Transcript maa2

6.2.1. PARAABELI (2. ASTEEN FUNKTION KUVAAJIA)
y = x2+1
y = x2
aukeavat ylöspäin
symmetrisiä y-akselin suhteen
y-akseli on paraabelin akseli
y = x2 -1
Toisen asteen polynomifunktio f(x) = ax2 + bx + c , a  0
* kuvaaja paraabeli
* sijainti koordinaatistossa riippuu kertoimista a, b, c
* kaartumisen jyrkkyys riippuu kertoimesta a
* paraabeli on symmetrinen huipun kautta kulkevan pystysuoran
akselin suhteen
Jos a > 0, paraabeli ylöspäin aukeava
Jos a < 0, paraabeli alaspäin aukeava
Nollakohtien
lukumäärä eli
ax2 + bx + c= 0, a0
a>0
a<0
2 nk
1 nk
ei
nk
E.1.
Piirrä paraabeli
y = x2 - 4
x
y = x2 - 4
-2
(-2)2 - 4 = 0
-1
(-1)2 - 4 = -3
0
02 - 4 = -4
1
12 - 4 = -3
2
22 - 4 = 0
7.1.1. Toisen asteen yhtälön perusmuoto x2 + bx + c = 0,
7.1.2. Yhtälö ax2 + bx = 0
- vasen puoli jaetaan tekijöihin
- tulo on nolla jos ja vain jos jokin tulon tekijöistä on nolla
Tulon nollasääntö
ab = 0  a = 0 tai b = 0
E.1. x(x – 2) = 0
x = 0 tai x – 2 = 0
x=2
a0
E.2.
a) 4x2 – 8x = 0
4x(x – 2) = 0
4x = 0 |:4
tai
x=0
x–2=0
x=2
V: x1 = 0, x2 = 2
b) x2 = -4x
x2 + 4x = 0
x(x + 4) = 0
x=0
tai
V: x1 = 0, x2 = -4
x+4=0
x = -4
7.1.3. Yhtälö ax2 + c = 0
- ratkaistaan ensin x2:
x2 = r
x r
tai
x r
E.3. a) x2 – 9 = 0
x2 = 9
x = ±3
b) 2x2 – 10 = 0
2x2 = 10 |:2
x2 = 5
x 5
E.4.
a) (x + 2)(x – 2) = 12
x2 – 4 = 12
x2 = 16
x = ±4
b) (x + 2)2 = 4x
x2 +4x + 4 = 4x
x2 +4x + 4 - 4x = 0
x2 = -4
V: ei reaalista ratkaisua
E.5.
10x3 – 10x = 0
10x(x2 – 1) = 0
10x = 0 | :10
x=0
tai
x2 – 1 = 0
x2 = 1
x = ±1
7.2.2. asteen yhtälön ratkaisukaava
ax2 + bx + c= 0,
a0
 b  b 2  4ac
x
2a
E.1.
x2 + 4x - 5 = 0
a = 1 b = 4 c = -5
 4  4  4 1 (5)
x
2 1
2
 4  16  20
 4  36  4  6



2
2
2
46
x
1
2
ai
t
46
x
 5
2
E.2. Ratkaise yhtälö
x(x - 3) - 2 = 8
x2 - 3x - 2 = 8
x2 - 3x - 2 - 8 = 0
x2 - 3x - 10 = 0
a =1 b = -3 c = -10
3  (3) 2  4 1 (10)
x
2 1
3  9  40

2
3  49 3  7


2
2
V: x1 = 5, x2 = -2
E.3. Ratkaise yhtälö
1 2 3
y  y20
8
4
| ·8
y 2  6 y  16  0
a = 1 b = 6 c = -16
 6  62  4 1 (16)
y
2 1
 6  36  64

2
 6  100  6  10


2
2
V: x1 = 2 x2 = -8
 b  b 2  4ac
x
2a
Esimerkki
Tapa 2:
4x2 - 2x = 0
Ratkaisukaavalla:
a = 4 b = -2 c = 0
Tapa 1:
Tulon nollasäännöllä:
 (2)  (2) 2  4  4  0
x
24
x
2x(2x - 1) = 0
2x = 0 tai 2x - 1 = 0
x=0
2x = 1 :2
x=½
2 4
8

