Transcript Document

1.1.3. Funktiot sini, kosini ja tangentti
1. Kulman sini
on kulman kehäpisteen v-koordinaatti (y-koordinaatti)
2. Kulman kosini
on kulman kehäpisteen u-koordinaatti (x-koordinaatti)
3. Kulman tangentti
on kulman v / u eli v- ja u-koordinaatin suhde. EHTO: u  0
E.4.
Määritä sin , cos  ja tan , kun kulman  kehäpiste on
a) (0,6;0,8) b) (-4/5,-3/5)
a) sin  = 0,8
cos  = 0,6
tan   1,33
b) sin  = -3/5
cos  = -4/5
tan  = ¾
Kehäpiste, kun kulma tunnetaan
u = cos  ja v = sin 
eli kehäpiste on (cos , sin )
E.5.
Mikä on kulman  kehäpiste, kun kulma  on /3 ?
1 1
( ,
3)
2 2
Sini- ja kosinifunktion määrittelyjoukko R
Sini- ja kosinifunktion arvojoukko on [-1, 1]
Kasvu ja väheneminen
Sinifunktio
Merkit
Kosinifunktio
Jaksollisuus
sinin ja kosinifunktion jakso on 2
sin(x + n  2) = sinx
cos(x + n 2) = cosx
Pienin positiivinen jakso = perusjakso
E.6.
Mikä on funktion a) f(x) = sin 2x b) f(x) = cos (x/3) perusjakso?
a) Sinifunktion jakso on 2
Funktio f saa kaikki arvonsa kun 2x saa arvot väliltä, jonka pituus on 2, [0,2]
2x saa arvot väliltä [0,2] , kun x saa arvot väliltä [0/2,2/2] = [0, ]
jakson pituus =  - 0 = 
b) x/3 arvot väliltä [0,2]
x arvot väliltä [3  0, 3  2] = [0,6]
jakson pituus 6 - 0 = 6
E.7.
Mikä on funktion suurin ja pienin arvo, kun a) f(x) = sin x + 2 b) f(x) = 2cos x - 3
a) Sinifuktion arvojoukko on [-1, 1]
sin x saa arvot väliltä [-1, 1]
Funktion suurin arvo: 1 + 2 = 3
Funtion pienin arvo: -1 +2 = 1
b) f(x) = 2cosx – 3
Kosinifuktion arvojoukko on [-1, 1]
cosx saa arvot väliltä [-1, 1]
Funktion suurin arvo: 2  1 – 3 = -1
Funtion pienin arvo: 2  (-1) – 3 = -5
1.1.4. Tangenttipiste
on se piste, missä suunnatun kulman loppukylki tai sen jatke leikkaa
yksikköympyrälle pisteeseen (1,0) piirretyn tangentin
eli
(1, tanx), x ½+n  , n  Z
(ks. kirja s. 15)
E.8.
Mikä on kulman a) 30° b) 45° c) 90° d) 120° e) 71,4° tangenttipiste?
a)(1,
1
)
3
b) (1,1)
c) ei ole
d )(1, 3)
e) (1; 2,97)
TANGENTTIFUNKTIO
määrittelyjoukko kulma x ½+n   (kulma  90° + n ·180°)
E.9.
Mikä on funktion a) f(x) = tan 2x määrittelyjoukko?
2x ½ + n · | :2
x  ¼+n  ½
Arvojoukko on R
Merkit:
Jakso: 
E.10.
Mikä on funktion f(x) = tan (4x - ) perusjakso?
4x -  saa arvot väliltä [0, ]
4x saa arvot väliltä [,2]
x
saa arvot väliltä [/4 , ½]
jakson pituus:
½- /4 =¼
1.1.5. Sektorin ala
 2 rr
A
r 
2
2
1
A  br
2
rr

2
br

2
br

2