Pitkä matematiikka (MaA), mallikoe, versio 0.8 Ratkaise kaikki tehtävät 1–4.

1. a) Beräkna medeltalet av bråken , och . b) Beräkna 4 − 4 − 4 . c) Lös olikheten –2x + 4 > x + 2 .

2

a) Sievennä b) Supista

x

− −

y

c) Jaa

+

a

+ 4

a

2 tekijöihin ) 3.

Päättele pätevätkö seuraavat väittämät. Pelkkä vastaus riittää. a.

5,3 > 12 b.

7,245 + 6 = 3,3 + 4,5 + 6,9 c.

d.

146347 – 64367 < 146336 – 64467 \sqrt{5} > 2 e.

x^3 – 6x^2 = 3x kun x = 1 4.

f.

x^2 > 2 kun x > 2 Määritä polynomin f(x) = x^3 – 6x^2 suurin ja pienin arvo välillä [ ]

Ratkaise kolme (3) tehtävistä 5–9. 5.

Kahden kuution pinta-alojen suhde on 16:25. Laske niiden tilavuuksien suhde?

6.

Hajamielisellä professorilla on yksi luento jokaisena viitenä arkipäivänä, mutta hän muistaa pitää päivittäisen luentonsa vain

80

prosentin todennäköisyydellä. a) Millä todennäköisyydellä hän muistaa pitää viikon kaikki luennot? b) Millä todennäköisyydellä vain yksi viidestä luennosta jää pitämättä? c) Määritä viikossa pidettyjen luentojen lukumäärän odotusarvo.

7.

Peter har nyligen köpt en ny fin bil som kostar

a

euro. Anta att bilens värde sjunker med 15 % varje år.

8.

a.

b.

c.

Med hur många procent har bilens värde sjunkit efter fyra år? Bilda funktionen som anger bildens värde efter x år. Efter hur många år är bilen värd en femtedel av nypriset? En rektangulär gräsmatta har ursprungligen måtten 25 m × 11 m. Den utökas runt om med en överallt lika bred strimma. Bestäm strimmans bredd så att gräsmattan area fördubblas. 9.

Ratkaise joko i tai ii kohta. Kumpikin kohta on kuuden pisteen arvoinen.

i.

Konnektiivin totuustaulu on

A

1 1 0 0

B

1 0 1 0

A B

0 1 0 0 Esitä lause

A

( )

sellaisessa muodossa, jossa esiintyy ainoastaan konnektii veja ¬ , ∨ tai ∧ .

ii.

Ratkaise Newtonin menetelmällä yhtälö e^x = 3x.

Ratkaise kolme (3) tehtävistä 10–13.

10.

a) Määritä sellainen kerroin

a

, että =    

1

ax

2

x

+ 2

x

2

, ,

x

≤ −

1,

x

> −

1,

on jatkuva kaikkialla. b) Määritä käyrän

x

+

y

= 5 ja koordinaattiakseleiden rajoittaman alueen pinta–ala.

11.

Määritä ympyröiden 4

x

2

+ 4

y

2

+ 16

x

− 16

y

+ 7 = 0 ja

4

x

2

+ 4

y

2

− 16

x

+ 8

y

− 205 = 0 yhteisten tangenttien yhtälöt. 12.

Oheisen kuution särmän pituus on 2. Sen sisällä on vaaleanpunainen pallo, joka sivuaa jo kaista kuution tahkoa. Kuution yhdessä kulmassa on pienempi sininen pallo, joka sivuaa suurta palloa ja kolmea kuution tahkoa kuvion mukaisesti. Laske sinisen pallon säteen tark ka arvo. 13.

Sanomme, että kokonaisluku on

kiva

jos sen on kahden suurimman, eri suuren, aidon teki jänsä summa. Luvun n aidolla tekijällä tarkoitetaan lukua

k

joka jakaa luvun

n

ja jolle pätee 1<

k

<

n

. Osoita, että näillä määritelmillä mikään luku ei ole kiva.

Lyhyt matematiikka (MaB), mallikoe, versio 0.8 Ratkaise kaikki tehtävät 1–4.

1. Laske tarkat arvot lausekkeille a)

+ − + −

b) 0,12€ – 0,34€ + 5€ c)

1 2

2.

4

5 . a) På rea säljs tre CD:n för priset av två (den billigaste gratis). Hasse köper fyra CD:n som alla kostade 10€ ursprungligen, Anette köper tre CD:n som kostade 12€, 10€ och 9€ ursprung ligen. Hur många procents rabatt får Hasse och Anette på sina uppköp? b) Lös olikheten –2x + 4 > x + 2 med grafisk metod. 3.

Päättele pätevätkö seuraavat väittämät. Pelkkä vastaus riittää. a.

5,3 > 12 b.

7,245 + 6 = 3,3 + 4,5 + 6,9 c.

146347 – 64367 < 146336 – 64467 d.