22
8
x= ½ tai x = 0
 b  b 2  4ac
x
2a
Esimerkki
Tapa 2:
4x2 - 16 = 0
Ratkaisukaavalla:
a = 4 b = 0 c = -16
Tapa 1:
0  02  4  4  (16)
x
24
4x2
x
- 16 = 0
4x2 = 16 :4
x2 = 4
x   4  2
0  256 0  16

8
8
x= 2 tai x = -2
7.2.3. Diskriminantti
D = b2 - 4ac
eli 2. asteen yhtälön ratkaisukaavassa neliöjuuren alla oleva
lauseke.
E.1. Laske yhtälön diskriminantti
a) x2 + 3x - 4 = 0
b) 3x2 – 4x + 5 = 0
a) a = 1 b = 3 c = -4
a) a = 3 b = -4 c = 5
D = 32 - 4·1·(-4) = 25
D = (-4)2 - 4·3·5 = -44
Toisen asteen yhtälön ratkaisujen lukumäärä diskriminantin avulla
ax2 + bx + c = 0
x
b D
2a
Jos D > 0, on yhtälöllä kaksi erisuurta reaalista ratkaisua.
Jos D = 0, on yhtälöllä yksi kaksinkertainen reaalinen ratkaisu.
(kaksoisjuuri)
Jos D < 0, ei yhtälöllä ole yhtään reaalista ratkaisua
E.2. Montako ratkaisua on yhtälöllä
a) 2x2 - 3x - 4 = 0
b) 0,25x2 + x + 1 = 0
c) 3x2 - 4x + 2 = 0 ?
a) D = (-3)2 – 4 · 2 · (-4) = 41 > 0  2 ratkaisua
b) D = 12 - 4 · 0,25 · 1 = 0  1 ratkaisu
c) D = (-4)2 - 4 · 3 · 2 = -8  ei ratkaisua reaalilukujoukossa
E.3. Millä a:n arvoilla yhtälöllä x2 - 4x + a = 0 on
a) kaksi
b) yksi
c) nolla ratkaisua?
D = (-4)2 - 4 · 1 · a = 16 - 4a
a) 16 – 4a > 0
-4a > -16
a <4
b) Yksi ratkaisu, kun D = 0:
16 - 4a = 0
-4a = -16
a=4
c) 16 – 4a < 0
-4a < -16
a >4
E.4.
Määritä a, kun yhtälöllä x2 + (a – 1)x + 9 = 0 on yksi reaalinen ratkaisu.
Mikä on tämä ratkaisu?
D = (a - 1)2 – 4 · 1 · 9
=
a2
- 2a + 1 – 36
= a2 – 2a - 35
a = 7:
x2 + 6x + 9 = 0
 6  6 2  4 1  9
x
2 1
6 0

= -3
2 1
a = -5:
2  (2) 2  4 1 (35)
a
2 1
a
a
2  144
2 1
2  12
2 1
a1 = 7
a2 = -5
x2 - 6x + 9 = 0
6  (6) 2  4 1 9
x
2 1
6 0

=3
2 1
E.6. Köyden pituus on 100 m.
Sillä aidataan 600 m2 suorakulmion muotoinen alue.
Miten pitkiä ovat sivut?
x
50 - x
x(50 - x) = 600
50x - x2 = 600
-x2 + 50x - 600 = 0
x2 – 50x + 600 = 0
50  (50) 2  4 1 600
x
2 1

