Transcript 4. analyyttinen geometria

1.1. Itseisarvo
* luvun etäisyys nollasta
E.2. Poista itseisarvot
 x , kun x  0
x 
- x , kun x  0
E.3. a)
x 2 = x2
lausekkeesta
x 1
x–1≥0
b)
3x 2  1 = 3x2 + 1
x≥1
 x  1, x  1
x 1  
- x  1 x  1
koska
3x2 + 1 ≥ 0 + 1 > 0
1.1.3. Itseisarvofunktio
E.7. Piirrä funktion
x
y  x 1
-3
 3 1  2
-2
 2 1  1
-1
1  1  0
0
0 1  1
1
11  2
y  x 1
kuvaaja
abs
1.2. Itseisarvoyhtälöt
1)
E.2.
x 1  3
x +1 = 3
tai
x+1 = -3
x = 3 -1
tai
x = -3 - 1
x=2
tai
x = -4
2)
x  1  2x

x - 1 = 2x
x0
tai
x - 1 = -2x
 x - 2x = 1
tai
x +2x = 1

-x = 1
tai
3x = 1

x = -1
tai
Vastaus: x = 1/3
x =1/3
4)
x  6  2x
E.4.
(x - 6)2 = (2x)2
x  6  2x
x2 – 12x + 36 = 4x2
x - 6 = 2x
tai
x - 2x = 6
tai
-x = 6
tai
x = -6
x - 6 = -2x
x +2x = 6
tai
Vastaus: x1 = -6, x2 = 2
3x2 + 12x - 36 = 0
x2 + 4x – 12 = 0
3x = 6 | : 3
x=2
 4  42  4 1 (12)
x
2
48
x
2
Vastaus: x1 = -2, x2 = -6
E.1.
E.2.
| 3x + 12 | < 3
-3 < 3x + 12 < 3
-15 < 3x < -9
-5 < x < -3
| 3x -7 | > 2
3x - 7 > 2
tai
3x - 7 < -2
3x > 9
tai
3x < 5
x>3
tai
x < 5/3
2.
E.3.(46a)
E.4.(46b)
3.
E.5.
Nollakohdat:
10  (10) 2  4  8  3
x
28
10  2

16
x1 
3
4
x2 
1
2
Pisteen P(x,y) etäisyys x- tai y-akselista xy-koodinaatistossa
Etäisyys x-akselista = | y | .
Etäisyys y-akselista = | x |
E.1. Mikä on pisteen (4,-5) etäisyys
a) x-akselista b) y-akselista c) origosta?
a) |-5| = 5
b) |4| = 4
|-5| = 5
c)
d 2  4 2  52
d 2  41
d  41
|4| = 4
Janan pituus yleisesti
P1P2 =
( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2
P1= (x1,y1)
P2= (x2,y2)
E.2. Mikä on pisteiden a) (2,3) ja (5,-1) etäisyys
d  (5  2) 2  (1  3) 2
 32  (4) 2  25
=5
Janan keskipiste
Pisteiden (x1,y1) ja (x2, y2) välisen janan keskipiste on
(
x1  x2 y1  y2
,
)
2
2
E.3. Laske janan keskipisteet, kun päätepistee ovat (4,0) ja (-2,-8)
(
4 2 08
,
)
2
2
= (1, -4)
Tutkiminen, onko piste jollakin yhtälön avulla määritellyllä käyrällä
E.4. Onko piste (3½,4) suoralla y = 2x - 3?
4 = 2  3½ - 3
4=4
tosi
V: Piste on suoralla
E.5. Mikä on a, kun piste (2,3) on käyrällä 3x - ay + 6 = 0?
3  2 – 3a + 6 = 0
6 – 3a + 6 = 0
-3a = -12
a=4
2.2 Suora y = kx + b
2.2.1 Suoran piirtäminen
y = 2x + 4
E.1.
Piirrä suora y = 2x + 4
TAPA I
x
y
-1
2  (-1) + 4 = 2
0
4
1
6
.
TAPA II
Koordinaattiakselien leikkauspisteet:
y-akseli, x = 0: y = 2  0 + 4 = 4
x-akseli, y = 0: 0 = 2x + 4
 2x = - 4  x = -2
KULMAKERROIN
y
y2  y1
k 

