Integraal - We Love Math
Download
Report
Transcript Integraal - We Love Math
Integraal
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
muudu
jagatise
funktsiooni diferentserimiseks
cos x
x
0
a ln a
1
1
x 1
1
x
sin x
1
x ln a
2
1
2
x
nx
cos
n 1
e
2
x
x
korrutisega
u v
u v
uv
cu
u v
uv
Tuletise leidmise pöördoperatsiooniks on algfunktsiooni
leidmine.
funktsioon
f ( x) 5 x 2 x 3
2
funktsioon
f ( x) ?
tuletis
f ( x ) 10 x 2
tuletis
f ( x ) 3 x
algfunktsiooniks
1. Funktsiooni y F ( x ) nimetatakse funktsiooni y f ( x ) ....................................
Piirkonnas X, kui selles piirkonnas F ( x ) f ( x ) .
2. Funktsiooni
5
4
x
3
a) y 5 x algfunktsiooniks on näiteks ...........................
cos x 10
b) y sin1 x algfunktsiooniks on näiteks ...........................
ln x 4
c) y
algfunktsiooniks on näiteks ...........................
x
3.Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks ja see on
pöördtehe
tuletise leidmise ...........................................
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
G ( x) F ( x) C
konstant
f ( x ) dx F ( x ) C
f ( x)
f ( x ) dx
x
C
Integreerimine on algfunktsioonide üldavaldise ehk
määramata integraali leidmine.
C
cos x
x
2
x+C
n+1
x
sin x
e C
x
a
x
summaga
cos xdx cos x C 1 sin x C 2
sin x cos x C
märgi ette
x dx 3
4
x
5
5
C
3
5
x C
5
1
5 3 x 1, 5
3
1
2 6x
1
2
C
1, 5
2
9
5 3 x 3
cos 2 x 5 C
C
6
4 x
2
C
1 x3
C
x3
C
C
2
2
5
5
6
ln x
6
6
ln x
18
C
C
9 x 5 C
4
4
t
4
44
C
11 x 2
44
C
t2
x
x=a
x=b
t C
1
2
ln x 2 C
2
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
Kui kõvertrapetsi kõverhaar on määratud võrrandiga y=f(x) ja selle kõvertrapetsi
pindala on S(x), siis
S ( x ) f ( x )
Gümnaasiumi kitsas matemaatika, Avita
määratud integraaliks
ülemiseks rajaks
a-st b-ni
alumiseks rajaks
algfunktsioon
ülemise
ülemise
alumise
alumise
1 3
2
7
3
21
x
2
x
2
6
2 2 5 2
3
2
1
1
1 x
x
x
9
1, 5
1, 5
1, 5
x
2
2
4 1
2
1
4 1 1 2 5 3 2
Matemaatika lisamaterjal 12.kl, Avita
2 2
x
2 2
x
2x
2
1
2
x
2 2
ln 2
2
1
2
2
4
1
7
7 4 ln 2
2
2
2
(
1
)
4
2
2
ln 2
ln 2
ln 2
2 ln 2
2 ln 2
2 ln 2
x
1 sin x 1 sin x
1 sin x
1 sin x
1 sin x
x cos x
3
6
3
3 1
2 6
2
2
1
3
2 x 1 dx
2 x 1
4
10
2 x 1 dx
4
1
t
2
4
dt
t
5
10
C
5
1
0
2 1 1
10
0 1
10
1
10
1
10
1
5
2 dx dx
dt
2
summaga
märgi ette
integraali märk vastupidiseks
x3 3x2
4
3 2 10 x 1
3
2
43 3 42
1
3 1
1
1
21 24 40 1, 5 10
10
4
10
1
3
3
2
2
3
3
x=a
a; b
x=b
r
S ( x)
2
ristlõike
ruumalade
0
6
6
0 ,5 x 4
0
x
3
4
12
6
x
12
0
2
16 x
2
3
2 6 16 6
2
6
0
2
2 0 16 0
12
0
6
3
x
2
4
4 x 16
4
4
x 1
1
3
3
1
2
4
1
1
3
3
4
2
4
x 2x 1
2
1
39
x
3
3
x x
2
b)
2
2
V
2
2 x dx 4 x
2
0
0
4
dx 4
x
5
5
2
4
0
2
5
5
0 25 , 6 ü
3
c)
NB ! sin
2
x
1 cos 2 x
2
V sin
2
xdx
0
0
1 cos 2 x
2
dx
2
1 cos 2 x dx
0
1
1
x sin 2 x sin 2 0 sin 0 0 , 5
2
2
2
2
2
0
2
1
2
ü
3
Integraali seos füüsikaga
Kui keha liigub mööda sirget kohast a kohani b muutuva
jõu P mõjul, mis mõjub piki sirget ja sõltub läbitud tee
pikkusest s, st P=f(s), kui a ˂b, siis avaldub tehtud töö
n 1
A
b
lim f s s f s ds
i
n
i0
a
Näide. Venimata olekus vedru on 20 cm pikk. Jõud suurusega
100 N suudab hoida selle vedru 5 cm pikemana. Kui palju tööd
minimaalselt on vaja teha, et venitada vedru pikkuselt 25 cm
pikkuseni 35 cm?
Hooke’i seaduse põhjal venitusjõud P on vedru tasakaaluasendis
võrdeline vedru algpikkuse muuduga x s st P=ks.
Et 100 N suurune jõud hoiab vedru 5 cm = 0,05 m pikemana
100=k·0,05, st k=2000 ja P=2000s. Meid huvitab töö pärast
seda, kui vedru on juba venitatud 0,05 m võrra ja seda jätkatakse
Kuni vedru on pikenenud 15 cm = 0,15 m võrra.
0 ,15
A
2000 s ds
0 , 05
2000 s
2
2
0 ,15
0 , 05
1000 0 ,15 0 , 05
2
2
20 J
O. Prinits Matemaatika 11. klassile, Valgus 1988
Harjutusülesanne 5, lk. 77.
( 0 ;0 , 4 )
y ax 0 , 4
0 ,16 a 0 , 4 0
2
0 ,16 a 0 , 4
0 , 4 ; 0
a 2 ,5
y 2 ,5 x 0 , 4
2
0 .4
S 2
2 ,5 x
2
0 , 4 dx
0
2 ,5 x 3
0,4
2 ,5 0 , 4 3
2
2
0 , 4 x 0 2
0 , 4 0 , 4 0 0 , 2 m
3
3
Vastus. Kaarhalli otsa pindala on ligikaudu 0,2 m².