Transcript 3. geometria

TRIGONOMETRISET
FUNKTIOT
c
b

a
b
sin  
c
cos  
a
c
tan  
b
a
c
b

b
sin  
c
a
cos  
c
b
tan  
a
a
Esimerkki
Laske sivun x pituus.
tan 68 
x
68
x
34
 34
x  34 tan 68
34 m
x  84 m
V: 84 m
b
sin  
c
c
b

a
cos  
c
b
tan  
a
a
Suorakulmaisen kolmion toisen terävän kulman suuruus on 28 ja
lyhyemmän kateetin pituus on 7,3 cm. Laske hypotenuusan pituus.
7,3 cm
x
28
sin 28  
7,3
x
x
x  sin 28  7,3
x
:sin 28
7,3
 15,5

sin 28
V: 16 cm
c
b

b
sin  
c
a
cos  
c
a
Laske kulman  suuruus.
tan  
16 m
16
12

12 m
  53
b
tan  
a
PYTHAGORAAN LAUSE
c
a2 + b2 = c2
a
b
KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA
=
HYPOTENUUSAN NELIÖ
Laske hypotenuusan x pituus.
32 + 42 = x2
x
3
9 + 16 = x2
(25 = x2)
x2 = 25
4
KATEETTIEN NELIÖIDEN SUMMA
=
HYPOTENUUSAN NELIÖ
x= 5
Laske kateetin x pituus.
x2 + 42 = 62
6
x
x2 + 16 = 36
x2 = 36 - 16
x2 = 20
4
x  20
x2 5
Pythagoras – onko kolmio suorakulmainen
Esimerkki
Kolmion sivut ovat 2, 3 ja 4. Onko kolmio suorakulmainen?
Mahdollinen hypotenuusa:
4
Mahdolliset kateetit:
2 ja 3
2 2 + 32 = 42
13 = 16
epätosi
V: Kolmio ei ole suorakulmainen
Kolmiot
tasasivuinen kolmio
teräväkulmainen kolmio
suorakulmainen kolmio
tylppäkulmainen kolmio
tasakylkinen kolmio
Muista:
Tasakylkisessä (kaksi sivua yhtä pitkiä) kolmiossa huipusta
piirretty korkeusjana puolittaa kannan ja huippukulman
 
Termit
korkeusjana
keskijana
(leikkaavat
samassa pisteessä)
Sinilause
Voidaan käyttää, kun kolmiosta tunnetaan
a
b
c


sin  sin  sin 
- 2 sivua ja toisen vastainen kulma
- 2 kulmaa ja yksi sivu


Esimerkki
Kolmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 3,8 cm ja 5,7 cm sekä näistä
pienemmän sivun vastainen kulma 32 º . Laske kolmion muut kulmat.
3,8
5,7

sin 32 sin 
3,8
Kulmat: 52,6 º ja 95,4 º
tai
3,8  sin = 5,7  sin32º | : 3,8
32
5,7
127,4 º ja 20,6 º
sin = 0,795
  52,6 º tai 180 º - 52,6 º = 127,4 º
46º
6,0 m
A = ½ ab sin
6,0m
A = ½  6,0  6,0  sin 46º  13 (m2)
Kosinilause
- kaikki sivut
- yksi kulma ja 2 sivua

a2 = b2 + c2 - 2bccos

Esimerkki
Kolmion kulman suuruus on 63 º ja viereisten sivujen pituudet ovat 5,0
cm ja 8,0 cm. Laske kolmannen sivun pituus.
b= 5,0 cm
c = 8,0 cm
 = 63 º
a2 = 5,02 + 8,02 – 2  5,0  8,0  cos63º
a2 = 52,68
a = 7,3 cm
a=?
21,0 km
5,0 km
Laske puolisuunnikkaan pinta-ala.
ab
A
h
2
14,0 km
Tasakylkinen suunnikas =>
erisuuntaiset kyljet ovat yhtä pitkät
14,0  21,0

 5,0
2
 88 km2
Esimerkki
Mikä on sivun pituus?
x   25
x  5
x2 = 25
V: 5 cm
Neliön pinta-ala on 25 cm2
A = x2
x
Esimerkki
Suunnikkaan pinta-ala on 35 cm2
Kanta on 7 cm. Laske korkeus.
Korkeus = h
7h = 35 |:7
h=5
V: 5 cm
h
A = ah
a
Esimerkki
Ympyrän halkaisija on 7,2 cm.
Laske a) pinta-ala
b) kehän pituus
r = d / 2 = 7,2 cm / 2 = 3,6 cm
b)
A  r 2
p = d
   3,62
 41 (cm2)
=  7,2 cm
 23 cm
Esimerkki
Ympyrän pinta-ala on 32 cm2. Laske säde.
r 2  32 : 
r 
2
32

r
r  3,2
32

r = 1,3 m
r
b

=74°
Laske sektorin
a) sektorin ala
b) kaaren pituus
74
A
  1,3 2  1,1(m 2 )
360
74
b
2  1,3  1,7(m)
360
Segmentin pinta-ala
b
r