x
x2  x1
x1 ≠ x2
E.3. Määritä pisteiden (1,2) ja (3,8) kautta kulkevan suoran kulmakerroin
82
k
3
3 1
28
k
3
1 3
2.2.3 Suoran suuntakulma
y2  y1
t an 
k
x2  x1
E.4. Mikä on suoran kulmakerroin , kun suuntakulma on
a) 45° b) - 30 °
a) k = tan 45° = 1
b) k = tan -30° = -tan30°=
E.5. Mikä on suoran suuntakulma, kun kulmakerroin on 2
tan  = 2
  63,4
E.6. Mikä on suoran y = 4x + 5 suuntakulma?
k=4
tan  = 4
  76,0
y - y0 = k(x - x0)
missä
(x0, y0) suoralla oleva piste ja
k suoran kulmakerroin
Jos suoralla ei ole kulmakerrointa, niin suora on y-akselin suuntainen ja sen
yhtälö on
x = x0
E.1.
Kulmakerroin on 4
suoralla on piste (2, -3).
E.2. Mikä on pisteiden (2,-3) ja (5,1)
kulkevan suoran yhtälö?
k 
y2  y1
1  (3)
4


x2  x1
52
3
Mikä on suoran yhtälö?
y - (-3) = 4(x - 2)
y – y0 = k(x – x0)
y + 3 = 4x - 8
4
 y 1 
( x  5)
3
y = 4x - 8 -3
 y 1 
y = 4x - 11
4
20
x
3
3
3 y  3  4 x  20
 4 x  3 y  17  0
E.1. Missä pisteessä -3x + 4y = 12 leikkaa koordinaattiakselit?
Suoran ja x-akselin
leikkauspiste:
Suoran ja y-akselin
leikkauspiste:
y=0:
x=0:
-3x + 4  0 = 12
-3  0 + 4  y = 12
-3x = 12 |:(-3)
4y = 12
x = -4
y=3
V: (-4,0)
V: (0,3)
|:4
Kirjan E.2. – s. 53
Määritä sen suoran yhtälö, joka on suoran 2x – 3y + 5 = 0
suuntainen ja kulkee pisteen (-2, 3) kautta.
2x – 3y + 5 = 0
 3 y  2 x  5
2
5
y  x
3
3
2
y 3 
( x  ( 2))
3
2
4
y 3 
x
3
3
3 y  9  2x  4
2 x  3 y  13  0
TAI
2x – 3y + c = 0
sijoitus
-4 – 9 + c = 0
c = 13
2x – 3y + 13 = 0
E.1. Määritä suoran y = 3x + 4 suuntaisten suorien parvi.
y = 3x + c
E.3. Muodosta pisteen (2,3) kautta kulkevien suorien parvi.
y – 3 = k(x – 2)
tai x = 2
y = kx – 2k + 3
tai x = 2
E.4. Määritä suoran yhtälö, kun se on suoran 2x+ 3y + 4= 0
suuntainen ja se kulkee pisteen (7,-8) kautta
2x + 3y + c = 0
2  7 + 3  (-8) + c = 0
c = 10
V: 2x + 3y + 10 = 0
E.1. Mikä on pisteen
a) (1,2) etäisyys suorasta y = 4?
b) (5,6) etäisyys suorasta x = -3?
a) d = | 2 - 4 | = 2
b) d = | 5 – (-3) | = 8
Etäisyyden laskeminen yleisesti jostakin suorasta
Suoran yhtälö on oltava yleisessä muodossa
ax + by + c = 0 ja olkoon piste (x0,y0)
(a ≠ 0 tai b ≠ 0)
d
ax0  by0  c
a2  b2
E.2. Laske pisteen (1,2) etäisyys suorasta 3x - 4y = 5
3x – 4y = 5
3x – 4y – 5 = 0
d
3 1  4  2  5
3 2  ( 4) 2

