Slide 1

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 2

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 3

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 4

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 5

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 6

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 7

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 8

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 9

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 10

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 11

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 12

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 13

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 14

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 15

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 16

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 17

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 18

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 19

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 20

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 21

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 22

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 23

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 24

Vektorid.

I Vektor tasandil.
Vektor tasandil. Vektori mõiste.
Vektori pikkus ja koordinaadid.
Tehted vektoritega.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku,
mida iseloomustavad siht, suund ja pikkus.
 Siht näitab, kuidas vektor asetseb,
 Suund kummale poole on vektor suunatud.
 Pikkus on vektori arvväärtuseks.

 Vektoreid võib tähistada nende algus- ja
lõpp-punkti abil, näiteks AB, kus A on
vektori alguspunkt ja B vektori lõpp-punkt.
 Vektoreid võib tähistada ka ladina
väiketähtedega, näiteks a, b, c.

Vektoriga seonduvad mõisted.
 Kui vektorid a ja b on samasihilised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kaks vektorit on samasihilised parajasti siis, kui
nende vahel kehtib seos a = k · b, kus k on
nullist erinev reaalarv. Samasihiliste vektorite
vastavad koordinaadid on seega võrdelised.

 Kui vektorid a ja b on samasuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.
 Kui vektorid a ja b on vastassuunalised, siis
seda tähistatakse nii: a
b.

Vektori koordinaadid.
 Kui on antud vektori alguspunkt A ( x1 ; y1 )
ja lõpp-punkt B ( x2 ; y2 ), siis vektori AB
koordinaatide leidmiseks lahutame lõpppunkti koordinaatidest vastavad alguspunkti
koordinaadid. Vektori koordinaadid
tähistavad seega nihet alguspunktist lõppu.
Kui A ( x1 ; y1 ) ja B ( x2 ; y2 ) ,
siis AB = ( x2 – x1 ; y2 – y1 ) .

Vektori pikkuse leidmine.
 Kui meil on teada
vektori koordinaadid,
saame leida selle
pikkuse Pythagorase
teoreemi järgi (jälgi
joonist), vaadeldes
koordinaate kaateteina.
 NB! Pikkus on skalaar.

|a|=

y

Y

X2 + Y2 .

X

x

Tehted vektoritega.
 Vektoreid saab liita, lahutada ja korrutada
skalaariga. Neid tehteid on võimalik teha,
kui on teada vektori koordinaadid või vektor
on esitatud geomeetrilisel kujul.
 Vektorite liitmisel liidetakse nende vastavad
koordinaadid, lahutamisel aga lahutatakse.
a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ) ning
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ) .

Vektorite liitmine.
 Vektorite matemaatilisel
liitmisel nende vektorite
vastavad koordinaadid
liidetakse.
 Vektorite geomeetrilisel
liitmisel asetatakse
vektorid nii, et iga
eelmise vektori lõpppunkt ühtib järgmise
algusega. Summavektor
kulgeb esimese algusest
viimase lõpp-punkti.

a

c

d
b

Vektorite lahutamine.
 Vektorite matemaatilisel
lahutamisel lahutatakse teise
vektori koordinaadid
vastavatest esimese vektori
koordinaatidest.
 Vektorite geomeetrilisel
lahutamisel asetatakse
vektorid nii, et nende
alguspunktid ühtivad.
Vahevektor kulgeb teise
vektori lõpp-punktist esimese
vektori lõpp-punkti.
 Vektori lahutamine tähendab
vastandvektori liitmist.

a
b

Vektori korrutamine arvuga.
 Kui vektorit a korrutada
arvuga k, korrutub vektori
pikkus arvu k absoluutväärtusega ja koordinaadid arvuga k.
 Kui arv k > 0, jääb vektori
suund samaks, kui k < 0,
muutub vektori suund
vastupidiseks.
 Mistahes vektori korrutamisel arvuga 0 saame
tulemuseks nullvektori,
mida tähistatakse 0.

-½·a
-a
2·a
a
½·a

Vektorite skalaarkorrutis.
 Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist.
 Kahe vektori skalaarkorrutis on võrdne
nende vektorite vastavate koordinaatide
korrutiste summaga.
a · b = | a | · | b | · cos α või
a · b = x1 · x2 + y 1 · y 2 .

Vektorite skalaarkorrutis.
 Skalaarkorrutise leidmise valemist järeldub,
et kui vektorid on risti, on nende
skalaarkorrutis null (kuna koosinus
täisnurgast on võrdne nulliga).
 Ja mitte ainult, kehtib ka vastupidine: kui
vektorite skalaarkorrutis on null, asetsevad
kõnealused vektorid risti.

II Vektor ruumis.
Punkt ruumis. Vektor ruumis.
Kohavektor. Tehted vektoritega.
Vektori avaldamine vektoritest.

