Transcript Vektorite esitlus

Vektori mõiste, tehted
vektoritega
Vektori mõiste
Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga,
nimetatakse skalaarseteks suurusteks
(nt õhutemperatuur, õpilase kaal, vanus,
kauba hind jms)
 Suurust, mille täielikuks määramiseks on
peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda,
nimetatakse vektoriaalseks suuruseks
(nt ilmateadetes tuule tugevusvektor)

Vektori mõiste, vektori tähistamine

Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku
◦ sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus:
 siht näitab, kuidas vektor asetseb
 suund näitab, kummale poole on vektor sihil
suunatud
 pikkus on vektori arvväärtuseks
B
a
AB
A
Vektorite kasutusvaldkondi
Fototöötlus (vektorgraafika), tugevusvektorid
liikusmisülesannetes, erinevad füüsika valdkonnad
(nt magnetväli vaakumis).
Vektorite võrdsus

Vektorid on samasihilised kui nad on
paralleelsed
◦ Samasihilisus ehk kollineaarsus
a
b
d
c
◦ Samasihilised vektorid on kas
samasuunalised või vastassuunalised
Vektorite võrdsus

Vektorid on võrdsed, kui nad on
samasihilised, samasuunalised ja
ühepikkused
a
b
ab
Vektori koordinaadid
B
AB  (3;4 )
A
Vektori koordinaadid

Joonesta järgmised vektorid:
a  ( 2 ;5 )
b  (  1; 2 )
c  (  2; 3)
d  ( 0; 4 )
Vektori koordinaadid
a  ( 2 ;5 )
a
b  (  1; 2 )
b
c  (  2; 3)
c
d
d  ( 0; 4 )
Vektori koordinaadid

Olgu vektori alguspunkt M(1;2) ja lõpppunkt N(5;7). Joonesta antud vektor
koordinaattasandil ja märgi üles tema
koordinaadid.
7
MN  ( 4 ;5 )
N
6
5
4
3
M
2
1
1
2
3
4
5
6
Vektori koordinaadid
B(x2;y2)
AB
A(x1;y1)
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1).
Vektori koordinaadid

Leia vektori koordinaadid, kui on antud
vektori alguspunkt ja lõpp-punkt.
a) A(7;6), B(2;1)
AB  (  5;  5 )
b) C(-2;3), D(4;2)
DC  ( 6 ;1)
Vektori pikkus
Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus
|v|= a b
2
2
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1)
siis selle vektori pikkus
| AB | =
( x 2 – x 1 )  ( y 2 – y1 )
2
2
Vektorit pikkusega 1 nimetatakse ühikvektoriks.
Vektori pikkus
Leia vektorite pikkus.
a) k  (  6 ;8 )

k 
(6)  8 
2
2
100  10
b) G(2;7), H(5;3)
(5  2 )  (3  7 ) 
2
GH 

25  5
2
3  (4) 
2
2
Vektorite liitmine

Lennuk lendas punktist A 200 km itta ja
jõudis punkti B. Sealt lendas lennuk veel
400 km itta ja jõudis punkti C.
◦ Geomeetriline lahendus
AB
A
BC
B
C
AC on vektorite AB ja BC summavektor.
◦ Algebraline lahendus
AB=(200;0) ja BC=(400;0)
AB+BC=(200;0)+(400;0)=(600;0)=AC
Vektorite liitmine

Mees liikus punktist P 200 m lõunasse
punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas ning
jõudis punkti R.
◦ Geomeetriline lahendus
R
PQ
P
R
QR

PR
P
Q
PR on vektorite PQ ja QR summavektor.
◦ Algebraline lahendus
PQ=(0;-200) ja QR=(0;500)
PQ+QR=(0;-200)+(0;500)=(0;300)=PR
Vektorite liitmine

Keha liikus punktist A vektori AB  ( 5 ;3 )
võrra ja seejärel vektori BC  (1; 4 ) võrra.
◦ Geomeetriline lahendus
C
AC
BC
B
AB
◦ AlgebralineA lahendus
AB=(5;3)
ja BC=(1;4)
AC
on vektorite
AB ja BC summavektor.
AB+BC=(5;3)+(1;4)=(6;7)=AC
Vektorite liitmine
Vektorite summa koordinaadid saame, kui
liidame nende vektorite vastavad koordinaadid
u  (a; b )  v  (c; d )
w  u  v  (a  c; b  d )
Vektorite liitmine
Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need
vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib
teise algusega. Summavektor ühendab esimese
vektori algust teise lõpuga.
Kolmnurgareegel
Rööpkülikureegel
D
b
A
a
C
AC
AB  a
BC  b
B
Nullvektor

Vektorit O  ( 0 ; 0 ) nimetatakse
nullvektoriks
◦ Nullvektori pikkus on võrdne nulliga
◦ Nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad
◦ Nullvektori siht ja suund ei ole määratud
Vastandvektor

Kui kaks vektorit on teineteise
vastandvektorid, siis on nad ühepikkused
ja samasihilised aga vastassuunalised.

a  ( x; y )

 a  (  x ; y )



a   a   O
y

7 a  ( 4 ;3 )
6
5
4

 a  (  4; 3)
3
2
1
1
2
3
4
5
6
x
Vektorite lahutamine

Vektori lahutamine tähendab selle vektori
vastandvektori liitmist


u  ( a ; b )  v  ( c ; d );
 


u  v  u  (  v )  ( a ; b )  (  c ; d ) 
 (a  c; b  d )
Vektorite lahutamine

Vektorite vahe leidmiseks paigutame need
vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest
alguspunktist.
   
b a  ab

a
 
b b

Rakendame kolmnurga reeglit: liidame
vektorid
Vektorite lahutamine

Selleks, et lahutada ühest vektorist teine vektor,
paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid
ühisest alguspunktist.
◦ Vektorite vahe vektor lähtub lahutava vektori lõpppunktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti.

Leia vektorite
ja
algebraliselt ja geomeetriliselt.
vahe
Vektori korrutamine arvuga
Uuri vektoreid
ja
. Joonesta,
võrdle sihte, suundasid ja pikkuseid.
• Sama siht ja suund
• Pikkused erinevad kaks korda
Ilmneb, et kui korrutaksime vektori koordinaate
kahega, saaksime vektori koordinaadid, seega
Vektori korrutamine arvuga





saame nullvektori