385
25

10
2
5
*************
E.1.
Tutki suorien y = 3x - 4 ,
6x + 2y = 3 ja
6x - 2y + 3 = 0 yhdensuuntaisuutta
E.2.
Mikä on pisteen (1,2) kautta
kulkevan, suoran y = 3x + 4
suuntaisen suoran yhtälö?
y = 3x – 4
k1 = 3
6x + 2y = 3
2y = -6x + 3
y = -3x + 3/2
k2 = .3
6x - 2y + 3 = 0
-2y = -6x – 3
y = 3x + 3/2
k3 = 3
V: Suorat y = 3x – 4 ja 6x + 2y = 3 ovat
yhdensuuntaisia
k=3
y – y0 = k(x – x0)
y – 2 = 3(x – 1)
y – 2 = 3x – 3
y = 3x - 1
TAI
Mikä on pisteen (1,2) kautta kulkevan, suoran y = 3x + 4 suuntaisen suoran
yhtälö?
3x – y + 4 = 0
k 
a
3

3
b
1
Kuten edellä…
TAI
3x – y + c = 0
31–2+c=0
c = -1
3x – y – 1 = 0
3.1.2. Suorien kohtisuoruus
E.1. Mikä on normaalin kulmakerroin, kun suoran kulmakerroin on
a) k = 3 b) -4
1
kN  
3
1
1
kN  

4 4
E.2. Tutki suorien L1:y = 2x + 3 , L2:y = ½x - 1 ja L3:y = -½x + 2
kohtisuoruutta.
k1 = 2
k2 = ½
k3 = -½
L1  L3, koska
k1  k3 = 2  (-½)= -1
E.3. Laske pisteen (1,2) kautta kulkevan suoran
y = 2x + 3 normaalin yhtälö.
k=2
1
kN  
2
y - 2 = -½(x - 1)
y – 2 = -½x + ½
y = -½x + 2½
3.1.3 SUORIEN VÄLINEN KULMA
Olkoon
y = k 1x + b1
y = k 2x + b2
 = suorien välinen kulma
Kun  < 90, niin
tan  
k 2  k1
1  k1 k 2
E.x. (t. 198)
Laske suorien
a) 2x – 8y + 1 = 0 ja 2x + y – 2 = 0
3.2.1 Suorien leikkauspiste
E.1. (t. 220)
Laske suorien x + y + 2 =0, y = 2x + 1 ja x – 2 = 0 rajoittaman kolmion ala.
x  y  2  0

y  2x  1
x  y  2  0

x  2
y  2x  1

x  2
A=
x + 2x + 1 + 2 = 0
3x = -3
x = -1
y = 2  (-1) + 1 = -1
2+y+2=0
y = -4
leikkauspiste B = (2, -4)
y = 2 2 + 1
y=5
leikkauspiste C = (2, 5)
Kirjan E.3., s. 78
1) x + y = 1
E.1. Missä sijaitsevat ne tason pisteet, joiden
koordinaatit toteuttavat epäyhtälön x + y  1
2)
y = -x + 1
3) Valitaan piste suoran
yläpuolelta: (1,2)
Sijoitetaan piste yhtälöön:
1 + 2 = 3 ≥ 1, tosi
4) Valitaan piste suoran
alapuolelta (0,0)
Sijoitetaan piste yhtälöön:
0 + 0 = 0 ≥ 1, epätosi
5) Vastaus: Epäyhtälö
toteutuu suoralla x + y = 1 ja
sen yläpuolella
E.2.
Piirrä epäyhtälöiden x2, y  1, x+y  6 ja x +2y  8 rajaama alue
x2
y1
x+y  6
x+y = 6
y = -x + 6
Piste yläpuolelta:
(5,5)
5 + 5 = 10 > 6
tosi
Piste alapuolelta:
(0,0)
0+0=0>6
epätosi
x +2y  8
2y = -x + 8
y = -0,5x + 4
Piste yläpuolelta:
(4,5)
4 + 2*5 = 14 > 8
tosi
Piste alapuolelta:
(0,0)
0+0=0>8
epätosi
Yhdistetään tulokset
x2,
y  1,
x+y  6
x +2y  8
E.1. Ratkaise yhtälöpari
4 x  2 y  10

x  4 y  7
| 2
y sijoittamalla
| 1
3 + 4y = 7
8x - 4y  20

 x  4y  7
9x
= 27
4y = 7 – 3
4y = 4
y=1
x=3
V:
x = 3, y = 1
Tarkistus:
4  3 – 2  1 = 10
./.
3+41=7
./.
4a  b  c  17