50  10
2 1
x1 = 30
x2 = 20
V: 30 m, 20 m
20 m, 30 m
7.3.1. 2. asteen yhtälön ratkaisujen summa ja tulo
Jos toisen asteen yhtälön ax2 + bx + c = 0 ratkaisut ovat x1 ja x2 ,
niin
x1  x2  
b
a
x1  x2 
Huomaa, jos a = 1, niin
x1 + x2 = -b ja x1 · x2 = c
c
a
E.1. Määritä yhtälön ratkaisujen summa ja tulo
a) x2 + 4x - 5 = 0
a = 1 b = 4 c = -5
x1 + x2 = - b = -4
x1 · x2 = c = -5
(aikasemmin: x1 = 1 ja x2 = -5)
b) 4x2 - 2x = 0
b
2 1
x1  x2    

a
4
2
c 0
x1  x2    0
a 4
(aikaisemmin: x1 = 0 ja x2 = ½)
7.3.2. Toisen asteen polynomin ax2 + bx + c jakaminen tekijöihin
1) Laske nollakohdat x1 ja x2
2) ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
Huom: Jos x1 = x2, niin ax2 + bx + c = a(x – x1)2
E.2. Jaa tekijöihin
a) x2 – 4x – 5
b) 2x2 – 5x - 3
a) Ratkaisukaavalla x1 = 5 x2 = - 1
x2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)
b) Ratkaisukaavalla x1= 3 x2 =-½
2x2 - 5x - 3 = 2(x - 3)(x + ½)
= (x - 3)(2x + 1)
Tekijälause
x – a on P(x):n tekijä  P(a) = 0
Siis
Binomi (x – a) on polynomin P(x) tekijä, jos ja vain jos x = a on
polynomin P(x) nollakohta
E.3. (t.550b)
Määritä a siten, että polynomilla ax2 – 6x + 4 on tekijänä x – 1
Tekijälauseen mukaan x = 1 on polynomin nollakohta:
a · 12 – 6 · 1 + 4 = 0
a–2=0
a=2
Toisen asteen epäyhtälö
Ratkaisu nollakohtia ja kuvaajaa käyttäen
1) Epäyhtälö perusmuotoon
ax2 + bx + c > 0
(tai <, ≤, ≥)
2) Ratkaistaan nollakohdat
3) Hahmotellaan paraabeli
(nollakohdat, aukeamissunnta)
4) Päätellään ratkaisu
E.1.
x2 + 4x - 5 > 0
Nollakohdat:
x2 + 4x - 5 = 0
 4  42  4 1 (5)
x
2 1

Kuvaaja:
46
2
x = 1 tai x = -5
-5
1
Vastaus: x < -5 tai x > 1
E.2
a) x2 < 4
 x2 - 4 < 0
Nollakohdat:
Kuvaaja:
x2 – 4 = 0
x2 = 4
x = ±2
+
+
-2
V: -2 < x < 2
-
2
E.3.
x2  9  6x
x2 - 6x + 9 < 0
Nollakohdat: x2 – 6x + 9 = 0
Kuvaaja:
6  (6) 2  4 1 9 6  0
x

3
2 1
2
+
+
x1 = x2 = 3
3
V:
(tyhjä joukko)
E.4.
 x 2  8x  16  0
Nollakohdat: -x2 + 8x – 16 = 0
 8  82  4  (1)  (16)  8  0
x

4
2  (1)
2
Kuvaaja:
x1 = x2 = 4
4
V: x  R
E.5. (t.570)
Osoita, että funktion f(x) = x2 – 4x + 5 kaikki arvot ovat positiivisia
x2 – 4x + 5 > 0
Nollakohdat: x2 – 4x + 5 = 0
4  (4) 2  4 1 5 4   4
x

