Transcript ความน่าจะเป็น Probability ่ การทดลองสุม ้ ได้ เป็นการทดลองทีผ ่ ลล ัพธ์จะสามารถเกิดขึน แตกต่างก ันหลายอย่าง แต่เราไม่ทราบว่า ้ ผลล ัพธ์ใดจะเกิดขึน ่ การโยนเหรียญขึน ้ ไปในอากาศ เป็ นการทดลองสุม เพราะผลลัพธ์เกิดขึน ้ ได ้หลายอย่าง แต่เรายังไม่ทราบว่า จะเกิดอะไร ่ การทอดลูกเต๋าลงในถ ้วย เป็ นการทดลองสุม เพราะเราไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะหงายหน ้าอะไร.

ความน่าจะเป็น
Probability
่
การทดลองสุม
้ ได้
เป็นการทดลองทีผ
่ ลล ัพธ์จะสามารถเกิดขึน
แตกต่างก ันหลายอย่าง แต่เราไม่ทราบว่า
้
ผลล ัพธ์ใดจะเกิดขึน
่
การโยนเหรียญขึน
้ ไปในอากาศ เป็ นการทดลองสุม
เพราะผลลัพธ์เกิดขึน
้ ได ้หลายอย่าง แต่เรายังไม่ทราบว่า
จะเกิดอะไร
่
การทอดลูกเต๋าลงในถ ้วย เป็ นการทดลองสุม
เพราะเราไม่ทราบว่าลูกเต๋าจะหงายหน ้าอะไร
ผลล ัพธ์
่ ได้เสร็จสน
ิ้ เรียบร้อยแล้ว
้ หล ังจากการทดลองสุม
เป็นผลทีเ่ กิดขึน
ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ ขึน
้ ไปในอากาศ ขณะทีเ่ หรียญยังไม่ได ้
่ แต่ถ ้าเหรียญตกลงมา
ตกลงมา ขณะนัน
้ เราถือว่าเป็ นการทดลองสุม
และหงายหัว เราถือว่า “หัว” เป็ นผลลัพธ์
ในการทอดลูกเต๋าลงในถ ้วย ขณะทีล
่ ก
ู เต๋ายังไม่หยุดนิง่ เราถือว่า
่ แต่ถ ้าลูกเต๋าหยุดนิง่ และหงายหน ้าทีม
เป็ นการทดลองสุม
่ จ
ี ด
ุ 5 จุด
(เราเรียกว่า หงายหน ้า 5) เราถือว่า “5” เป็ นผลลัพธ์
แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space)
่
้ ได้ทงหมดจากการทดลองสุ
คือ เซตของผลล ัพธ์ทอ
ี่ าจจะเกิดขึน
ั้
ม
Sample Space ของผลการทอดลูกเต๋า 2 ลูก
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6
เหตุการณ์ (Event)
ั
คือ สบเซตของแซมเปิ
ลสเปซ ทีเ่ ราสนใจ
การทอดลูกเต๋า 2 ลูก ถ ้าเราสนใจในกรณีทผ
ี่ ลรวมของแต ้มบนลูกเต๋า
ทัง้ สองมีคา่ น ้อยกว่า 5 เหตุการณ์ทส
ี่ นใจจะเป็ นดังนี้
A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1)}
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
การหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ก็คอ
ื การหาว่าโอกาส
ทีจ
่ ะเกิดเหตุการณ์ด ังกล่าวนนมี
ั้ มากน้อยเพียงใด
ิ แต่ละตัวของแซมเปิ ลสเปซ มีโอกาสเกิดขึน
ถ ้าสมาชก
้ เท่าๆกัน
P(A) หมายถึง ความน่าจะเป็ นทีเ่ กิดเหตุการณ์ A
เราสามารถหา P(A) ได ้ดังนี้
ิ งA
จำนวนสมำชกขอ
P(A)
ิ งแซมเปิลสเปซ
จำนวนสมำชกขอ
n( A)
P( A) 
n(S)
คุณสมบ ัติของความน่าจะเป็น
ให ้ A เป็ นเหตุการณ์ใด และ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ
ั เซตของ S
โดยที่ A เป็ นสบ
1. 0 P(A) 1
2. ถำ้ A  แลว้ P(A) 0
3. ถำ้ A S แลว้ P(A) 1
4. P(A) 1 P(A')
ตัวอย่าง
่
ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก จงหาความน่ าจะเป็ นทีผลรวมข
้
บนลูกเต๋าทังสองลู
กมีคา่ มากว่า n3(S)  36
n( A)  33
S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),
n(1,6),
( A) 33 11
P( A) 


