Joone võrrand

© T .

Lepikult , 2010

Joone võrrand

Joone C võrrandiks

ristkoordinaatides nimetame niisugust seost

F

(

x

,

y

) = 0 kahe muutuja

x

ja

y

vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need.

y

Sirge

, mille võrrandiks on 

b x



b

 0

c y y

Parabool

, mille võrrandiks on 

d c

2 (

x



c

) 2  0

d

Ringjoon

, mille võrrandiks on (

x



a

) 2   (

y



b

) 2 

r

2  0

r a b

0

c x

Joone konstrueerimine tema võrrandi järgi

Ülesandeks on konstrueerida joon (või funktsiooni graafik), kui on teada tema võrrand

F

(

x

,

y

) = 0 .

Ülesande lahendamiseks tuleb leida ja kanda koordinaattasandile piisavalt palju punkte, mille koordinaadid rahuldavad joone võrrandit, ning ühendada need sujuva joonega. Enne joonisele kandmist on punktide koordinaadid otstarbekas kirjutada tabelisse.

y x y x

1 1

y x

2 2

x y

3 3 … …

y P

2 (

x

2 ,

y

2 )

P

1 (

x

1 ,

y

1 ) 1

P

4 (

x

4 ,

y

4 )

P

3 (

x

3 ,

y

3 ) 0 1

P

5 (

x

5 ,

y

5 )

P

6 (

x

6 ,

y

6 )

x

Näide

Konstrueerida

siugjoon x

2

y

 4

y

 8

x



Lahendus

Avaldame joone võrrandist muutuja

y

: -4 -3 -2 -1 0 1 4 2 3 (

x

2  4 )

y

 Anname muutujale 8

x x



y



x

2 8

x

 4 väärtused vahemikus [-4; 4], arvutame vastavad

y

väärtused, ja kanname leitud punktid koordinaattasandile:

x y

2

y

-1,6 -1,85 -2 -1,6 0 1,6 2 1,85 1,6 -4 -3 -2 -1 1 -1 -2 0 1 2 3 4

x

Kahe joone lõikepunktide leidmine

On antud kaks joont oma võrranditega

F

(

x

,

y

) = 0 ja

G

(

x

,

y

) = 0. Missugused on nende joonte lõikepunktide koordinaadid?

Lahendus

Joonte iga lõikepunkt asetseb nii ühel kui teisel joonel. Järelikult joonte lõikepunkti koordinaadid peavad rahuldama nii üht kui teist võrrandit. Seega lõikepunkti(de) koordinaadid saadakse, lahendades mõlemad antud võrrandid ühiselt (võrrandisüsteemina):

F

(

x

,

y

)  0

G

(

x

,

y

)  0 .

Näide

Leiame ringjoone (

x

 1 ) 2 

y

2  4 ja sirge

y

= 3

x

lõikepunktid.

Lahendus

Asendame ringoone võrrandisse muutuja

y

avaldisega 3

x

võrrandist) ja lahendame saadud ruutvõrrandi: (sirge (

x

 1 ) 2  ( 3

x

) 2  4  10

x

2  2

x

 3  0 

x

  1 10  1  Sirge võrrandist (

y

= 3

x

) leiame vastavate ordinaatide väärtused:

y

  3 10  1  31  Seega lõikuvad antud sirge ja ringjoon kahes punktis: 31 

P

1  1 10  1  31  ;  3 10  1  31     ja

P

2  1 10  1  31  ;  3 10  1  31    

Lõpp