2 1
2
ei ratkaisua, sillä D < 0
=> f(x) > 0 kaikilla x  R
Kuvaaja:
+
+
Esimerkkejä:
1. Millä x:n arvoilla funktio f(x) = 2x2 - 3x + 2 saa pienempiä arvoja
kuin 4?
2x2 - 3x + 2 < 4
2x2 - 3x - 2 < 0
nollakohdat, paraabeli, vastaus
2. Millä vakion a arvoilla yhtälön x2 - 3ax + 2a = 0 ratkaisut ovat
reaaliset?
D = (-3a)2 - 4 *1*2a = 9a2 - 8a
9a2 - 8a > 0
nollakohdat, paraabeli, vastaus
Polynomin jakaminen tekijöihin
Kertausta
1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
3) a2 – b2 = (a + b) (a – b)
E.1. Jaa tekijöihin
a) x2 + 3x
= x(x + 3)
b) 6x2 – 8x
= 2x(3x – 4)
c) 5x3 – 10x2
= 5x2(x – 2)
d) x2 + 6x + 9
= (x + 3)2
e) x2 – 2x + 1
= (x – 1)2
f) x2 – 49
=(x + 7)(x – 7)
8.1.2. Korkeamman asteen yhtälöt
Yhtälöt
Tulo on nolla, jos jokin tulon tekijöistä on nolla
Merkitse kaikki tulon tekijät = 0 ja ratkaise näin saadut yhtälöt
E.2.
Ratkaise
(x – 2)(x2 – 9) = 0
x – 2 = 0 tai
x2 – 9 = 0
x =2
x2 = 9
x=3
Tulo = 0, yhteinen tekijä
Kaikki termit vasemmalle puolelle
Jaetaan tekijöihin
Ratkaistaan näin saatu tulo = 0 yhtälö merkitsemällä
kaikki tekijät = 0.
E.3. Ratkaise
x3 – 2x2 – 3x = 0
x1 = 0
x(x2 – 2x – 3 ) = 0
tai x2 – 2x – 3 = 0
x2 = 3, x3 = -1 (RTK-KAAVALLA)
Tulo = 0, ryhmittely
Kaikki termit vasemmalle puolelle
Ryhmittely, yhteinen tekijä
Tekijät = 0
E.4. Ratkaise
x3 – 3x2 + x – 3 = 0
(x3 – 3x2) + (x – 3) = 0
x2(x – 3) + (x – 3) = 0
(x2 + 1) (x – 3) = 0
x2 + 1 = 0 tai
x2 = -1
ei ratkaisua
x–3=0
x=3
E.5. (598)
a) x4 – 5x2 +4 = 0
b) x4 + 5x2 + 4 = 0
8.2. Korkeamman asteen epäyhtälöt
Tulo > 0
( <, ,  )
Tekijät =0, merkit
Lukusuorataulukko
Vastauksen päättely
E.6. Ratkaise (x2 – x)(x + 1) > 0
(x2 – x)(x + 1) = 0
x(x – 1)(x + 1) = 0
x1 = 0
x–1=0
x2 = 1
NK:
x+1=0
x3 = -1
TAPA I: (kokeilu)
f(x) = (x2 – x)(x + 1) = x3 + x2 – x2 – x = x3 - x
x
f(x) = x3 – x
-2
(-2)3 – (-2) = -6 < 0
-½
(-½)3 – (-½) = 3/8 > 0
½
(½)3 – ½ = -3/8 < 0
2
23 – 2 = 6 > 0
0
-1
-
+
V: -1 < x < 0 tai x > 1
1
-
+
TAPA II:
x(x – 1)(x + 1) > 0
NK: Kuten edellä
x1 = 0
x2 = 1
x3 = -1
E.7. Ratkaise 3x3 > 2x2 + x
3x3 - 2x2 – x > 0
x(3x2 – 2x – 1) > 0
NK:
x(3x2 – 2x – 1) = 0
x1 = 0
V
3x2 – 2x – 1 = 0
2  (2) 2  4  3  (1)
x
23
x2 = 1
1
x3  
3
2  16

6

24
6
Yhden ratkaisun etsiminen ”kokeilemalla”
Jos huomattu x = a, on tekijänä (x - a)
Kaikki termit vasemmalle puolelle
Jakamalla vasen puoli yhteisellä tekijällä saat toisen tekijän
Näin saat yhtälön tulo = 0, joka ratkaistaan
E.4. Ratkaise x3 - 4x2 + 3x + 2 = 0
Kokeilemalla yksi rtk: x = 2
Onko annettu binomi polynomin tekijä?
x3 – x2 - 5x – 3,
(x – 3)
Siis
jos x – 3 on tekijänä => 3 on polynomin nollakohta
a) Tapa 1
Tapa 2
nk: x = 1
Ratkaisukaavalla nollakohdat:
x -1 tekijänä
3x - 4
x 1
3x 2  7 x  4
7  (7) 2  4  3  4 7  1
x

