Transcript ratkaisuja
Koetehtävien ratkaisut 1. A(3,2,1), B(4,4,4), C(0,6,3) ja D(1,1,7) ovat 4pistettä. Vektorit AB, AC ja AD virittävät suuntaissärmiön. Laske a) särmiön tilavuus b) Pisteen D kohtisuora etäisyys tasosta ABC a) Tilavuus V = | ABxAC.AD| = 2 3 1 3 4 2 2 1 6 = 87 b) Pohjasuunnikkaan ala on ABxAC :n pituus ABxAC= j k i 1 2 3 3 4 2 = (-8,-11,10). Pituus =285 Pisteen D etäisyys pohjasta h = V/A = 87/285 = 5.2 2. Tason yhtälö on 4x+2y+7z+2=0 a) Missä pisteissä se leikkaa koordinaattiakseleita? b) Määritä esitys r = a + t s1 + u s2 c) Määritä normaalivektori. Ratk. a) sij. x=y =0 => z = -2/7 piste A =(0,0,-2/7) sij. x=z=0 => y = -1 piste B= (0,-1,0) sij. y=z=0 => x = -1/2 piste C= (-1/2,0,0) ************************************************** b) Piste tasolta a = (0,0,-2/7). Suuntavektorit s1=AB= (0,-1,2/7) ja s2=AC =(-1/2,0,2/7). Yhtälö r=(0,0,-2/7) + t (0,-1,2/7) + u (-1/2,0,2/7) ************************************************************** c) Suuntavektorin saa suoraan tason yhtälön 4x+2y+7z+2=0 muuttujien kertoimista n = (4,2,7) (Toinen mahdollisuus olisi n = s1 x s2 3. Annettu kaksi matriisia A ja B, jotka ovat 3 1 2 6 2 0 2 5 3 ja a) Determinantti |A| = 2*(6*5-2*2)+3*(3*2-6*1)= 52 b) Tulo AB 1 2 3 1 1 3 4 7 2 3 1 2 12 21 10 6 2 0 8 14 12 2 5 3 19 30 3 c) Käänteismatriisi : |B| = 4 , kaava 23 17 9 1 14 10 6 4 3 1 1 AdjB/|B| 1 2 3 1 1 3 4 7 2 4. |a| = 5, |b| = 8 ja a.b = 5. Laske a) |2a+b| ja |2ax3b| a) |2a+b|2 = (2a+b).(2a+b) = 4a.a + 4a.b + b.b = 4*52+4*5+82 = 100 + 20 + 64 = 184 => |2a + b| = 184 b) (2a)x(3b) = 6 axb. Pituus |(2a)x(3b)| = 6 |axb| = 6*|a| |b| sin , missä on vektorien a ja b välinen kulma. Kulma saadaan kaavasta a.b = |a| |b| cos eli 5 = 5*8*cos = 82.8 astetta |(2a)x(3b)| = 6*|a| |b| sin = 6*5*8*sin(82.8o) = 238.1 5. Taso kulkee pisteiden A(1,1,1), B(4,4,1) ja C(2,5,4) kautta. Määritettävä pisteen P(-1,2,3) peilikuvapiste P’ tason toisella puolen. P C x A B P’ Vektorin P’ koordinaatit saadaan, kun P:n koordinaateista vähennetään vektori 2x (kuvassa punaisena). Vektori x = vektorin AP vektoriprojektio tason normaalin suunnassa. AP= (-2, 1,2) , normaali n = ABxAC =(3,3,0)x(1,4,3)=(9,-9,9). x =AP.n /|n|2 * n = -1/3(1,-1,1) Peilikuvapiste P’ = (-1,2,3) – 2*n = (-1/3 , 4/3, 11/3)