2a  3b  c  13
  2 a  b  c  5

|1
4a  b  c  17

| (-1)
 2a  b  c  5
Ratkaise:
E.2.
4a  b  c  17

2a  3b  c  13
|1
|(-1)
 b  c  17
4a

 2a  3b  c  13
2a - 4b
4a  b  c  17

2a  b  c  5
6a -2b
= -4
2a  4b  4
 (-3)

6a  2b  - 12
- 6a  12b  12

6a  2b  - 12
10b = 0 |:10
= -12
Sijoittamalla
2a - 4  0 = -4
2a = -4
a= -2
t
a
r
k
i
s
t
u
s
b=0
c: 4 (-2) - 0 + c = -17 => c = -9
V: a = -2, b = 0 ja c = -9
Kirjan esimerkki 2, sivu 96
3.4.3 Yhtälöitä vähemmän kuin tuntemattomia
E.1. (t. 260)
Ratkaise yhtälöryhmät
a)
x  2 y  z  3  0

2 y  z  x  3  0
(-1)
x  2 y  z  3  0

x  2 y  z  3  0
V: kaikki (x, y, z), joille x – 2y + z – 3 = 0
b)
2 x  3 y  5z  4  0

3x  y  2 z  5  0
2 x  3 y  5z  4

3x  y  2 z  5
3
2 x  3 y  5 z  4

9 x  3 y  6 z  15
11x
x
Sijoitus:
3(-z + 1) + y + 2z = 5
-3z + 3 + y + 2z = 5
y=z+2
x = 1 – z, y = z +2, z  R
V: x = 1 – t, y = 2 + t, z = t, t  R
= -11z + 11
= -z + 1
| :11
c)
x  2 y  z  4  0

z  2 y  x  5  0
x  2 y  z  4  0

x  2 y  z  5  0
x  2 y  z  4

x  2 y  z  5
V: Ei ratkaisua
(-1)
3.4.3 Yhtälöitä enemmän kuin tuntemattomia
E.1. (t. 264)
Ratkaise yhtälöryhmä
Valitaan osaryhmä
5 x  3 y  4 z  6  0
2 x  y  z  7  0


3x  y  2 z  4  0
4 x  y  3z  1  0
2 x  y  z  7  0

3 x  y  2 z  4  0
4 x  y  3 z  1  0

2 x  y  z  7  0

3x  y  2 z  4  0
3x  y  2 z  4  0

4 x  y  3z  1  0
5x
z:
-z+3=0
7x
- 5z - 3 = 0
5  (-1) – z = -3
z = -2
y:
3  (-1) + y – 2  (-2) – 4 = 0
y=3
5 x  z  3

