Transcript ปัญหาที่ 1 การทอดลูกเต๋า 1 ลูกและ 2 ลูก

ความน่าจะเป็ นเบือ้ งต้น
(Introduction to Probrabilities)
อ.สิทธิโชค โสมอ่ำ
โรงเรียนมหิดลวิทยำนุสรณ์
บทนา
 ค.ศ. 1654 เชอวำลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de Mere)
ปัญหาที่ 1 การทอดลูกเต๋า 1 ลูกและ 2 ลูก
“ในกำรทอดลูกเต๋ำ 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวำลิเยร์พนันว่ำ ลูกเต๋ำจะต้ องหงำยหน้ ำหกอย่ำง
น้ อย 1 ครั้ง และเมื่อทอดลูกเต๋ำได้ 4 ครั้ง ก็ปรำกฏว่ำ เป็ นจริงตำมที่พนันไว้ เขำจึง
พนันต่อไปว่ำ ถ้ ำทอดลูกเต๋ำ 2 ลูก 24 ครั้ง ลูกเต๋ำจะหงำยหน้ ำหกทั้ง 2 ลูก อย่ำง
น้ อย 1 ครั้ง แต่เมื่อ ทอดครบ 24 ครั้ง ปรำกฏว่ำ ไม่จริง”
ปัญหาที่ 2 การแบ่งรางวัลในเกมที่ต้องหยุดเล่นก่อนกาหนด
“ถ้ ำชำยสองคนที่มฝี ี ไม้ ลำยมือในกำรเล่นพนันขันต่อ ทัดเทียมกัน ได้ กำหนดกติกำกำร
พนันว่ำ หำกผู้ใดทำแต้ มได้ ถงึ 5 ก่อน ผู้น้นั จะเป็ นผู้ชนะและได้ เงินเดิมพันไป
ทั้งหมด ต่อเมื่อกำรแข่งขันดำเนินมำถึง 7 เกม ก็เกิดมีเหตุท่ที ำให้ กำรแข่งขันต้ อง
ยุตลิ ง ขณะนั้นชำยคนแรกทำแต้ มได้ แล้ ว 4 แต้ ม ส่วนอีก 3 แต้ ม เป็ นของชำยอีก
คนหนึ่ง แล้ วเขำทั้งคู่ควรจะแบ่งเงินเดิมพันกันอย่ำงไร ถึงจะยุตธิ รรมที่สดุ ”
บทนา
 คริสต์เตียน ฮอยเกน (Christian Huygen ค.ศ. 1629 – 1695) ผู้วำงรำกฐำนควำมน่ำจะ
เป็ นต่อจำกปำสกำล
บทนา
 คอนโดเซต (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de
Condorcet ค.ศ. 1743 – 1794) ผู้นำควำมน่ำจะเป็ นไปใช้ ในระบบลูกขุนและ
กำรเลือกตั้ง
บทนา
 โทมัส เบส์ (Thomas Bayes ค.ศ. 1702 – 1761) ผู้รังสรรค์ทฤษฎีบทควำม
น่ำจะเป็ นมีเงื่อนไขแบบเบส์
บทนา
 ลำปลำซ (Pierre Simon marquis de Laplace ค.ศ. 1749 - 1827) ผู้นำ
ในศำสตร์สำขำทฤษฎีควำมน่ำจะเป็ นเชิงวิเครำะห์
บทนา
 เกรกเกอ เมนเดล (Gregor Mendel ค.ศ. 1822 - 1884) นักบวชผู้นำ
ควำมรู้ด้ำนควำมน่ำจะเป็ นไปอรรถำธิบำยหลักกำรทำงพันธุศำสตร์
บทนา
 เมย์นำร์ด เคนส์ (John Maynard Keynes ค.ศ. 1883 - 1946) ผู้จุด
ประกำยกำรใช้ ควำมน่ำจะเป็ นในเศรษฐศำสตร์และสถิติ
บทนา
 คอลโมโกรอฟ (Andrey Nikolaevich Kolmogorov ค.ศ. 1903 -
1987) ผู้เปิ ดประตูส่โู ลกควำมน่ำจะเป็ นเชิงสัจพจน์
บทนา
 นักคณิตศำสตร์ไทย
ศ.ดร.กฤษณะ เนียมมณี
บทนา
“ไม่ซื้อ 44 หรอก เพราะเลขเบิ้ ล ออกยาก”
“ซื้ อเลขอื่นเถอะ อย่าซื้ อ 01 เลย เพราะเพิง่ จะออกไปเมือ่ งวดที่แล้วนี้ เอง”
บทนา
“เวลาจับใบดา-ใบแดง ยิง่ ได้จบั เป็ นคนท้ายๆ ก็ยงิ่ ดี เพราะมีโอกาสที่จะจับได้
ใบแดงมากกว่าคนแรกๆ”
บทนา
บทนา
 “ในห้ องนี้มค
ี นอยู่ 23 คน ต้ องมีคนที่เกิดวันที่เดียวกัน และเดือนเดียวกันอยู่อย่ำง
น้ อยก็หนึ่งคู่แน่ๆ”
 โอกำสที่คำกล่ำวข้ ำงต้ นจะถูกต้ องจะมีมำกน้ อยเพียงใดหนอ?