\sqrt{5} > 2 e.

x^3 – 6x^2 = 3x kun x = 1 f.

x^2 > 2 kun x > 2 4. I figuren nedan finns grafen av polynomfunktionen

f

(

x

)

=

x

2 −

2

x

. Utför följande uppgifter genom att använda funktionens uttryck eller, om det är möjligt, grafiskt. a) Bestäm funktionens nollställen b) Bestäm c) Bestäm d) Bestäm 1 ′ 1 ′ 3 e) Bestäm de värden på

x

för vilka funktionen är växande f) Bestäm funktionens minsta värde.

Ratkaise kolme (3) tehtävistä 5–9.

5.

För djur gäller ett approximativt samband mellan hela kroppens massa och hjärnans massa. Hjärnans massa tredubblas då kroppens massa fyrdubblas. Vi använder detta samband för att lösa följande. En hund har massan 24 kg, en häst 480 kg och en elefant 6 400 kg. Vilket är förhållandet mellan massorna för a) b) c) hästens och hundens hjärnor elefantens och hästens hjärnor hundens och elefantens hjärnor? 6.

Simeoni osti Saapasnahka-tornin 12 000 eurolla ja teetti siihen myöhemmin euron peruskorjauksen. Yksitoista vuotta myöhemmin hän myi sen Juhanille eurolla. Voi tosta on maksettava 28 % pääomatulovero. Verottaja tulkitsee voitoksi summan, joka saa daan, kun myyntihinnasta vähennetään ostohinta ja peruskorjauskulut. Toisaalta Simeoni voi myös halutessaan käyttää ns. hankintameno-olettamaa. Tällöin myyntihinnasta vähen netään 20 %, jos on omistanut tornin alle 10 vuotta, ja 40 %, jos yli 10 vuotta. Mitään muita vähennyksiä ei saa tehdä. Jäljelle jääneestä summasta maksetaan 28 % pääomatu lovero.

a)

Paljonko Simeonille jää myyntihinnasta verotuksen jälkeen, kun hän valitsee edullisem man vaihtoehdon?

b)

Mikä olisi sellainen myyntihinta, että Simeoni maksaisi kummassakin verotusvaihtoeh dossa yhtä suuren veron? 7.

Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 52 millilitraa ja keskihajonta on 1,25 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa? 8.

Tähtiharrastaja katselee yöllisiä tähdenlentoja pihalla, joka sijaitsee kahden kerrostalon vä lissä kuvan mukaisesti. Talojen korkeudet ovat 39 m ja 26 m. Kuinka kaukana korkeammas ta talosta molempiin suuntiin avautuu yhtä suuri kulma α maanpinnan tasosta katsottu na? 39 m α α 50 m 26 m

9.

Suoran ympyräkartion sisällä on suora ympyrälieriö, jonka pohja on kartion pohjalla ja ylä reuna sivuaa kartion vaippaa. Lieriön pohjan halkaisija on yhtä suuri kuin sen korkeus. Toi saalta lieriön pohjan halkaisija on puolet kartion pohjan halkaisijasta. Kuinka monta pro senttia lieriön tilavuus on kartion tilavuudesta? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella.

Ratkaise kolme (3) tehtävistä 10–13.

10.

Anna esimerkki kahdesta kuutiosta joiden pinta-alojen suhde on on 16:25. Laske niiden ti lavuuksien suhde? 11.

a) I Viking Lotto ska spelaren välja sex av talen 1, 2, 3, ... , 48. Detta kallar vi en enkel lotto rad. Hur många olika enkla lottorader kan spelaren välja? Hur mycket skulle det kosta att lämna in dessa lottorader, då en rad kostar 60 cent? b) En matematiklärare ska spela systemlotto. Då ska viking lottoraden omfatta fler än sex tal. Lärarens systemrad består av 10 tal. Hur många olika enkla lottorader med sex tal ingår i denna systemrad? Bestäm även priset på systemraden. c) Förutom de sex riktiga vinsttalen lottas även två tilläggstal ut. Bestäm sannolikheten för att en spelare på en enkel viking lottorad får fyra riktiga vinsttal rätt, men inget tilläggstal rätt. 12.

Ett holländskt flygbolag använder följande regel för resväskor i lastutrymmet. Om en res väska har formen av ett rätblock ska summan av väskans längd, bredd och höjd maximalt vara 158 cm. Anta att en väska har det maximala måttet, och att väskans längd är dubbelt så lång som bredden. a) Bilda en funktion som anger väskans volym i funktionens definitionskrav. b) då

x

är väskans bredd. Ange också Bestäm väskans mått då den har största möjliga volym. Vilken är denna volym i liter? Ange väskans mått med en millimeters noggrannhet, och volymen med två gällande siff ror.

13.

Alla on funktion =

A

sin(

bx

) kuvaaja välillä

x

∈ − o , teella

a)

vakion

A

arvo

b) c)

vakion

b

arvo funktion

f

lyhin jakso

L

, jolle pätee

L

>

0

ja +

L

) = o Määritä kuvaajan perus kaikilla

x

.