Transcript Vektorite skalaarkorrutis. Vektorkorrutis. Segakorrutis.

Vektorite skalaarkorrutis
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
Vektorite a ja b skalaarkorrutiseks
nimetatakse nende vektorite pikkuste ja
vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist.
a  b  a  b  cos
Jäta meelde!
Kui   0 , siis cos  1 ja a  b  a  b .
Kui   180 , siis cos  1 ja a  b   a  b .
Kui   90 , siis cos  0 ja a  b  0.

Vektorite ristseisu tunnus
Kaks vektorit on risti parajastis siis, kui nende
skalaarkorrutis on 0.
a  b  a b  0
Vektori skalaarruut
Vektori skalaarruut
aa  a
2
ehk skalaarrkorrutis iseendaga on võrdne
vektori pikkuse ruuduga
2
aa  a  a
2
Vektorite skalaarkorrutise arvutamine
vektorite koordinaatide abil
a  ( x1; y1; z1 )
b  ( x2 ; y2 ; z2 )
a  b  x1  x2  y1  y2  z1  z2
Vektorite skalaarkorrutis võrdub nende
vastavate koordinaatide korrutiste summaga.
a  b  a  b  cos
Kahe vektori vahelise nurga leidmiseks
cos 
a b
ab
Skalaarne ristprojektsioon
C
v
A

u
B
Vektor AB on vektori v ristprojektsioon vektori u
sihil.
pru v
Vektori v skalaarne ristprojektsioon vektori u
sihil võrdub
•Vektori AB pikkusega, kui AB  u ;
•Vektori AB pikkuse vastandarvuga, kui AB  u
pru v  v  cos 
pru v 
u v
u
Ül. 346
Leia punkti P(4;-2;3) kaugus sirgest, mis läbib
koordinaatide alguspunkti O ja punkti A(1;1;1).
P
OP
A
OA
O
x
OP  16  4  9  29 üh
B
Vektor OB on vektori OP projektsioon vektori OA sihil
4 1  2 1  3 1 5 5 3
üh
OB  prOA OP 


3
111
3
x 
 
2
2
 5 
29  
  20  4,55 üh
3
 3
2
Vektorkorrutis
Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks
nimetatakse kolmandat vektorit c , millel on
järgmised omadused:
Vektoric pikkus võrdub vektoritele a ja b
ehitatud rööpküliku pindalaga.
c  a  b  sin 
Vektori c siht on risti nii vektori a kui ka b
sihiga
c  a, c  b
Vektori c suund on määratud nn parema
käe kruvi reegliga.
 NB! Iga vektori
vektorkorrutis iseendaga
on nullvektor.
Tegurite järjekorra
muutmisel muutub
vektorkorrutise märk
vastupidiseks.
 Kahe vektori korrutis on
nullvektor siis, kui vähemalt üks
vektoritest on nullvektor või kui
vektorid on paralleelsed.
c  ab
b
a
Kahe ruumivektori vektorkorrutis avaldub
vektorina
a  a x ;a y ; a z 
b  bx ;b y ; bz 
 a y az a x az a x a y
ab  
;
;
 b y bz bx bz b x by





Vektorite segakorrutis
 
Skalaarkorrutist a  b  c nimetatakse
segakorrutiseks ning selle absoluutväärtus
võrdub rööptahuka ruumalaga, mille
servadeks on vastavad vektorid.
 
V  ab c
ax
ay
az
V  bx
by
bz
cx
cy
cz
Komplanaarsete vektorite segakorrutis on
null.