Transcript 07 – Funktsioonid

Funktsioonid
Õpikust lk 49-57
Tunni eesmärgid
• Tänase tunni lõpuks Sa...
– ... oskad oma sõnadega selgitada, mis asi on
funktsioon.
– ... tead olulisemaid mõisteid, mida kasutatakse
funktsioonide kirjeldamiseks.
– ... oskad leida varemõpitud funktsioonide
määramis- ja muutumispiirkonda.
– ... oskad leida funktsiooni väärtust mingil ette
antud kohal.
Sissejuhatuseks
• Matemaatika ajaloo võib tinglikult jagada
kolmeks etapiks:
1. Elementaarmatemaatika periood
2. Klassikalise kõrgema matemaatika periood
3. Kaasaegse matemaatika periood
• Piiriks elementaarmatemaatika ja klassikalise
kõrgema matemaatika vahel võib lugeda 17.
sajandi.
• Sel sajandil võeti kasutusele muutuva suuruse ja
funktsiooni mõisted.
Meenutuseks
• Eelnevalt vaatlesime selliseid seoseid
y  ax
y
a
x
y  ax  b
y  ax  bx  c
2
• Nendel kõigil on ühine see, et andes x-ile
erinevaid väärtusi, saame alati välja arvutada
ühe konkreetse y väärtuse.
Sõltuv ja sõltumatu muutuja
• Sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks
nimetatakse muutujat, millele me võime ise
teatud hulgast vabalt väärtusi anda.
– Meie poolt käsitletavates funktsioonides on sõltumatu
muutuja enamasti tähistatud x-ga.
• Sõltuvaks muutujaks ehk funktsiooniks
nimetatakse muutujat, mille väärtused leitakse
vastavalt sõltumatu muutuja väärtustele.
– Meie poolt käsitletavates funktsioonides on sõltuv
muutuja enamasti tähistatud y-ga või f(x)- ga.
Funktsiooni mõiste
• Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mille
järgi sõltumatu muutuja igale väärtusele
seatakse vastavusse sõltuva muutuja mingi
kindel väärtus.
– (st. igale x väärtusele vastab ainult üks y väärtus)
– NB! Vastupidine ei kehti! St. ühele sõltuvale võib
vastata mitu sõltumatu muutuja väärtust.
Määramis- ja muutumispiirkond
• Määramispiirkonnaks nimetatakse kõigi
sõltumatu muutuja võimalike väärtuste hulka.
• Tähis: X
• Muutumispiirkonnaks nimetatakse kõiki
võimalikke väärtusi, mida saab omandada
sõltuv muutuja.
• Tähis: Y
Määramispiirkonna leidmine
• Funktsiooni määramispiirkonna leidmiseks tuleb
sageli tugineda kas selle nähtuse sisule, mida
funktsioon kirjeldab, või vastava funktsioonitüübi
omadustele.
• Näiteks funktsioon y = 1,1x
– Määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk ( X  R )
– Kui aga teame, et selles funktsioonis tähistab x näiteks
vanaema poolt turult ostetud kanamunade arvu, siis
kuuluvad määramispiirkonda ainult positiivsed
täisarvud ja null.
Näide 1
• Leiame järgmiste funktsioonide
määramispiirkonnad
y  x 5
3
y
y
x
1
x
2
Muutumispiirkonna leidmine
• Muutumispiirkonna leidmiseks võib kasutada
kas loogilist arutelu, tuginedes funktsiooni
omadustele või graafikule, või
pöördfunktsiooni mõistet, mida õpime hiljem.
y  x 5
3
y
y
x
1
x
2
Funktsiooni tähistamine
• Funktsiooni esitavat vastavust märgitakse üles
järgmiselt:
• y = f(x), kus x  X ja y  Y ja f on eeskiri, mille
kohaselt argumendi igale väärtusele seatakse
vastavusse funktsiooni väärtus.
• Vastavust võib tähistada ka teiste tähtedega,
näiteks y = g(x).
Funktsiooni tähistamine (2)
• Suurus f(x) tähistab funktsiooni f väärtust, mis
vastab argumendi väärtusele x.
• Kirjutis f(a) tähistab funktsiooni y = f(x)
väärtust, kui argument x = a.
• Näiteks
 Kui f ( x )  x 2  2 x  3
 Siis f ( 2 )  2 2  2  2  3  11
Ajaloost...
• Termini “funktsioon” võttis
kasutusele Saksa matemaatik
Gottfried Wilhelm von Leibniz
(1646-1716).
• 1698 aastal võttis tema
kasutusele ka mõisted “muutuja”
ja “konstant”.
Ajaloost... (2)
• Funktsiooni mõistet arendasid edasi Šveitsi
matemaatik Leonhard Euler (1707-1783) ja
Prantsuse matemaatik Jean Babtiste Joseph
Fourier (1768-1830).
Ajaloost... (3)
• 17. sajandil avastati ka seos funktsiooni ja
joone mõistete vahel.
– Olgu antud mingi funktsioon, mille
määramispiirkond on X.
– Märgime koordinaatteljestikku punktid, mille
koordinaatideks on x ja f(x).
– Kõigi selliste punktide hulka (x;f(x)) nimetatakse
funktsiooni graafikuks.
Funktsiooni esitusviisid
• Funktsiooni võib esitada järgmistel kujudel:
1.
2.
3.
4.
Analüütiline kuju (valemi abil)
Graafik
Tabel
Arvupaarid
Ülesanded
• Õpikust ÜL 192, 195, 198
Lõpetuseks
• “Areng on loomingu funktsioon ja õpetaja
ülesanne on loovuse avanemiseks keskkond
luua.”
Aivar Haller
Tunni eesmärkide ülevaade
• Kas Sa...
– ... oskad oma sõnadega selgitada, mis asi on
funktsioon?
– ... tead olulisemaid mõisteid, mida kasutatakse
funktsioonide kirjeldamiseks?
– ... oskad leida varemõpitud funktsioonide
määramis- ja muutumispiirkonda?
– ... oskad leida funktsiooni väärtust mingil ette
antud kohal?
Jälgimine
1. Täida lüngad
a) Sõltumatuks muutujaks ehk .........................
nimetatakse muutujat, millele võime ise teatud
hulgast vabalt väärtusi anda.
b) Kõigi x-i võimalike väärtuste hulka nimetatakse
....................................... .
c) Funktsiooniks nimetatakse vastavust, mis seab
igale ............. väärtusele vastavusse täpselt ühe
.............. väärtuse.
2. Leia f(3), kui f(x) = x2 – 2x + 3