7 x  5 z  3
(-5)
 25x  5z  15

 7x  5z  3
-18x = 18
x = -1
Tutkittava toteuttaako, osaryhmän ratkaisu 4. yhtälön 5x – 3y – 4z + 6 = 0
Sijoitus:
5  (-1) – 3  3 – 4  (-2) + 6 = 0
0=0
tosi
V: Yhtälöryhmän ratkaisu x = -1, y = 3, z = -2
*************
4.1 YMPYRÄ
Yhtälö keskipistemuodossa
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2 ,
missä keskipiste on (x0,y0)
ja säde on r.
P0(x0,y0)
E.1. Mikä on ympyrän yhtälö, kun K = (2,3) ja r = 4 ?
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 42
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16
E.2. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 3)2 = 4 keskipiste ja säde?
(1, 3)
r=2
Yhtälön muodostamisia eri tilanteissa
* Lasketaan annetuista tiedoista keskipiste ja säde.
E.3. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (2,3) ja joka kulkee
pisteen (5,-1) kautta?
r  (5  2) 2  (1  3) 2
 25  5
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 52
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
E.4. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (3,-4) ja joka sivuaa
y-akselia?
r=3
(x – 3)2 + (y – (-4))2 = 32
(x – 3)2 + (y + 4)2 = 9
E.5. Mikä on sen ympyrän yhtälö, jonka halkaisijan päätepisteet ovat
´
(1,2) ja (-3,4)?
d  (3  1) 2  (4  2) 2
 20  2 5
2 5
r
 5
2
1  ( 3)
 1
2
24
y0 
3
2
x0 
( x  (1))2  ( y  3)2  ( 5)2
( x  1)2  ( y  3)2  5
4.1.2 Ympyrän yhtälö polynomimuodossa
x2 + y2 + ax + by + c = 0
E.6. Esitä ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 3 yleisessä muodossa.
x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 = 3
x2 + y2 – 2x – 4y + 2 = 0
E.7. Mikä on ympyrän x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 keskipiste ja säde?
x2 – 2x + y2 + 4y = 4
x2 – 2x + 1+ y2 +4y + 4 = 4 + 1 + 4
(x – 1)2 + (y + 2)2 = 9
V: K = (1,-2) , r = 3
Yleisen yhtälön x2 + y2 + ax + by + b = 0 kuvaajat
E.8. Mikä on yhtälön a) x2 + y2 - 4x + 8y + 20 = 0
b) x2 + y2 - 10x + 12y + 62 = 0 kuvaaja?
a) x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = - 20 + 4 + 16
(x – 2)2 + (y + 4)2 = 0
Kuvaaja piste (2, -4)
b) x2 – 10x + 25 + y2 + 12y + 36 = -62 + 25 + 36
(x – 5)2 +(y + 6)2 = -1
Ei kuvaajaa
E.9. Millä a:n arvoilla yhtälön x2 + y2 + 2x - 4y + a = 0 kuvaaja on ympyrä?
x2 +2x + 1 + y2 – 4y + 4 = -a + 1 + 4
(x + 1)2 + (y – 2)2 = - a + 5
Ympyrä, jos
-a+5>0
a<5
Suoran ja ympyrän leikkauspisteen laskeminen
Ratkaistaan suoran ja ympyrän yhtälöiden muodostama yhtälöpari.
E.10. Laske suoran x - y = 4 ja ympyrän x2 + y2 = 16 leikkauspisteet.
x  y  4
 2
2
x

y
 16

y  x  4
 2
2
x

y
 16

x2 + (x – 4)2 = 16
x2 + x2 – 8x + 16 = 16
2x2 – 8x = 0
2x(x – 4) = 0
x = 0 tai
x–4= 0
x=4
y sijoittamalla:
y = 0 – 4 = -4
V: (0, -4) ja (4, 0)
y=4–4=0
E.11. Laske ympyröiden x2 + y2 = 5 ja x2 + y2 - 2x - 6y + 5 = 0 leikkauspisteet.
2
2

x  y  5
 2
2

x

y
 2x  6 y  5  0

 (-1)
2
2

x  y  5
 2
2

 x  y  2 x  6 y  5  0
2x + 6y – 5 = 5
2 x  6 y  10
 2
2
x  y  5
(3 y  5)2  y 2  5
y2  3y  2  0
 x  3 y  5
 2
2
x  y  5
9 y 2  30y  25  y 2  5
2x + 6y
= 10
10y 2  30y  20  0
Ratkaisukaavalla: y1 = 1 y2 = 2
x1 = -3  1 + 5 = 2
x2 = -3  2 + 5 = -1
V: (2,1) , (-1,2)
4.1.3 Ympyrän sekantti ja tangentti
Sekantti = suora, jolla on ympyrän kanssa kaksi yhteistä pistettä
Tangentti = suora, jolla yksi yhteinen piste ympyrän kanssa
* tangentti on kohtisuorassa sivuamispisteen kautta kulkevaa sädettä
vastaan
* keskipiste on säteen etäisyydellä tangentista
E.12. Mikä on ympyrän (x - 1)2 + (y - 2)2 = 10 pisteeseen
(4,3) piirretyn tangentin yhtälö?
Piste (4, 3) on ympyrällä, sillä
(4 – 1)2 + (3 – 2)2 = 10
(x0, y0) = (1, 2)
Ympyrän keskipisteen (1, 2) ja pisteen (4, 3) määräämän suoran kulmakerroin:
k
3 2 1