 0.92
S) 36 12
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5),n((2,6),
(S)  36
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), n(3,5),
(3,6),
n( A' )  3
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), P(4,5),
( A)  1  (4,6),
P( A' )
n( A' )
3
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), P(5,5),
( A)  1  (5,6),
1
n(S)
36
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5),36 (6,6)}
 3 33 11
P( A) 
36

36

12
 0.92
คุณสมบ ัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์
ให ้ A และ B เป็ นเหตุการณ์ 2 เหตุการณ์ ในแซมเปิ ลสเปซ
1.P(A B) P(A) P(B) P(A B)
2.P(A B) P(A) P(B)เมือ่ A B 
ในกรณีนี้ เรียก A และ B ว่า เป็ นเหตุการณ์ทไี่ ม่เกิดร่วมกัน
(Mutually exclusive events)
ต ัวอย่าง
่ กเรียนคนหนึ่ งจะชนะในการแข่งขันว
ความน่ าจะเป็ นทีนั
่ กเรียนผู ้นี ้
แบบฟรีสไตล ์เท่ากับ 1/5 ความน่ าจะเป็ นทีนั
้ ากับ 3/7 ความน่ าจะ
้
เสือเท่
ในการแข่งขันว่ายนาแบบผี
้
จะชนะทังสองประเภทเท่
ากับ 2/5 จงหาความน่ าจะเป็ นท
้
้ างน้อย 1 ประเภทจาก 2
ผูน้ ี จะชนะการแข่
งขันว่ายนาอย่
้
ให ้ A แทนเหตุการณ์ทเขาชนะการแข่
ี่
งขันว่ายนาแบบฟ
้
B แทนเหตุการณ์ทเขาชนะการแข่
ี่
งขันว่ายนาแบบผ
1
3
2
 P(A) , P(B) และ P(A B)
5
7
5
่ เราต
่
สิงที
้องการหาคืPอ(A  B)
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)
1 3 2
 
5 7 5
7  15  14
8


 0.23
35
35

การแจกแจงความน่าจะเป็น
่
ต ัวแปรเชงิ สุม
่ หนึง่ ๆ
เหตุการณ์ทเี่ กิดขึน
้ ในการทดลองสุม
 ในการโยนลูกเต๋าแต่ละครัง้ ผลการโยนทีอ
่ าจเป็ นไปได ้คือ
{1, 2, 3, 4, 5, 6 } ซงึ่ ตัวเลขเหล่านีใ้ นทางสถิตถ
ิ อ
ื ว่าเป็ นการ
่ คือไม่สามารถทราบได ้แน่นอนว่าในการโยนลูกเต๋า
ทดลองสุม
แต่ละครัง้ จะปรากฏผลอะไรออกมา ดังนัน
้ ตัวเลขทีป
่ รากฏในการ
่
โยนแต่ละครัง้ บนหน ้าลูกเต๋าจึงเป็ นค่าแบบสุม
่ หนึง่ ๆ เรา
 ถ ้าให ้ X แทนเหตุการณ์ทเี่ กิดขึน
้ ในการทดลองสุม
่ และถ ้ารวมเหตุการณ์ทอ
เรียก X นัน
้ ว่า ตัวแปรเชงิ สุม
ี่ าจเกิดขึน
้
่ นัน
ได ้ทัง้ หมดจากการทดลองสุม
้ เข ้าเป็ นรูปแบบของเซต เรา
เรียกเซตนัน
้ ว่า Sample Space
่
การแจกแจงของต ัวแปรเชงิ สุม
่ ทอดลูกเต๋า
จากตัวอย่างการทดลองสุม
2 ลูกพร ้อมกัน หากสนใจเหตุการณ์ทเี่ ป็ น
่ X
ผลบวกของแต ้มบนหน ้าลูกเต๋า ตัวแปรเชงิ สุม
ในทีน
่ ห
ี้ มายถึงเหตุการณ์ทเี่ ป็ นผลบวกของแต ้ม
บนหน ้าลูกเต๋า ซงึ่ มีคา่ ทีอ
่ าจเป็ นไปได ้ดังนี้
X = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12
ลูก2
1
2
3
4
5
6
1
1+1=2
1+2=3
1+3=4
1+4=5
1+5=6
1+6=7
2
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
2+5=7
2+6=8
3
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
3+5=8
3+6=9
4
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
4+5=9
4+6=10
5
5+1=6
5+2=7
5+3=8
5+4=9
5+5=10 5+6=11
6
6+1=7
6+2=8
6+3=9
6+4=10 6+5=11 6+6=12
ลูก1
จานวนวิธท
ี ล
ี่ ก
ู เต๋า 2 ลูก จะปรากฏผลเป็ นหน ้าต่างๆ กัน
มีได ้ทัง้ หมด (Sample Space) 36 วิธ ี หรือ 36 แบบ
ในจานวน 36 วิธน
ี ี้ หากจาแนกและแจกแจงตามค่า
่ หรือผลลัพธ์ของเหตุการณ์ทส
ของตัวแปรเชงิ สุม
ี่ นใจ
(Event) ซงึ่ ในทีน
่ ค
ี้ อ
ื เหตุการณ์ทเี่ ป็ นผลรวมของแต ้ม
ทีป
่ รากฏบนหน ้าลูกเต๋าทัง้ สอง จะพบจานวนวิธห
ี รือ
จานวนแบบของผลลัพธ์ และคานวณค่าความน่าจะเป็ น
ของแต่ละเหตุการณ์ ได ้ดังนี้
X
n(X)
P(X)
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
5
9
4
10 11 12
3
2
1
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
จานวนวิธ ี หรือ จานวนแบบ n(X)
7
6
5
4
3
2
1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
่ หรือผลลัพธ์ของเหตุการณ์ทส
ค่าของตัวแปรเชงิ สุม
ี่ นใจ (Event)
12
การแจกแจงของค่าสถิต ิ
 ประชากร
(population)
คือ เซตของหน่วย
ตัวอย่าง (sampling
unit) ทัง้ หมด ซงึ่ เป็ น
แหล่งของข ้อมูลต่างๆ
ภายในขอบข่ายทีส
่ นใจ
 พารามิเตอร ์
(parameter) คือ
ค่าคงทีท
่ แ
ี่ สดงลักษณะ

