Transcript pps
ความน่าจะเป็น
Probability
่
การทดลองสุม
้ ได้
เป็นการทดลองทีผ
่ ลล ัพธ์จะสามารถเกิดขึน
แตกต่างก ันหลายอย่าง แต่เราไม่ทราบว่า
้
ผลล ัพธ์ใดจะเกิดขึน
่
การโยนเหรียญขึน
้ ไปในอากาศ เป็ นการทดลองสุม
เพราะผลลัพธ์เกิดขึน
้ ได ้หลายอย่าง แต่เรายังไม่ทราบว่า
จะเกิดอะไร
่
การทอดลูกเต๋าลงในถ ้วย เป็ นการทดลองสุม
เพราะเราไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะหงายหน ้าอะไร
ผลล ัพธ์
่ ได้เสร็จสน
ิ้ เรียบร้อยแล้ว
้ หล ังจากการทดลองสุม
เป็นผลทีเ่ กิดขึน
ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ขึน
้ ไปในอากาศ ขณะทีเ่ หรียญยังไม่ได ้
่ แต่ถ ้าเหรียญตกลงมา
ตกลงมา ขณะนัน
้ เราถือว่าเป็ นการทดลองสุม
และหงายหัว เราถือว่า “หัว” เป็ นผลลัพธ์
ในการทอดลูกเต๋าลงในถ ้วย ขณะทีล
่ ก
ู เต๋ายังไม่หยุดนิง่ เราถือว่า
่ แต่ถ ้าลูกเต๋าหยุดนิง่ และหงายหน ้าทีม
เป็ นการทดลองสุม
่ จ
ี ด
ุ 5 จุด
(เราเรียกว่า หงายหน ้า 5) เราถือว่า “5” เป็ นผลลัพธ์
แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space)
่
้ ได้ทงหมดจากการทดลองสุ
คือ เซตของผลล ัพธ์ทอ
ี่ าจจะเกิดขึน
ั้
ม
Sample Space ของผลการทอดลูกเต๋า 2 ลูก
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
เหตุการณ์ (Event)
ั
คือ สบเซตของแซมเปิ
ลสเปซ ทีเ่ ราสนใจ
การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ถ ้าเราสนใจในกรณีทผ
ี่ ลรวมของแต ้มบนลูกเต๋า
ทัง้ สองมีคา่ น ้อยกว่า 5 เหตุการณ์ทส
ี่ นใจจะเป็ นดังนี้
A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ก็คอ
ื การหาว่าโอกาส
ทีจ
่ ะเกิดเหตุการณ์ด ังกล่าวนนมี
ั้ มากน้อยเพียงใด
ิ แต่ละตัวของแซมเปิ ลสเปซ มีโอกาสเกิดขึน
ถ ้าสมาชก
้ เท่าๆกัน
P(A) หมายถึง ความน่าจะเป็ นทีเ่ กิดเหตุการณ์ A
เราสามารถหา P(A) ได ้ดังนี้
P(A )
จำนวนสมำชิ กของA
จำนวนสมำชิ กของแซมเปิ ลสเปซ
P( A )
n( A)
n ( S)
คุณสมบ ัติของความน่าจะเป็น
ให ้ A เป็ นเหตุการณ์ใด และ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ
ั เซตของ S
โดยที่ A เป็ นสบ
1. 0 P ( A ) 1
2 . ถ้ำ A แล้ว P ( A ) 0
3 . ถ้ำ A S แล้ว P ( A ) 1
4. P ( A ) 1 P ( A ' )
ตัวอย่ าง
ในกำรทอดลูกเต๋ ำ 2 ลูก จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่ผลรวมของแต้ม
บนลูกเต๋ ำทั้งสองลูกมีค่ำมำกว่ำ 3
n ( S) 36
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}
