0;
x² + 3x = 1;
5x² + √10 = 0;

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

неповне
неповне
неповне
неповне
повне
повне
повне
повне
повне
неповне


Slide 5

Визначення кількості коренів квадратного рівняння

ax² + bx + c = 0
a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0

D = b² - 4ac

D<0

D=0

D>0
Рівняння має два різні корені

Рівняння не має коренів

b
Рівняння має один корінь
x


(два рівні корені)
2a

x1 , 2 

b
2a

D


Slide 6

Скільки коренів має квадратне рівняння?

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

x² – 64 = 0;
x² + 49 = 0;
2x² – 7 = 0;
x² = 0;
2x² + 4x – 1 = 0;
x² +3x – 4 = 0;
x² – 2x + 2 = 0;
x² +3x + 2,25 = 0;
x² + (x –1)² = 0;
3x² + √2 = 0;

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)

два
немає коренів
два
один
два
два
немає коренів
один
немає коренів
немає коренів


Slide 7

Алгоритм
розв’язування повного квадратного рівняння за формулою

ax  bx  c  0 ;

9 x  12 x  5  0 ;

a  ..., b  ..., c  ...;

a  9 , b   12 , c   5 ;

D  b  4 ac  ...;

D  144  4  9  (  5 )  324 ;

2

2

D 

D  ...;
x1 
x2 

b

2

D

;

x1 

2a
b

D

.

x2 

324  18 ;

12  18
2 9



30

: x1  ...; x 2  ... .

Відповідь

: x1  

1

;

3



18

2a

Відповідь



18

12  18
2 9



6

1

5

2

1 .
3
3
2

; x2  1 .
3
3


Slide 8

Розв’язуємо квадратні рівняння разом
Розв’яжемо рівняння
2x² – x – 15 = 0.
Виписуємо коефіцієнти квадратного
рівняння:
а =2; b = – 1; c = – 15.
Обчислюємо дискримінант квадратного
рівняння:
D = b² – 4ac = (– 1)² –4·2·( – 15) = 1 +120 =
121.
Так як D > 0, то рівняння має два корені.
D  121  11 .
Знаходимо
арифметичний квадратний корінь
з дискримінанту:
x1 

b

D



1  11



10

 2

1

x2 

2a

D



1  11
22



12

 3.

2 x  x  15  0 ;
2

a  2 ; b   1; c   15 ;
D  b  4 ac  1  4  2  15  121 ;
2

D  121  11 ;
x1 

;

2a
2  2 квадратного
4
2 рівняння:
Обчислюємо
корені

b

Маємо запис:

x2 

b



2a
b
2a

D



1  11
22
1  11
22

4

Відповідь

Записуємо відповідь:

D

:  2 ,5 ; 3



10

 2

4


12
4

1
2

 3.

;


Slide 9

Розв’язуємо квадратні рівняння разом
Розв’яжемо рівняння

Маємо запис:

4x² – 12x + 9 = 0.
Виписуємо коефіцієнти квадратного рівняння:
а = 4; b = – 12; c = 9.

4 x  12 x  9  0 ;
2

Обчислюємо дискримінант квадратного рівняння:
D = b² – 4ac = (– 12)² – 4·4·9 = 144 – 144 = 0.

a  4 ; b   12 ; c  9 ;

Так як D = 0, то рівняння має один корінь.

D  b  4 ac  144  4  4  9  0 ;
2

Обчислюємо корінь квадратного рівняння:
x

b
2a



 12
24



12
8

1

1 .
2

x

b
2a



12
24

Відповідь : 1, 5 .

Записуємо відповідь:
Відповідь: 1,5



12

1
1 .
8
2


Slide 10

Розв’язуємо квадратні рівняння разом
Розв’яжемо рівняння
3x² – 6x + 8 = 0.
Виписуємо коефіцієнти квадратного
рівняння:
а = 3; b = – 6; c = 8.
Обчислюємо дискримінант квадратного
рівняння:

Маємо запис:
3 x  6 x  8  0;
2

D  b  4 ac  36  4  3  8   60 ;
2

D  0.
Відповідь : коренів немає

D = b² – 4ac = (– 6)² – 4·3·8 = 36 – 96 = – 60.
Так як D < 0, то рівняння коренів не має.
Записуємо відповідь:
Відповідь: коренів немає.


Slide 11

Приклади розв’язування квадратних рівнянь за формулою
2 x  5 x  3  0;
2

D  b  4 ac  25  4  2  (  3 )  49 ;

x1 
x2 

D

57



D



2a



22

2a
b

x  x  56  0 ;

5 x  6 x  1  0;

D  b  4 ac  1  4  1  56  225 ;

D  b  4 ac  36  4  5  1  16 ;

2

2

2

49  7 ;

b

5 x  1  6 x;

2

2

D 

x ( x  1)  56 ;

12
4

57
22



2



4

D 

  3;
1

b

x2 

Відповідь :  3; 0,5.