บางประการของ
่
ประชากร เชน
 ค่าสถิต ิ (statistic)
ค่าคงทีท
่ แ
ี่ สดงลักษณะ
บางประการของตัวอย่าง
ทีเ่ ป็ นสว่ นหนึง่ ของ
่
ประชากร เชน
ค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่าn ง
X
N
x
i 1
N
i
x
i 1
n
i
การแจกแจงของค่าเฉลีย
่
สมมติวา่ จากประชากร ซงึ่ ประกอบด ้วย 3, 5, 7,
9 และ 11
หาค่าเฉลีย
่ ของประชากรได ้ดังนี้
3  5  7  9  11 35


7
5
5
่ ตัวอย่างขนาด n=2
จากประชากรข ้างต ้น หากสุม
จะมีตวั อย่างได ้ทัง้ หมด 10 แบบ และหาค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่างได ้ดังนี้
ต ัวอย่าง
3, 5, 7, 9, 11
ค่าเฉลีย
่
3, 5
4
3, 7
5
3, 9
6
3, 11
7
5, 7
6
5, 9
7
5, 11
8
7, 9
8
7, 11
9
9, 11
10
เมือ
่ นาค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่างมาแจกแจงความถี่ จะได ้ผลดังนี้
X
ความถี่
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
2
2
1
1
4
5
6
7
8
9
2.5
2
1.5
1
0.5
0
10
่ ตัวอย่างขนาด n=3
จากประชากรข ้างต ้น หากสุม
จะมีตวั อย่างได ้ทัง้ หมด 10 แบบ และหาค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่างได ้ดังนี้
ต ัวอย่าง
3, 5, 7, 9, 11
ค่าเฉลีย
่
3, 5, 7
5.00
3, 5 , 9
5.67
3, 5, 11
6.33
3, 7, 9
6.33
3, 7,11
7.00
3, 9, 11
7.67
5, 7,9
7.00
5, 7, 11
7.67
5, 9, 11
8.33
7, 9, 11
9.00
่ ตัวอย่างขนาด n=4
จากประชากรข ้างต ้น หากสุม
จะมีตวั อย่างได ้ทัง้ หมด 5 แบบ และหาค่าเฉลีย
่ ของตัวอย่างได ้ดังนี้
ต ัวอย่าง
3, 5, 7, 9, 11
ค่าเฉลีย
่
3, 5, 7, 9
6.00
3, 5 , 7, 11
6.50
3, 5, 9, 11
7.00
3, 7, 9, 11
7.50
5, 7, 9,11
8.00

X 
n
X

Normal Distribution
การแจกแจงแบบปกติ
X
Z

n
Z ~ N(0,1)
การแจกแจงแบบ t
X 
t
S
n
n < 30
df = n-1
การแจกแจงแบบ F
12
F

2
2
S12
F
S22
n1  1
n2  1

2
1
 22
การแจกแจงแบบ Chi-Square
 
2
 n1S
2

2