n ( A ) 33
P( A )
n( A)
n ( S)
33
36
11
12
0 . 92
n ( S) 36
n( A' ) 3
P( A ) 1 P( A ' )
P( A ) 1
P( A )
n( A' )
n ( S)
36 3
36
1
33
36
3
36
11
12
0 . 92
คุณสมบ ัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์
ให ้ A และ B เป็ นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ในแซมเปิ ลสเปซ
1.P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
2 . P ( A B ) P ( A ) P ( B ) เมื่ อ A B
ในกรณีนี้ เรียก A และ B ว่า เป็ นเหตุการณ์ทไี่ ม่เกิดร่วมกัน
(Mutually exclusive events)
ต ัวอย่าง
ควำมน่ำจะเป็ นที่นกั เรี ยนคนหนึ่งจะชนะในกำรแข่งขันว่ำยน้ ำ
แบบฟรี สไตล์เท่ำกับ 1/5 ควำมน่ำจะเป็ นที่นกั เรี ยนผูน้ ้ ี จะชนะ
ในกำรแข่งขันว่ำยน้ ำแบบผีเสื้ อเท่ำกับ 3/7 ควำมน่ำจะเป็ นที่เขำ
จะชนะทั้งสองประเภทเท่ำกับ 2/5 จงหำควำมน่ำจะเป็ นที่นกั เรี ยน
ผูน้ ้ ีจะชนะกำรแข่งขันว่ำยน้ ำอย่ำงน้อย 1 ประเภทจำก 2 ประเภทนี้
ให้ A แทนเหตุกำรณ์ที่เขำชนะกำรแข่งขันว่ำยน้ ำแบบฟรี สไตล์
B แทนเหตุกำรณ์ที่เขำชนะกำรแข่งขันว่ำยน้ ำแบบผีเสื้ อ
1
3
2
P ( A ) , P ( B ) และ P ( A B )
5
7
5
สิ่ งที่เรำต้องกำรหำคือ
P( A B )
P( A B ) P( A ) P( B ) P( A B )
1
5
3
7
2
5
7 15 14
35
8
35
0 . 23
การแจกแจงความน่าจะเป็น
่
ต ัวแปรเชงิ สุม
่ หนึง่ ๆ
เหตุการณ์ทเี่ กิดขึน
้ ในการทดลองสุม
ในการโยนลูกเต๋าแต่ละครัง้ ผลการโยนทีอ
่ าจเป็ นไปได ้คือ
{1, 2, 3, 4, 5, 6 } ซงึ่ ตัวเลขเหล่านีใ้ นทางสถิตถ
ิ อ
ื ว่าเป็ นการ
่ คือไม่สามารถทราบได ้แน่นอนว่าในการโยนลูกเต๋า
ทดลองสุม
แต่ละครัง้ จะปรากฏผลอะไรออกมา ดังนัน
้ ตัวเลขทีป
่ รากฏในการ
่
โยนแต่ละครัง้ บนหน ้าลูกเต๋าจึงเป็ นค่าแบบสุม
่ หนึง่ ๆ เรา
ถ ้าให ้ X แทนเหตุการณ์ทเี่ กิดขึน
้ ในการทดลองสุม
่ และถ ้ารวมเหตุการณ์ทอ
เรียก X นัน
้ ว่า ตัวแปรเชงิ สุม
ี่ าจเกิดขึน
้
่ นัน
ได ้ทัง้ หมดจากการทดลองสุม
้ เข ้าเป็ นรูปแบบของเซต เรา
เรียกเซตนัน
้ ว่า Sample Space
่
การแจกแจงของต ัวแปรเชงิ สุม
่ ทอดลูกเต๋า
จากตัวอย่างการทดลองสุม
2 ลูกพร ้อมกัน หากสนใจเหตุการณ์ทเี่ ป็ น
่ X
ผลบวกของแต ้มบนหน ้าลูกเต๋า ตัวแปรเชงิ สุม
ในทีน
่ ห
ี้ มายถึงเหตุการณ์ทเี่ ป็ นผลบวกของแต ้ม
บนหน ้าลูกเต๋า ซงึ่ มีคา่ ทีอ
่ าจเป็ นไปได ้ดังนี้
X = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12
ลูก2
1
2
3
4
5
6
1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
