Transcript a) Integraalifunktio

1. INTEGRAALIFUNKTIO
1.1.1. INTEGRAALIFUNKTIO
F(x) on funktion f(x) integraalifunktio jollakin välillä ]a,b[, jos " x  ]a,b[ pätee
F´(x) = f(x)
(Tutkiminen: F´(x) = f(x)
(kaikilla määrittelyjoukon x:illä))
E.1.
a) Onko funktio F(x) = x2 + 4 funktion f(x) = 2x integraalifunktio?
On, sillä F’(x) = D(x2 + 4) = 2x = f(x) " x  R
b) Onko funktio F(x) = xex funktion f(x) = (x + 1)ex integraalifunktio?
On, sillä F’(x) = D(xex) = 1·ex + xex = (1 + x) ex = f(x)
E.2.
Minkä funktion integraalifunktio on F(x) = x2 · cos x ?
f(x) = F’(x)
= D (x2 · cos x)
= 2x cosx + x2 (-sinx)
= x(2cosx – xsinx)
1.1.2. Annetun funktion integraalifunktiot
Kaikki integraalifunktiot, jos yksi tunnetaan
Jos funktion f(x) yksi integraalifunktio on F(x), niin kaikki integraalifunktiot
löytyvät funktioparvesta F(x) + C (C = vakio)
E.4. Määritä se funktion f(x) = 1 - 2x integraalifunktio, jonka kuvaaja kulkee
pisteen (3,4) kautta.
F(x) = x – x2 + C = -x2 + x + C
F(3) = 4:
-32 + 3 + C = 4
C=4–3+9
C = 10
F(x) = -x2 + x + 10
E.5. Määritä se funktion f(x) = 2x + 4 integraalifunktio, jonka pienin arvo on 3.
F(x) = x2 +4x + C
Ääriarvo, F’(x) = 0:
F’(x) = f(x) = 2x + 4
2x + 4 = 0
x = -2
F(-2) = 3:
(-2)2 + 4·(-2) + C = 3
C=7
F(x) = x2 +4x + 7
Merkintä
 f(x)dx = F(x) + C
(Lue: Integraali fxdx)
E.6. Integroi
a)  (2x + 4)dx
b)  cosxdx
= x2 + 4x + C
= sinx + C
E.7
a)  (x + 2t) dx
= x2 + 2tx + C
b)  (x + 2t) dt
= xt + t2 + C
Huomaa integroimismuuttuja