=
Sektorin pinta-ala
keskuskolmion pinta-ala
-
=
Suorakulmainen särmiö
c
x
V = abc
b
a
tai kaava (taulukkokirja)
avaruuslävistäjä
d  a b c
2
c
2
2
E.1. Suorakulmaisen särmiön särmät ovat 3, 4 ja 12. Laske avaruuslävistäjän pituus.
d  32  42 122  13
E.5. Suoran ympyrälieriön leveys ja korkeus ovat 20 cm. Mikä on vaipan ala?
AV  ph  dh    20cm 20cm  1256,64cm2  13dm2
E.4. Suoran ympyräkartion pohjaympyrän säde on 5 ja sivujana 13. Laske kartion tilavuus.
h2 = 132 – 52
h2 = 144
h   144
h  12
1
V    52 12  100
3
Laske säännöllisen pyramidin pinta-ala
Pyramidin vaippa koostuu neljästä samankokoisesta kolmiosta
13 m
x2 + 52 = 132
x2 = 132 - 52
x2 = 144
10 m
x = 12
13 m
x
10 m
Av =
10m  12m
4
 240m 2
2
E.7. Mikä on suoran ympyräkartion vaipan ala, kun pohjan säde on 3 ja korkeus 4?
s2 = 42 + 32
s2 = 25
s = ±5
A = rs
=  ·3 · 5
= 15
E.8. Miten suuri säde on pallolla, jonka pinta-ala on 1 m2?
A  4r
2
4r  1
2
1
r 
4
1
r
4
2
 0,28(m)
V: 28 cm


 +  = 180 º
(vieruskulmat)
ristikulmat yhtä suuret
s
r
s || r
samankohtaisia kulmia
TASOKUVIOIDEN YHTENEVYYS
Monikulmiot ovat yhtenevät, jos niiden vastinsivut javastinkulmat ovat yhtä
suuret.
(”kuviot samanmuotoiset ja samankokoiset”)
(”kuviot päällekkäin asetettuna peittävät toisensa”)
Kuvioiden yhtenevyyttä merkitään symbolilla
A
E.1.
A’
D
D’
K1
B
AB = A’B’
BC = B’C’
K1  K2
K2
C

C’
B’
Kolmioiden yhtenevyyslauseet
sss
sks
ksk
kks
ssk
kulmat samanlaatuisia
Yhtenevien kuvioiden
vastinosat ovat yhtä suuret
Todistaminen
Lause
Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat yhtä suuret
Oletus
Kolmio ABC on tasakylkinen
Väitös
Kantakulmat <BAC ja <ABC ovat yhtä suuret
Todistus
Piirretään kannalle AB keskijana CD, jolloin AD = BD
(tasakylkinen kolmio)
S
C
AC = BC (tasakylkinen kolmio)
DC = DC (yhteinen)
ACD  BCD
(sss)
Kantakulmat ovat yhtenevien
kolmioiden vastinkulmina
yhtä suuret
A
D
B
Yhdenmuotoisuus
Vastinkulmat yhtä suuret ja vastinsivut verrannolliset
Esimerkki
Kuvasta tehtiin pienennös. Mikä on kuvion korkeus pienennöksessä?
x
8,2 cm
17,3 8,2

12,8 x
17,3x = 104,94 | : 17,3
12,8 cm
17,3 cm
x  6,1
V: 6,1 cm
Esimerkkejä mittakaavasta
a) Kartalla 8,7 cm, mittakaava 1 : 50 000. Mikä todellisuudessa?
8,7
1

x 50000
x = 8,7  50 000
x = 435 000 (cm)  4,4 km
b) Etäisyys 111 km. Mittakaava 1 : 200 000. Mitta kartalla?
x
1

111 200000
200000x = 111 | : 200 000
x  0,000555 (km) = 55,5 cm
c) Kartalla 7,4 cm – todellisuudessa 3,7 km. Mittakaava?
7,4 cm : 3,7 km
7,4 cm : 370000 cm | : 7,4 cm
1 : 50 000
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde on
mittakaavan neliö
Esimerkki
Kartan mittakaava on 1 : 50 000.
Järven pinta-ala kartalla 5,7 cm2.
Mikä on järven pinta-ala?
5,7
1 2
(
)
A
50000
A = 50 0002  5,7
A = 1,4*1010 cm2
A = 1,4 km2
Yhdenmuotoisten kuvioiden kappaleiden tilavuuksien suhde
on mittakaavan kuutio
Esimerkki
Avaruusaluksen pienoismallin (1 : 100) tilavuus 3,0 cm3.
Mikä on avaruusaluksen tilavuus?
3,0
1 3
(
)
V
100
A = 1003  5,7
A = 3,0  106 dm3
A = 3000 m3
Kolmioiden yhdenmuotoisuus
Lause kk
Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret kuin toisen kolmion kaksi
kulmaa, niin kolmiot ovat yhdenmuotoiset.
C’
C
 ABC   A’B’C’
A’
A
B
Muut
sks
ssk
ssk
(sivut verrannollisia)
sss
B’
Esimerkki
Kolmiot ovat yhdenmuotoisia
(kk),
A
koska
joki
< ABC = < ADE (90º)
C
< BAC = < DAE (sama kulma)
x
40