4 1 3
tangentin yhtälö:
y - 3 = -3(x – 4)
3x + y – 15 = 0
kT  3
E.13. Mikä on ympyrän x2 + y2 = 5 sen tangentin yhtälö, joka on suoran y = 2x
suuntainen?
K = (0, 0)
r 5
tangentin yhtälö
y = 2x + c
2x – y + c = 0
2  0  1 0  c
2  ( 1)
2
c  5
2
 5

c
5
 5
V: y = 2x  c
c 5 5
 c 5
E.14.
Laske pisteen (0,-5) kautta kulkevien ympyrän x2 + y2 = 5 tangenttien yhtälöt
02 + (-5)2 = 25 > 5, joten piste suoran ulkopuolella
tangentti kulkee pisteen (0, -5) kautta, joten sen yhtälö on
y + 5 = k(x – 0)
kx – y – 5 = 0
x0, y0 = (0, 0) ja säde r  5
Keskipiste säteen etäisyydellä tangentista:
k  0  1 0  5
k  ( 1)
2
2
 5

5
k 1
2
 5
5  5 k 1
 5  5k  5
5k 2  20
 k 2  4  k  2
2
2x – y – 5 = 0
2
 25  5k 2  5
-2x – y – 5 = 0  2x + y + 5 = 0
Huippumuotoinen yhtälö, kun paraabelin akseli y-akselin
suuntainen
Yhtälön y - y0 = a(x - x0)2 kuvaaja on paraabeli, jonka
huippu on pisteessä (x0,y0) ja
joka on yhtenevä paraabelin y = ax2 kanssa
akseli on y-akselin suuntainen, x = x0
E.1. Esitä huippumuodossa yhtälö paraabelille a) y = x2 + 3 b) y = x2 + 2x
a) y – 3 = x2
y – 3 = (x – 0)2
b) y = x2 + 2x
y + 1 = x2+ 2x + 1
y + 1 = (x + 1)2
Huipun laskeminen
Sievennä yhtälö huippumuotoon ja katso siitä huippu.
E.2. Laske paraabelin y = x2 - 4x + 5 huippu
y – 5 = x2 – 4x
y – 5 + 4 = x2 – 4x + 4
y – 1 = (x – 2)2
Huippu pisteessä (2, 1)
Jos paraabeli leikkaa x-akselin, niin huippu voidaan laskea myös paraabelin ja
x-akselin leikkauspisteiden avulla:
x0 on leikkauspisteiden keskiarvo
y0 saadaan sijoittamalla paraabelin yhtälöön
Suoran ja paraabelin leikkauspisteen laskeminen
E.3. Laske paraabelin y = x2 - 2x - 3 ja suoran y = x - 5 leikkauspisteet.
y  x  5

2
 y  x  2x  3
x  5  x  2x  3
y sijoittamalla:
2
x 2  3x  2  0
3  (3) 2  4 1 2 3  1
x

2
2
x1 = 2 , x2 = 1
y1 = 2 – 5 = -3
y2 = 1 – 5 = -4
V: (2, -3) ja (1, - 4)
Paraabelin tangentin laskeminen
E.4. Mikä on a, kun suora y = x + a sivuaa paraabelia
y = x2 - 3x + 1?
y  x  a

2
y

x
 3x  1

D = (-4)2 – 4  1  (1 – a)
= 16 – 4 + 4a = 12 + 4a
D = 0: 12 + 4a = 0  4a = -12
x  a  x 2  3x  1
x  4x  1  a  0
2
a = -3
V: y = x - 3