Transcript Funktsiooni uurimine tuletise abil

Funktsiooni uurimine tuletise abil
Heldena Taperson
www.welovemath.ee
Meenuta
• Määramispiirkond X
• Muutumispiirkond Y
• Funktsiooni nullkohad f(x) = 0
• Funktsiooni positiivsuspiirkond f(x) > 0
• Funktsiooni negatiivsuspiirkond f(x) < 0
Skitseeri funktsiooni y  5x  6 x  1
graafik ning leia X, Y, X0, X+, X-.
2
y  5x  6 x  1
2
 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus
kasvavaks, kui x 2 > x 1  f(x2) > f(x1).
 Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega
vahemikku), milles eelnev seos kehtib,
nimetatakse funktsiooni kasvamispiirkonnaks ja
seda tähistatakse sümboliga X 
 Funktsiooni y = f(x) nimetatakse vahemikus
kahanevaks, kui x 2 > x 1  f(x2) < f(x1).
 Arvtelje piirkonda (maksimaalse pikkusega
vahemikku), milles eelnev seos kehtib,
nimetatakse funktsiooni kahanemispiirkonnaks
ja seda tähistatakse sümboliga X 
 Pea meeles, et , kui X on funktsiooni
määramispiirkond, siis X  X
X  X
Leia funktsiooni y   x  2 x  3 kasvamisja kahanemisvahemikud, ekstreemumkoht ja
ekstreemumpunkt. Skitseeri graafik.
2
y   x  2x  3
2
Kui funktsioon on diferentseeruv
vahemikus a, b (st. graafik omab
puutujat selles punktis) ning
– tuletis on positiivne s.t. f′(x)>0, siis
funktsioon on kasvav antud vahemikus;
– tuletis on negatiivne s.t. f′(x)<0, siis
funktsioon on kahanev antud vahemikus;
– tuletis on null s.t. f′(x)=0, siis funktsioon on
konstantne.
Näide 1
Kas funktsioon y = x3 - 12x on kohal x0=1
kasvav või kahanev?
Näide 2
Leia funktsiooni y = 2x3 - 54x kasvamis- ja
kahanemisvahemikud.
Näide 3
Leia funktsiooni y = (2x-6)3
kasvamisvahemikud.
Meenuta – ekstreemum
-ühine nimetus funktsiooni maksimumile ja
miinimumile
• Ekstreemumkoht
• Ekstreemum
• Ekstreemumpunkt
(lad. k. äärmus)
Kui funktsiooni y = f(x) kasvamine (kahanemine)
läheb x suurenedes kohal x0 üle kahanemiseks
(kasvamiseks), siis on koht x0 selle funktsiooni
maksimumkoht (miinimumkoht) ja arv f(x0)
funktsiooni maksimum (miinimum). Punkt E(x0;
f(x0)) on funktsiooni graafiku maksimumpunkt
(miinimumpunkt).
Funktsiooni ekstreemumkohtadeks võivad olla
ainult need argumendi väärtused, mille korral
tuletis on null (puutuja on neil kohtadel
paralleelne x-teljega) või puudub (puutujat
joonestada ei saa – tegemist on
katkevuskohaga).
Funktsiooni maksimumi ja miinimumi tunnustes
on oluline, et tuletise märk muutub. Tingimusest,
et tuletis on null ei piisa selleks et funktsioonil
oleks ekstreemumväärtus.
Näiteks funktsioon y =x3
Antud funktsioonil ei ole tuletist kohal 0- tegemist
on teravikpunktiga.
Graafikult on näha, et funktsioonil on kohal x=0
miinimum.
y x
Selleks, et leida funktsiooni y = f(x) maksimumi
ja miinimumi tuleb toimida jargmiselt:
a) leia võrrandi y′ = 0 kõik reaalarvulised lahendid
(argumendi nn. kriitilised väärtused);
b) uuri funktsiooni tuletise märki argumendi kriitiliste
väärtuste ümbruses. Seega vaata kas kasvamine
(+) läheb üle kahanemiseks (-), st. maksimumkoht
või vastupidi kahanemine(-) läheb üle
kasvamiseks (+),st. miinimumkoht;
c) vajaduse korral leia ka funktsiooni maksimum- ja
miinimumpunktide ordinaadid, mida nimetatakse
ekstreemumiteks
y  x 3  6x 2