Punkt ruumis.
 Punkti paigutamiseks
ruumi ei piisa enam kahest
teljest, tuleb lisada
kolmas, z-telg.
 Nüüd kirjeldab punkti
asukohta järjestatud
arvukolmik: ( X ; Y ; Z ).
 Teljestik jaotab ruumi
kolmeks tasandiks: yztasandiks, xz-tasandiks ja
xy-tasandiks.

z
yz
xz
X

Z

Y xy

x

y

Punkt ruumis.
 Kui üks punkti koordinaatidest on null:
 Kui x-koordinaat on 0, asub punkt yz-tasandil,
 Kui y-koordinaat on 0, asub punkt xz-tasandil,
 Kui z-koordinaat on 0, asub punkt xy-tasandil.

 Kui kaks punkti koordinaatidest on nullid:
 Kui x- ja y-koordinaadid, asub punkt z-teljel,
 Kui x- ja z-koordinaadid, asub punkt y-teljel,
 Kui y- ja z-koordinaadid, asub punkt x-teljel.

 Punkt, mille kõik koordinaadid on nullid, on
koordinaatide alguspunkt.

Vektor ruumis.
 Põhiomadused üldjoontes ei muutu, igale
poole lisandub lihtsalt kolmas mõõde.
 Vektori korrutamisel skalaariga ja
skalaarkorrutise leidmiseks tuleb toimida
täpselt samamoodi kui tasandil.
|a|=

X2 + Y2 + Z2 ,

a + b = ( x1 + x2 ; y1 + y2 ; z1 + z2 ) ,
a – b = ( x1 – x2 ; y1 – y2 ; z1 – z2 ) .

Skalaarne ristprojektsioon.
 Skalaarkorrutise abil saab
leida ka ühe vektori
skalaarset ristprojektsiooni
teise vektori sihil.
 Valemina: vektori skalaarprojektsioon teise vektori
sihil võrdub vektorite skalaarkorrutise ja esimese
vektori pikkuse jagatisega.

pruv = ( u · v ) : | u |

pruv

v

Ühikvektorid.
 Vastavalt x-, y- ja z-telje suunalised
vektorid i, j ja k pikkusega 1 ühik on
ühikvektorid. Nende kaudu saab avaldada
kõiki teisi vektoreid: a = x · i + y · j + z · k.
 Lühidalt: iga vektor on avaldatav oma
koordinaatide ja vastavate ühikvektorite
korrutiste summana.

Punkti kohavektor.
 Valime teljestikul mingi
punkti P ( x1 ; y1 ; z1 ).
Vektor, mis moodustub
koordinaatide alguspunkti
ja punkti P vahel, on
punkti P kohavektor.
 Punkti kohavektori
koordinaadid on võrdsed
selle punkti koordinaatidega.

z
P

Q
x

y

Vektorite komplanaarsus.
 Vektoreid, mis asuvad ühel
ja samal tasandil või
paralleelsetel tasanditel,
nimetatakse komplanaarseteks.
 Komplanaarsust nimetatakse ka samarihilisuseks,
s.t. vektorid kuuluvad
samasse rihti.
 Kui kolme vektori koordinaatidest moodustatud
kolmerealine determinant
on võrdne nulliga, on need
vektorid komplanaarsed.

Vektori avald. kolme vektori kaudu.
 Ruumi iga vektori saab avaldada kolme
mistahes mittekomplanaarse vektori kaudu.
 Kontrollida, ega vektorid pole komplanaarsed.
 Koostada ja lahendada võrrandisüsteem:
k+
k+
k+

m+
m+
m+

n=
n=
n=

s=(
u=(
v=(
w=(

2
1
4
7

;
;
;
;

4
2
5
8

;
;
;
;

6
3
6
9

)
)
)
)

 Lahendid saavadki lähtevektorite kordajateks.
 Näiteks s = k · u + m · v + n · w, kus k, m ja n on
lahendid. Ei olnud ju raske!

Vektorkorrutis.
 Kahe vektori a ja b vektorkorrutiseks a x b
nimetatakse kolmandat vektorit c, millel on
järgmised omadused:
 Tema pikkus võrdub vektoritele a ja b ehitatud
rööpküliku pindalaga.
 Tema siht on risti mõlema vektori sihiga.
 Tema suund on määratud nn. parema käe kruvi
reegliga.

 Tegurite järjekorra muutumisel muutub
vektorkorrutise märk vastupidiseks.

Vektorkorrutis.
 Eeskirjad vektorkorrutiste leidmiseks:

z
axb

a x b = |a|·|b|·sinα

b
i

j

a

k

a x b = ax ay az
bx by bz

x

y

Aitäh!
Julius Juurmaa