D



D



D 

 1  15
2 1

2a

.

2

225  15 ;

b

x1 

2

 1  15
2 1

2a

  8;

x1 

 7.

x2 

Відповідь :  8; 7.
x  3x
2



x7

2

| 4

2 x  6 x  x  7;
2

D 
x1 
x2 

b

D



2a
b
2a

D



59
22
59
22

Відповідь :  3,5; 1



14

 3

4


4
4

 1.

1

;

b

D



2a

2 5
64
2 5



2

 0 ,2;

10


10

 1.

10

x  4 x  1  0;

D  b  4 ac  25  4  4  3  0 ;

D  b  4 ac  16  4  1  1  20 ;

Відповідь : коренів немає

D 

81  9 ;

2a

64

2

2

2

D  b  4 ac  25  4  2  7  81 ;



4 x  5 x  3  0;

2

2

D

 2 x  8 x  2  0 |   2 
2

2 x  5 x  7  0;

b

Відповідь : 0 ,2 ; 1

2

4

16  4 ;

x1 

2

x2 

20  2 5 ;

b

D



2a
b

D



2a

Відповідь : 2 

42 5
2 1
42 5
2 1
5.

x  2 x  1  0;
2

2

5;

D  b  4 ac  4  4  1  1  0 ;

2

5.

x

2

b
2a



2
2 1

Відповідь : 1 .

 1;


Slide 12

А тепер розв’яжи квадратні рівняння сам

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

3x² – 3х + 3 = 0;
9x² – 5х +1 = 0;
x² – 10х + 25 = 0;
6x² – 5х – 6 = 0;
x² – 4x + 4 = 0;
– 2x² +7x – 6 = 0;
x² + 14x + 49 = 0;
(2х + 1)² = 3х + 4;

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)

немає коренів
немає коренів
х=5
х1=1,5; х2=2/3
х=2
х1=1,5; х2=2
х=-7
х1=0,75; х2=-1


Slide 13

Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь:
1.

Яке з рівнянь є повним?
А

3х² = 0

2.

6.

Б

В

Г

А

3х² + 6 = 0

3х² + 6х = 0

3х² + 6х = 1

3х² + х – 1=
0

7.

Яке з рівнянь є зведеним?
А

Б

3х² + х – 1=
0

3.

х² + х + 6 =
0

В
2х² + 6х =
0

3х² = 1

Б

b² – 2ac

b² – 4ac

В

– b – 4ac

Б

3х² +2х –1=
0

х² +2х + 8 =
0

8.

Г

b² + 4ac

А

Б

В

D>0

D<0

D=0

2

Правильної відповіді не
має

Б
В
Г
5. А Знайти
дискримінант
квадратного
х ² ––2610 х Правильної
+ 9 = 0 відповіді не
64рівняння
8
має

Г

2х² + 6х =
0

3х² = 1

В

Г

9х² –
6х+1=0

5х² = 1

Г
Правильної відповіді не
має

Знайти корені рівняння х ² + 3х – 4 = 0

Скільки коренів має рівняння х² +
Б
В
Г
4х – 5 = 0 ?
1

В

За якої умови повне квадратне
рівняння має два різні корені?

А
0

х² + х + 6 =
0

А

9.

4.

Б

Яке з рівнянь має один корінь?

Г

За якою формулою обчислюється
дискримінант?
А

Яке з рівнянь не має коренів?

А

Б

В

1; 4

– 1; 4

– 4; 1

10.

Г
Правильної відповіді не
має

Знайти корені рівняння х ² – 3х + 4 = 0
А

Б

В

1; 4

– 1; 4

– 4; 1

Г
Правильної відповіді не
має


Slide 14

Вітаємо!

Теперь ви вмієте розв’язувати
квадратні рівняння за формулами.
Удачі Вам при розв’язуванні
квадратних рівнянь!


Slide 15

Література
Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: підручник для 8 класу. – Київ: Зодіак-ЕКО,
2008
Бевз

Бабенко С.П. Алгебра. 8 клас. Розробки уроків. – Харків: Ранок, 2008
Галицький М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.І, Збірник задач з алгебри для 8-9 класів. –
Москва: Просвещение, 1992
Єршова А.П., Голобородько В.В., Єршова Ґ.С. Самостійні і контрольні роботи з алгебри
та геометрії для 8 класу. – Харків: Гімназія, 1999
Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Рабінович Ю.М., Якір М.С. Збірник задач і контрольних
робіт з алгебри для 8 класу. – Харків: Гімназія, 2008