Transcript Vektorid
Vektorid Vektorid Matemaatikas, füüsikas jt. loodusteadustes vaadeldavad suurused skalaarsed (neid iseloomustab kindel arv) pikkus vanus mass vektoriaalsed (neid iseloomustab lisaks arvulisele väljendusele ka fikseeritud suund) kiirus kiirendus jõud Vektorid Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba lõpp-punktiks. Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks. Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega, mille kohal on nool: a, b, AB Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu pikkust. Vektori a pikkust märgitakse sümboliga a või a. Vektori koordinaadid Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt B(x2; y2; z2), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, s.t. AB ( x2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 ) Näide Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2). Lahendus AB (4 (1);6 (2);2 1) (5;4;1) Vektori pikkus Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist AB X 2 Y 2 Z 2 kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid. Näide Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse. Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist B vektori BC b . Ühendades punktid A ja C, saame vektori AC a b a b a A B b C AC a b Rööpkülikureegel Kui joonestame liidetavad vektorid a ja b ühisest alguspunktist A, siis neile vektoritele ehitatud rööpküliku diagonaalvektor alguspunktiga A on vektorite a ja b summa. a a b A b c a b Hulknurgareegel Mitme vektori summa leidmiseks joonestame mingist punktist A ühe liidetava; selle lõpp-punktist teise liidetava; viimase lõpppunktist kolmanda jne. Nende vektorite summaks on siis punktist A viimase liidetava lõpp-punkti B suunduv vektor AB a b d c b a c A AB B d Vektorite lahutamine Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist. b a a b a b a Vektori korrutamine arvuga Vektori a ja positiivese arvu k korrutiseks ka on vektoriga a samasuunaline vektor, mille pikkus on k a b 0,5b b 2b 0,5b 2b Vektori a ja negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse vektori ka vastandvektorit ka Tehted vektoritega koordinaatides Olgu antud vektorid a ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) siis b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) a b ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 ) a b ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 ) ma (mX 1 ; mY1 ; mZ1 ) Näide Olgu antud a (3;41 ;2) siis b (1;0;5) a b (3 1;4 0;2 (5)) (4;4;3) a b (3 1;4 0;2 (5)) (2;4;7) 2a (2 3;2 (4);2 2) (6;8;4) Vektorite skalaarkorrutis Kahe vektori a ( X 1 ; Y1 ; Z1 ); b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti. Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise valemist a b X 1 X 2 Y1Y2 Z1 Z 2 Vektorite skalaarkorrutis Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk. Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil. Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2) BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0) nende vektorite pikkused on vastavalt BA 5 2 (1) 2 (2) 2 30 BC 32 (3) 2 (0) 2 18 Vektorite skalaarkorrutis Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub BA BC 5 3 (1) (3) (2) 0 18 Ja seega BA BC 3 cos 5 30 18 BA BC ning arccos 3 3914 5 18 Kollineaarsed vektorid Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks. Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund võib neil olla ka vastupidine. Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. kui a ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) X 1 Y1 Z1 siis X 2 Y2 Z 2 b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) Kollineaarsed vektorid Näide1 Vektorid a (4;8;1) b (12;24;3) 4 8 1 on kollineaarsed, sest 12 24 3 Näide2 Vektorid a (4;6;1) b (5;7;3) ei ole kollineaarsed, sest 4 6 1 5 7 3 Kollineaarsed vektorid Näide3 Vektorid a (8;0) b (4;0) on kollineaarsed, sest (8;0) 2(4;0) ja seega need vektorid asuvad paralleelsetel siregetel.