1. แผนภาพต้นไม้ (Tree diagram)
แผนภำพต้ นไม้ เป็ นวิธกี ำรอย่ำงหนึ่งในกำรหำจำนวนวิธที ่เี ป็ นไป
ได้ ท้งั หมด ในกำรกระทำเหตุกำรณ์ใดเหตุกำรณ์หนึ่ง และ
แผนภำพต้ นไม้ แบ่งออกเป็ น 2 ประเภท คือ
1. แผนภำพต้ นไม้ ที่มีก่งิ แตกออกเป็ นระเบียบ
2. แผนภำพต้ นไม้ ที่มีก่งิ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
1.1 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกเป็ นระเบียบ
 Ex1 ชำยคนหนึ่งมีกำงเกงและเสื้อสำหรับสวมไปเที่ยวอยู่ 3 ตัว และ 2 ตัว
ตำมลำดับ เขำจะใส่กำงเกงและสวมเสื้อไปเที่ยวเป็ นชุดต่ำงๆ กันได้ ท้งั หมดกี่ชุด
1.1 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกเป็ นระเบียบ
 Ex2 ครอบครัวหนึ่งต้ องกำรมีบุตร 3 คน จงหำจำนวนวิธท
ี ่เี ป็ นไปได้ ท้งั หมดของ
กำรมีบุตรของครอบครัวนี้
1.1 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกเป็ นระเบียบ
 Ex3 มีตวั เลขพลำสติก 4 ตัว มีหมำยเลขเป็ น 1, 2, 3, 5 นำเลขเหล่ำนี้มำสร้ ำง
เลขจำนวน 2 หลัก จะสร้ ำงได้ ท้งั สิ้นกี่จำนวน
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex4 ในกำรเล่นเกมอย่ำงหนึ่ง มีกติกำว่ำ ถ้ ำเล่นชนะจะได้ เงิน 1 บำทถ้ ำแพ้ จะเสีย
เงิน 1 บำท และจะเลิกเล่นก็ต่อเมื่อได้ กำไร 2 บำท หรือเงินหมด หรือเล่นเกมครบ
5 ครั้ง ถ้ ำตอนเริ่มเล่น ด.ช.โสภณมีเงิน 1 บำท อยำกทรำบว่ำเด็กชำยคนนี้จะมีวธิ ี
เล่นเกมนี้ได้ ก่วี ธิ ี
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex5 ในกำรเล่นเกมอย่ำงหนึ่ง ซึ่งมีชนะกับมีแพ้ ถ้ ำชนะจะได้ เงิน 1 บำท ถ้ ำแพ้ จะ
เสียเงิน 1 บำท ตอนเริ่มเล่นมีเงิน 2 บำท จะเลิกเล่นเกมก็ต่อเมื่อ เงินหมด หรือได้
กำไร 2 บำท หรือเล่นเกมครบ 5 ครั้ง ตำมกติกำนี้ จะเล่นเกมได้ ก่วี ธิ ี
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex6 ชำยคนหนึ่งมีเวลำเล่นเกมอย่ำงหนึ่งเพียง 5 ครั้งแล้ วต้ องเลิก ในกำรเล่นเกม
นี้ถ้ำเขำชนะจะได้ เงิน 1 บำท ถ้ ำแพ้ จะเสียเงิน 1 บำท เมื่อเริ่มเล่นเขำมีเงิน 1 บำท
เขำจะหยุดเล่นถ้ ำเขำได้ กำไร 3 บำท หรือเสียเงินหมด จงหำจำนวนวิธขี องกำรเล่น
ทั้งหมด
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex7 นำยดำกับนำยแดง แข่งขันหมำกรุก โดยมีกติกำว่ำ ผู้ชนะคือ ผู้ท่ชี นะ
ติดต่อกัน 2 เกม (กระดำน) หรือชนะรวม 3 เกม (กระดำน) จงหำว่ำตำมกติกำนี้
จะแข่งขันได้ ท้งั หมดกี่วธิ ี
