Transcript Розміщення коренів квадратного тричлена
Розміщення коренів квадратного тричлена
Властивості квадратного тричлена та їх геометрична графічна інтерпретація
Основна мета: Узагальнити і систематизувати знання учнів про кількість розв’язків квадратного рівняння; Ознайомити учнів із дослідженням кількості розв’язків квадратного рівняння залежно від значення параметра; Показати застосування теореми Вієта в задачах з параметрами.
Учні повинні вміти: Проводити дослідження кількості коренів квадратного рівняння залежно від параметра; Застосовувати теорему Вієта в задачах з параметрами.
Розглянемо розміщення коренів квадратного тричлена ax 2 +bx+c в залежності від значень параметра
В залежності від параметра а: Якщо a>0 х 1 х 2 х D<0
В залежності від параметра а: Якщо a<0 х 1 х 2 D>0 D<0 D=0
В залежності від параметра а: Якщо a=0, то квадратне рівняння ax 2 +bx+c =0 перетворюється на лінійне bx+c=0.
Корінь рівняння bx+c=0, x=-c/b
Висновок Отже, дослідження квадратного тричлена розпочинаємо з аналізу старшого коефіцієнта.
Якщо старший коефіцієнт не дорівнює 0, то аналізуємо значення дискримінанту.
Теорема Вієта Для співвідношення між коренями квадратного рівняння а розв’язування лише з завдань параметром аналізувати на зручно користуватися теоремою Вієта. При цьому не знаходити корені квадратного рівняння, значення дискримінанту.
ax 2 +bx+c=0, якщо D>0, то x 1 +x 2 = - b/a x 1 ·x 2 = c/a
Розв’яжіть рівняння abx 2 +(a 2 -b 2 )x+(a-b) 2 =0; Основні кроки: а=0, b=0 а=0, b≠0 а≠0, b=0 а≠0, b≠0 a=b a ≠b
abx 2 +(a 2 -b 2 )x+(a-b) 2 =0 а=0, b=0, x R а=0, b≠0, -b 2 x+b 2 =0, x=1 а≠0, b=0, a 2 x+a 2 =0, x=-1 а≠0, b≠0, D= (a-b) 4 a=b, D=0, x=0 a ≠b, x 1 =(b-a)/a, x 2 =(b-a)/b.
Завдання для самостійного розв’язування: При яких а рівняння ax 2 +(a-2)x-2=0 корінь?
має один При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння x 2 +(a 2 +2а-3)x+a=0 дорівнює 0?
Корені x 1 , x 2 квадратного рівняння x 2 -(2a-13)x +а-5=0 задовольняють рівняння
x
1
x
2
a
. Знайдіть а.
При яких а рівняння ax 2 +(a-2)x-2=0 має один корінь?
Якщо а=0, то х=-1.
Якщо а≠0, то рівняння матиме один корінь при умові D=0.
D=(a+2) 2 =0; a=-2; Відповідь: при а=0, а=-2 рівняння має один корінь
При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння x 2 +(a 2 +2а-3)x+a=0 дорівнює 0?
За теоремою Вієта x 1 +x 2 =-(a 2 +2a-3), a 2 +2a-3=0, a 1 =-3, a 2 =1.
З врахуванням значення дискримінанта D=(a 2 +2a-3) 2 -4a ≥0 маємо значення а=-3.
Відповідь: а=-3.
Корені x 1 , x 2 квадратного рівняння x 2 -(2a-13)x+а-5=0 задовольняють рівняння
x
1
x
2
a
Знайдіть а. За теоремою Вієта x а 1 =21, а 2 =9
x
1 2
a
Відповідь: а=9.
x
2 13 1 2 +x
a a
2 =2a-13, x 5 рівняння відносно параметра а.
завдання. Отже, а=9, тоді х 1
x
1
a
x
=1, х 2 2 1 · x 2 2 =a-5
x
1 Значення а=21 не задовольняє умову =4.
2
Домашнє завдання на вибір При яких а обидва корені рівняння ( a-2)x 2 2аx-а+3=0 додатні?
При яких m корені рівняння (m -2)x 2 -3(m+2)x+6m=0 мають різні знаки?