Vektorite esitlus
Download
Report
Transcript Vektorite esitlus
Vektori mõiste, tehted
vektoritega
Vektori mõiste
Suurusi, mida saab esitada ühe arvuga,
nimetatakse skalaarseteks suurusteks
(nt õhutemperatuur, õpilase kaal, vanus,
kauba hind jms)
Suurust, mille täielikuks määramiseks on
peale arvväärtuse vaja ka sihti ja suunda,
nimetatakse vektoriaalseks suuruseks
(nt ilmateadetes tuule tugevusvektor)
Vektori mõiste, vektori tähistamine
Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku
◦ sellist sirglõiku iseloomustavad siht, suund ja pikkus:
siht näitab, kuidas vektor asetseb
suund näitab, kummale poole on vektor sihil
suunatud
pikkus on vektori arvväärtuseks
B
a
AB
A
Vektorite kasutusvaldkondi
Fototöötlus (vektorgraafika), tugevusvektorid
liikusmisülesannetes, erinevad füüsika valdkonnad
(nt magnetväli vaakumis).
Vektorite võrdsus
Vektorid on samasihilised kui nad on
paralleelsed
◦ Samasihilisus ehk kollineaarsus
a
b
d
c
◦ Samasihilised vektorid on kas
samasuunalised või vastassuunalised
Vektorite võrdsus
Vektorid on võrdsed, kui nad on
samasihilised, samasuunalised ja
ühepikkused
a
b
ab
Vektori koordinaadid
B
AB (3;4 )
A
Vektori koordinaadid
Joonesta järgmised vektorid:
a ( 2 ;5 )
b ( 1; 2 )
c ( 2; 3)
d ( 0; 4 )
Vektori koordinaadid
a ( 2 ;5 )
a
b ( 1; 2 )
b
c ( 2; 3)
c
d
d ( 0; 4 )
Vektori koordinaadid
Olgu vektori alguspunkt M(1;2) ja lõpppunkt N(5;7). Joonesta antud vektor
koordinaattasandil ja märgi üles tema
koordinaadid.
7
MN ( 4 ;5 )
N
6
5
4
3
M
2
1
1
2
3
4
5
6
Vektori koordinaadid
B(x2;y2)
AB
A(x1;y1)
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1).
Vektori koordinaadid
Leia vektori koordinaadid, kui on antud
vektori alguspunkt ja lõpp-punkt.
a) A(7;6), B(2;1)
AB ( 5; 5 )
b) C(-2;3), D(4;2)
DC ( 6 ;1)
Vektori pikkus
Kui v = (a;b), siis selle vektori pikkus
|v|= a b
2
2
Kui A(x1;y1) ja B(x2;y2), siis
AB = (x2 – x1; y2 – y1)
siis selle vektori pikkus
| AB | =
( x 2 – x 1 ) ( y 2 – y1 )
2
2
Vektorit pikkusega 1 nimetatakse ühikvektoriks.
Vektori pikkus
Leia vektorite pikkus.
a) k ( 6 ;8 )
k
(6) 8
2
2
100 10
b) G(2;7), H(5;3)
(5 2 ) (3 7 )
2
GH
25 5
2
3 (4)
2
2
Vektorite liitmine
Lennuk lendas punktist A 200 km itta ja
jõudis punkti B. Sealt lendas lennuk veel
400 km itta ja jõudis punkti C.
◦ Geomeetriline lahendus
AB
A
BC
B
C
AC on vektorite AB ja BC summavektor.
◦ Algebraline lahendus
AB=(200;0) ja BC=(400;0)
AB+BC=(200;0)+(400;0)=(600;0)=AC
Vektorite liitmine
Mees liikus punktist P 200 m lõunasse
punkti Q ja sealt 500 m põhja suunas ning
jõudis punkti R.
◦ Geomeetriline lahendus
R
PQ
P
R
QR
PR
P
Q
PR on vektorite PQ ja QR summavektor.
◦ Algebraline lahendus
PQ=(0;-200) ja QR=(0;500)
PQ+QR=(0;-200)+(0;500)=(0;300)=PR
Vektorite liitmine
Keha liikus punktist A vektori AB ( 5 ;3 )
võrra ja seejärel vektori BC (1; 4 ) võrra.
◦ Geomeetriline lahendus
C
AC
BC
B
AB
◦ AlgebralineA lahendus
AB=(5;3)
ja BC=(1;4)
AC
on vektorite
AB ja BC summavektor.
AB+BC=(5;3)+(1;4)=(6;7)=AC
Vektorite liitmine
Vektorite summa koordinaadid saame, kui
liidame nende vektorite vastavad koordinaadid
u (a; b ) v (c; d )
w u v (a c; b d )
Vektorite liitmine
Et liita kahte vektorit, selleks paigutame need
vektorid nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib
teise algusega. Summavektor ühendab esimese
vektori algust teise lõpuga.
Kolmnurgareegel
Rööpkülikureegel
D
b
A
a
C
AC
AB a
BC b
B
Nullvektor
Vektorit O ( 0 ; 0 ) nimetatakse
nullvektoriks
◦ Nullvektori pikkus on võrdne nulliga
◦ Nullvektori alguspunkt ja lõpp-punkt ühtivad
◦ Nullvektori siht ja suund ei ole määratud
Vastandvektor
Kui kaks vektorit on teineteise
vastandvektorid, siis on nad ühepikkused
ja samasihilised aga vastassuunalised.
a ( x; y )
a ( x ; y )
a a O
y
7 a ( 4 ;3 )
6
5
4
a ( 4; 3)
3
2
1
1
2
3
4
5
6
x
Vektorite lahutamine
Vektori lahutamine tähendab selle vektori
vastandvektori liitmist
u ( a ; b ) v ( c ; d );
u v u ( v ) ( a ; b ) ( c ; d )
(a c; b d )
Vektorite lahutamine
Vektorite vahe leidmiseks paigutame need
vektorid nii, et nad lähtuksid ühisest
alguspunktist.
b a ab
a
b b
Rakendame kolmnurga reeglit: liidame
vektorid
Vektorite lahutamine
Selleks, et lahutada ühest vektorist teine vektor,
paigutame need vektorid nii, et nad lähtuksid
ühisest alguspunktist.
◦ Vektorite vahe vektor lähtub lahutava vektori lõpppunktist ja suundub vähendatava vektori lõpp-punkti.
Leia vektorite
ja
algebraliselt ja geomeetriliselt.
vahe
Vektori korrutamine arvuga
Uuri vektoreid
ja
. Joonesta,
võrdle sihte, suundasid ja pikkuseid.
• Sama siht ja suund
• Pikkused erinevad kaks korda
Ilmneb, et kui korrutaksime vektori koordinaate
kahega, saaksime vektori koordinaadid, seega
Vektori korrutamine arvuga
saame nullvektori