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex8 ในกำรแข่งขันสนุกเกอร์ระหว่ำงมือ 1 ของโลก Mark solby กับมือ 1 ของ
ไทย ต๋อง ศิษย์ฉ่อย โดยมีเงื่อนไขว่ำผู้ท่ชี นะคือ ผู้ท่ชี นะ 2 เกมแรกติดต่อกัน หรือ
ชนะรวมกัน 3 เกม (ไม่จำเป็ นต้ องเป็ นเกมที่ตดิ ต่อกัน) ตำมกติกำนี้ จงหำจำนวน
วิธขี องกำรแข่งขันทั้งหมด
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 ในกำรแข่งขันเทนนิสรำยกำร Thailand Open รอบชิงชนะเลิศระหว่ำง Rafael
Nadal กับ Andy Merre โดยมีเงื่อนไขว่ำ ถ้ ำใครชนะ 2 เกมติดต่อกันถือว่ำ
เป็ นผู้ชนะ หรือถ้ ำชนะรวมกัน 3 เกม ก็ถอื ว่ำเป็ นผู้ชนะเช่นกันตำมกติกำนี้ เขำทั้ง
สองจะเล่นเทนนิสได้ ท้งั หมดกี่วธิ ี
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 กำรแข่งขันบำสเกตบอล NBA รอบ play off ระหว่ำงทีม Chicago bulls กับ
ทีม Sanantonio Spurs มีกติกำว่ำ ทีมที่ชนะ 3 ครั้ง จะเป็ นผู้ชนะ ตำมกติกำ
กำรเล่นนี้ จงหำจำนวนวิธขี องกำรแข่งขันทั้งหมด
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 ชำยคนหนึ่งยืนอยู่ ณ จุดกำเนิดบนแกน XX’ เขำจะก้ ำวเดินทีละ 1 หน่วย (ต่อ 1
ก้ ำว) ไปทำงขวำหรือทำงซ้ ำยก็ได้ และเขำจะหยุดเดินต่อเมื่อ เดินไปถึงตำแหน่ง
+3 หรือ -2 หรือเดินครบ 5 ก้ ำว ตำมเงื่อนไขนี้ เขำจะเดินได้ ก่แี บบ
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex12 จำกภำพมีจุด 9 จุด ชำยคนหนึ่งเริ่มต้ นเดินจำกจุด X ไปตำมแนวนอนหรือ
แนวดิ่ง ไปยังจุดต่ำงๆ ทุกจุด แต่ห้ำมเดินซำ้ จุดที่เดินผ่ำนมำแล้ วและเขำจะหยุด
เดินต่อเมื่อ เดินต่อไปไม่ได้ แล้ ว ด้ วยเงื่อนไขนี้ เขำจะเดินได้ ท้งั สิ้นกี่วธิ ี
A
B
C
R
S
T
X
Y
Z
1.2 แผนภาพต้นไม้ทมี่ กี งิ่ แตกออกไม่เป็ นระเบียบ
 Ex13 จำกแผนภำพนี้
A
B
C
E
F
D
สมมติให้ A, B, C, D, E, F เป็ นเกำะ และเส้ นตรงที่ลำกเชื่อมจุดต่ำงๆ เป็ น
สะพำน ชำยคนหนึ่งเริ่มออกเดินทำงที่เกำะ A และเดินจำกเกำะหนึ่งไปยังอีกเกำะ
หนึ่ง และเขำจะหยุดเดิน ถ้ ำเขำต้ องเดินซำ้ สะพำนเดิมที่เดินผ่ำนมำแล้ วและด้ วย
กติกำที่กำหนดนี้จงหำจำนวนวิธที ้งั หมดที่เขำจะเดินไปได้
2. การแจกแจงสมาชิก
 Ex นำอักษร 3 ตัว A, B, C มำเรียงสลับที่กน
ั ทั้งหมด จะทำได้ ท้งั หมดกี่วธิ ี
 Ex มีตวั อักษร 4 ตัว คือ A, B, C, D นำอักษรเหล่ำนี้มำเรียงสลับที่กน
ั ครำวละ
3 ตัวจะทำได้ ก่วี ธิ ี
แหล่งอ้างอิง
 สื่อกำรสอนของคณะวิทยำศำสตร์ จุฬำลงกรณ์มหำวิทยำลัย
 อ.เจริญ และ อ.ศรีลัดดำ ภูภัทรพงศ์, คู่มือและเทคนิคคิดลัดโจทย์คณิตศำสตร์
ม.6 เล่ม 6