23
6
x = 1 tai x = 4/3
 3x  3x
2
- 4x  4
 4x  4
4
3 x 2  7 x  4  3( x  1)( x  )
3
0
 ( x  1)(3x  4)
663. P(x) = ax3 -31x2 + 1 eräs nollakohta on x = 1. Määritä a.
P(x) = 0 ?
P(1) = 0: a · 13 - 31 · 12 + 1 = 0
a = 30
jakokulmassa
Johdantoesimerkki – kirja sivut 161 -162
E.1. Määritä paraabelin y = x2 – 2x huippu
Kuvaaja ”katkoviiva”
Paraabelin symmetrisyyden perusteella huipun
x-koordinaatti on x-akselin ja paraabelin
leikkauspisteiden keskiarvo
x x
02
x 1 2 
1
2
2
y sijoittamalla: y = 12 - 2·1 = -1
Huippu: (1, -1)
E.2. Määritä paraabelin y = x2 – 2x + 2 huippu
Kuvaaja: 2 yksikköä ylöspäin
Huipun x – koordinaatti pysyy samana
Huipun y-koordinaatti kasvaa 2:lla
Huippu
(1, 1)
7.1.4. Paraabelin y= ax2 + bx + c huipun määrittäminen
-Käytetään hyväksi paraabelia y = ax2 + bx:
lasketaan nollakohdat ax2 + bx = 0
huipun x koordinaatti on nollakohtien keskiarvo
huipun y-koordinaatti saadaan sitten sijoittamalla huipun
x-korrdinaatti paraabelin yhtälöön
E.1. Määritä paraabelin huippu
a) y = 3x2 - 4x
b) y = x2 - 6x + 5
a) 3x2 – 4x = 0
b) x2 – 6x = 0
x(3x – 4) = 0
x(x – 6) = 0
x1 = 0 tai 3x – 4 = 0
x1 = 0 tai x – 6 = 0
3x = 4
x2 = 6
x2 = 4/3
x x
x 1 2
2
4
0
3

2
2

3
2
2
4
y  3  ( )2  4   
3
3
3
V: Huippu on
2 4
( , )
3 3
x x
x 1 2
2
06

2
3
y  32  6  3  5  4
V: Huippu on
(3,4)
7.2.1. Neliöksi täydentäminen
ks. kirja sivut 165 - 166
E.1. Ratkaise x2 – 2x + 1 = 9
(x – 1)2 = 32
x-1=3
x=4
tai
x – 1 = -3
tai
x =-2
E.2. Ratkaise x2 – 6x + 5 = 0
x2 – 6x = -5
x2 – 6x + 32 = -5 + 32
(x – 3)2 = 4
(x – 3)2 = 22
x-3=2
x=5
tai
tai
x – 3 = -2
x=1
(a – b)2 = a2 -2ab + b2
E.3. Ratkaise
16x2 + 24x - 16 = 0
16x2 + 24x = 16
(4x)2 + 2 · 3 ·4x = 16
(4x)2 + 2 · 3 ·4x + 32 = 16 + 32
(4x)2 + 2 · 3 ·4x + 32 = 25
(4x + 3)2 = 25
(4x + 3)2 = 52
4x + 3 = 5
tai
4x + 3 = -5
x=½
tai
x = -2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
7.2.2. Ratkaisukaava. kirja s. 166
ax2 + bx + c = 0
2ax  b   D
Kerrotaan puolittain luvulla 4a
4a2x2 + 4abx + 4ac =0
2ax   D  b
4a2x2 + 4abx = -4ac
(2ax)2 + 2 ·b · 2ax = -4ac
(2ax)2 + 2 ·b · 2ax + b2 = -4ac + b2
(2ax)2 + 2 ·b · 2ax + b2 = b2 – 4ac
Merkitään: b2 – 4ac = D
x
b D
2a
 b  b 2  4ac
x
2a
(2ax + b)2 = D
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2