x  30 67
x
B
30 m
D
40 m
67 m
E
67x = 40(x + 30)
67x = 40x + 120
27x = 120
x  44 (m)
| : 27
Lause
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen
suhteessa.
Esimerkki
Kolmion sivujen pituudet ovat 3, 5, ja 6. Laske niiden osien pituudet,
joihin suurimman kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun.
x
3

6 x 5
5
3
5x = 18 - 3x
6-x
x
6
x = 2,25
6 - 2,25 = 3,75
NELIKULMIOT
Suunnikas
= nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset
Lause
Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret
Oletus
D
C
ABCD suunnikas, jolloin
AD || BC ja AB || DC (määritelmä)
A
Todistus:
Väitös
B
G
vastakkaiset kulmat ovat yhtä
suuret
Sivun AB jatke puolisuora AG
< BAD = < GBC
samankohtaisina kulmina
< GBC = < BCD
samankohtaisina kulmina
< BAD = < BCD
Vastaavasti kulmat ADC ja CBA ovat yhtä suuret
Lause
Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät
Lause
Jos nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, niin nelikulmio on
suunnikas
Lause
Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa
Suunnikkaiden vierekkäiset kulmat ovat suplementtikulmia
Nelikulmioiden sisäkulmien summa on 360º
Esimerkki
Suunnikkaan yksi kulma on 70 º.
Miten suuria ovat muut kulmat?
Vastakkainen kulma: 70 º
Kahdelle muulle kulmalle:
360 º - 2 70 º = 220 º’
220 º / 2 = 110 º
V: Kulmat: 70 º, 70 º, 110 º, 110 º
4.3.3. Kolmion kulman puolittajalause
Lause:
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa.
E.1.
Kolmion sivut ovat 4, 6, 7
Millaisiin osiin suurimman kulman puolittaja jakaa pisimmän sivun?
4
6
7-x
x
7
x
6

7x 4
4x = 6(7 – x)
4x = 42 – 6x
10x =42
x
42 21
1

4
10 5
5
1
4
7x 74  2
5
5
Kehäkulma ja sitä vastaava keskuskulma
 = kehäkulma
 = kehäkulmaa vastaava

keskuskulma
Kehäkulmaa vastaava kaari

Kehäkulma on puolet
vastaavasta keskuskulmasta:
 = ½
Kehäkulma
= kulma, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kylkinä kaksi jännettä
tai toisena kylkenä on jänne ja toisena ympyrän tangentti
Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret

 = 

Puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora
 = 90º

Tangenttikulman kyljet mitattuina kärjestä sivuamispisteisiin ovat
yhtä suuret
A

P
B
PA = PB
Tangenttikulma ja sitä vastaava keskuskulma ovat toistensa
suplementtikulmia
A


P
B
 +  = 180º
E.1.
Ympyrän kehäkulma on 27º. Mikä on vastaavan keskuskulman suuruus?
2  27º = 54º
E.2.
Ympyrän säde on 13. Halkaisijan AB päätepisteestä A on piirretty 10
pituinen jänne AP. Laske PB.
Halkaisija = 2 13 = 26
PB 2  26 2  10 2
PB 2  26 2  10 2
PB = 24
Maapallo näkyy miehitetystä avaruusaluksesta 52º kulmassa.
Mikä on avaruusaluksen etäisyys Maasta? Maapallon säde on 6370 km.
6370
52º
6370
sin 26 
x

Aluksen etäisyys Maasta:
14530 km - 6370 km = 8200 km
x = 14530
Muita käyttökelpoisia lauseita
Lause
Suorakulmaisen kolmio hypotenuusalle piirretty korkeusjana jakaa
kolmion kahdeksi kolmioksi, jotka ovat yhdenmuotoisia sekä
alkuperäisen kolmion kanssa että keskenään
Lause
Janan keskinormaali on suora, joka kulkee janan keskipisteen kautta ja
on kohtisuorassa janaa vasten
Kulman puolittaja on kulman kärjestä alkava puolisuora, joka jakaa
kulman kahdeksi yhtä suureksi kulmaksi
Lause
Kolmien kulmien summa on 180º
Lause
Kolmiossa suuremman kulman vastainen sivu on pidempi kuin
pienemmän kulman vastainen sivu
Lause
Kolmion kahden sivun keskipisteiden yhdysjana on kolmannen sivun
suuntainen ja puolet siitä
Lause
Kolmion keskinormaalit leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka on
kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste.
Lause
Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat toisensa samassa pisteessä, joka
on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste.