Transcript Vektorid
Vektorid
Vektorid
Matemaatikas, füüsikas jt.
loodusteadustes vaadeldavad suurused
skalaarsed
(neid iseloomustab
kindel arv)
pikkus
vanus
mass
vektoriaalsed
(neid iseloomustab lisaks
arvulisele väljendusele ka
fikseeritud suund)
kiirus
kiirendus
jõud
Vektorid
Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on
fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba
lõpp-punktiks.
Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks.
Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega,
mille kohal on nool:
a, b, AB
Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu
pikkust.
Vektori a pikkust märgitakse sümboliga a või a.
Vektori koordinaadid
Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt
B(x2; y2; z2), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame
lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid,
s.t.
AB ( x2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1 )
Näide
Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2).
Lahendus
AB (4 (1);6 (2);2 1) (5;4;1)
Vektori pikkus
Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist
AB X 2 Y 2 Z 2
kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid.
Näide
Leiame eelmises näites antud vektori AB (5;4;1) pikkuse.
Lahendus
AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5
Tehted vektoritega, vektorite liitmine
Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on
võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on
esitatud geomeetrilisel kujul.
Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse
kolmnurgareeglit
rööpkülikureeglit
hulknurgareeglit
Kolmnurgareegel
Kahe vektori a ja b summa leidmiseks
joonestame mingist
punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist
B vektori BC b . Ühendades punktid A ja C, saame vektori
AC a b
a
b
a
A
B
b
C
AC a b
Rööpkülikureegel
Kui joonestame liidetavad vektorid a ja b ühisest alguspunktist
A, siis neile vektoritele ehitatud rööpküliku
diagonaalvektor
alguspunktiga A on vektorite a ja b summa.
a
a
b
A
b
c a b
Hulknurgareegel
Mitme vektori summa leidmiseks joonestame mingist punktist A
ühe liidetava; selle lõpp-punktist teise liidetava; viimase lõpppunktist kolmanda jne. Nende vektorite summaks on siis punktist
A viimase liidetava lõpp-punkti B suunduv vektor AB
a
b
d
c
b
a
c
A
AB
B
d
Vektorite lahutamine
Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist.
b
a
a
b a
b
a
Vektori korrutamine arvuga
Vektori a ja positiivese arvu k korrutiseks ka on vektoriga a
samasuunaline vektor, mille pikkus on k a
b
0,5b
b
2b
0,5b
2b
Vektori a ja negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse
vektori ka vastandvektorit ka
Tehted vektoritega koordinaatides
Olgu antud vektorid a ( X 1 ; Y1 ; Z1 ) siis
b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 )
a b ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 )
a b ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z1 Z 2 )
ma (mX 1 ; mY1 ; mZ1 )
Näide Olgu antud a (3;41 ;2) siis
b (1;0;5)
a b (3 1;4 0;2 (5)) (4;4;3)
a b (3 1;4 0;2 (5)) (2;4;7)
2a (2 3;2 (4);2 2) (6;8;4)
Vektorite skalaarkorrutis
Kahe vektori a ( X 1 ; Y1 ; Z1 ); b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t.
a b a b cos
kus on vektorite vaheline nurk.
Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga
arvutamisel.
Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaarkorrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis
on null, siis vektorid on risti.
Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise
valemist
a b X 1 X 2 Y1Y2 Z1 Z 2
Vektorite skalaarkorrutis
Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja
C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk.
Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil.
Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC
BA (2 (3);0 1;1 1) (5;1;2)
BC (0 (3);2 1;1 1) (3;3;0)
nende vektorite pikkused on vastavalt
BA 5 2 (1) 2 (2) 2 30
BC 32 (3) 2 (0) 2 18
Vektorite skalaarkorrutis
Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub
BA BC 5 3 (1) (3) (2) 0 18
Ja seega
BA BC
3
cos
5
30 18
BA BC
ning
arccos
3
3914
5
18
Kollineaarsed vektorid
Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis
paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks.
Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund
võib neil olla ka vastupidine.
Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b
Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t.
kui
a ( X 1 ; Y1 ; Z1 )
X 1 Y1 Z1
siis
X 2 Y2 Z 2
b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 )
Kollineaarsed vektorid
Näide1 Vektorid
a (4;8;1)
b (12;24;3)
4
8 1
on kollineaarsed, sest
12 24 3
Näide2 Vektorid
a (4;6;1)
b (5;7;3)
ei ole kollineaarsed, sest
4 6 1
5 7 3
Kollineaarsed vektorid
Näide3 Vektorid
a (8;0)
b (4;0)
on kollineaarsed, sest (8;0) 2(4;0)
ja seega need vektorid asuvad paralleelsetel siregetel.