3
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
4
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
4+5=9
4+6=10
5
5+1=6
5+2=7
5+3=8
5+4=9
5+5=10 5+6=11
6
6+1=7
6+2=8
6+3=9
6+4=10 6+5=11 6+6=12
ลูก1
จานวนวิธท
ี ล
ี่ ก
ู เต๋า 2 ลูก จะปรากฏผลเป็ นหน ้าต่างๆ กัน
มีได ้ทัง้ หมด (Sample Space) 36 วิธ ี หรือ 36 แบบ
ในจานวน 36 วิธน
ี ี้ หากจาแนกและแจกแจงตามค่า
่ หรือผลลัพธ์ของเหตุการณ์ทส
ของตัวแปรเชงิ สุม
ี่ นใจ
(Event) ซงึ่ ในทีน
่ ค
ี้ อ
ื เหตุการณ์ทเี่ ป็ นผลรวมของแต ้ม
ทีป
่ รากฏบนหน ้าลูกเต๋าทัง้ สอง จะพบจานวนวิธห
ี รือ
จานวนแบบของผลลัพธ์ และคานวณค่าความน่าจะเป็ น
ของแต่ละเหตุการณ์ ได ้ดังนี้
X
n(X)
P(X)
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
8
5
5
36
9
4
10 11 12
3
2
1
4
36
3
36
2
36
1
36
จานวนวิธ ี หรือ จานวนแบบ n(X)
7
6
5
4
3
2
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
่ หรือผลลัพธ์ของเหตุการณ์ทส
ค่าของตัวแปรเชงิ สุม
ี่ นใจ (Event)
12
การแจกแจงของค่าสถิต ิ
ประชากร (population)
ค่ าสถิติ (statistic)
คือ เซตของหน่วยตัวอย่ำง
ค่ำคงที่ที่แสดงลักษณะบำงประกำร
ของตัวอย่ำงที่เป็ นส่ วนหนึ่ งของ
(sampling unit) ทั้งหมด ซึ่ ง
เป็ นแหล่งของข้อมูลต่ำงๆ ภำยใน
ประชำกร เช่น
ขอบข่ำยที่สนใจ
ค่ำเฉลี่ยของตัวอย่ำง
n
พารามิเตอร์ (parameter)
xi
คือ ค่ำคงที่ที่แสดงลักษณะบำง
i 1
X
N
ประกำรของประชำกร เช่น
n
ค่ำเฉลี่ยของประชำกร
xi
i 1
N
การแจกแจงของค่าเฉลีย
่
สมมติวำ่ จำกประชำกร ซึ่งประกอบด้วย 3, 5, 7, 9 และ 11
หำค่ำเฉลี่ยของประชำกรได้ดงั นี้
3 5 7 9 11
5
35
5
7
่ ตัวอย่างขนาด n=2
จากประชากรข ้างต ้น หากสุม
จะมีตวั อย่างได ้ทัง้ หมด 10 แบบ และหาค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่างได ้ดังนี้
ต ัวอย่าง
3, 5, 7, 9, 11
ค่าเฉลีย
่
3, 5
4
3, 7
5
3, 9
6
3, 11
7
5, 7
6
5, 9
7
5, 11
8
7, 9
8
7, 11
9
9, 11
10
เมือ
่ นาค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่างมาแจกแจงความถี่ จะได ้ผลดังนี้
X
ความถี่
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
2
2
1
1
4
5
6
7
8
9
2.5
2
1.5
1
0.5
0
10
X
n
X
Normal Distribution
การแจกแจงแบบปกติ
Z
X
n
Z ~ N(0,1)
การแจกแจงแบบ t
t
X
S
n
n < 30
df = n-1
การแจกแจงแบบ F
2
1
F
2
2
n 1 1
n 2 1
2
S1
F
2
1
2
2
2
S2
การแจกแจงแบบ Chi-Square
2
n 1S
2
2