Transcript ppt - Turku

MATEMAATTINEN
ONGELMANRATKAISU
Erkki Pehkonen
OKL /HY
1
• Ongelmanratkaisua tarjotaan yleisesti
menetelmänä matemaattisen ajattelun ja
luovuuden kehittämiseen (esim.
Schoenfeld 1985).
• Opetussuunnitelman kaikkia aineita
koskevana (formaalina) yleistavoitteena
on luovuuden kehittäminen (OPH 2004).
2
Mitä on ongelmanratkaisu?
• Tehtävän sanotaan olevan ongelma,
jos sen ratkaiseminen vaatii, että
ratkaisijan on yhdisteltävä ennestään
tuttua tietoa (hänelle) uudella tavalla.
• Jos hän voi heti tunnistaa ne
toimenpiteet, jotka tarvitaan tehtävän
ratkaisemiseen, niin kyseessä on
hänelle rutiinitehtävä (tai standarditehtävä tai harjoitustehtävä).
3
Malli ongelmanratkaisulle
• Polya (1945) esitti jo yli 60 vuotta
sitten 4-portaisen ongelmanratkaisumallin (Ongelman ymmärtäminen.
Ratkaisun suunnitteleminen. Ratkaisun toteuttaminen. Tarkastelu).
• Mason’in (1985) malli koostuu
kolmesta vaiheesta: aloitus,
hyökkäys, tarkastelu.
4
Huom! muhimiskierre
Yhteensopivuus
konstruktivismin kanssa
• Masonin (1985) tulkinta ongelmanratkaisulle on yhteensopiva
oppimisen konstruktivistisen
ymmärtämisen kanssa.
• Yksi lupaava menetelmä näyttää
olevan ns. “avoin lähestymistapa”,
opettaja tarjoaa avoimen ongelman
(tai ongelmatilanteen) muodossa (ks.
Pehkonen 2001).
5
Avoimet tehtävät
• Opetuksessa käytettävät tehtävät
voidaan jakaa avoimiin ja suljettuihin
tehtäviin.
• Suljetussa tehtävässä on alku- ja
lopputilanne yksikäsitteisesti
määritelty.
• Oppikirjojen tehtävistä suurin osa on
suljettuja.
6
Esimerkki 1
• Tarkastellaan suorakulmiota, jonka
pinta-ala on 60 cm2.
a) Laske suorakulmion piiri, kun sen
ala on 60 cm2 ja pituus 12 cm.
b) Mitä kaikkia arvoja sellaisen
suorakulmion piiri voi saada, jonka
ala on 60 cm2.
7
Esimerkin käsittelyä
• Ensimmäinen on selkeästi suljettu
tehtävä. Siinä on annettu kaikki, mitä
tarvitaan ratkaisuun pääsemiseksi.
• Toinen tehtävä on taas avoin tehtävä,
sillä siinä on ensin mietittävä alkuarvoja ja suunniteltava etenemistä.
8
Avoin
ongelmanratkaisu
9
Esimerkki 2
• Palindromi on luku, joka on etu- ja
takaperin sama, esim. 12321. Tutki,
ovatko kaikki nelinumeroiset
palindromiluvut jaollisia luvulla 11.
• Miten ratkaisit ongelman?
• Miten arvelet peruskoulun
yläluokkien oppilaiden ratkaisevan
ongelman?
10
Avoimien tehtävien
käyttämisestä
• Yksinomaan tavanomaisten koulutehtävien
käyttäminen rajaa oppilaiden käsityksen
matematiikasta helposti hyvin kapea-alaiseksi,
kun taas avoimien tehtävien avulla tätä kuvaa
voidaan pyrkiä laajentamaan.
• Avoimet tehtävät tarjoavat oppilaille enemmän
harkintavapautta ratkaisemisvaiheessa, mutta
toisaalta he joutuvat käyttämään
hallitsemaansa tietoa monipuolisemmin.
11
Esimerkki 3
• Oppilaille annetaan A4-paperista leikattu
suunnikas ja sakset.
• Tehtävänä on selvittää, onko mahdollista
leikata suunnikas kahteen palaan siten,
että niistä paloista voidaan koota
suorakulmio.
• Perustelut ratkaisulle!
12
Esimerkin käsittelyä
• Seuraavaksi voidaan kysyä, onko
toisenlaista tapaa ratkaista ongelma.
Kuinka monta erilaista ratkaisua on
yhteensä?
• Jatkotehtäväksi voidaan antaa saman
ongelman tutkiminen eri monikulmioilla
(esim. suorakulmainen kolmio, tasakylkinen kolmio, tasasivuinen kolmio ja
säännöllinen kuusikulmio).
13
Avoimia tehtŠviŠ kŠyttŠmŠllŠ voidaan vastata kehittyvŠn
matematiikan opetuksen haasteisiin.
TŠllainen johtaa miltei automaattisesti ongelmakeskeiseen
opetukseen ja johtaa selkeŠsti kommunikoinnin
lisŠŠmiseen.
NŠin saadaan opetukseen lisŠttyŠ myš s avoimuutta ja
oppilaskeskeisyyttŠ.
14
Avoimien tehtävien kehittely
• Jos opetuksessa halutaan käyttää
runsaasti avoimia tehtäviä,
kirjallisuudesta löytyvät valmiit tehtävät
eivät riitä kuin alkuun.
• Siksi opettajille olisi oltava valmiutta
kehittää itse avoimia tehtäviä oppitunnilleen.
15
Avoimia tehtŠviŠ saadaan suhteellisen helposti
tavanomaisista (suljetuista) tehtŠvistŠ, joita
matematiikan oppikirjoissa on runsaasti.
TŠmŠ voidaan tehdŠ esimerkiksi seuraavasti:
¥ JŠtetŠŠn valmiista tehtŠvŠstŠ pois kysymys.
¥ JŠtetŠŠn valmiista tehtŠvŠstŠ pois jokin
alkuarvo.
16
Esimerkki 4
• Olohuoneen pituus on 6,0 m, leveys 4,0 m
ja korkeus 2,5 m. Laske seinien yhteinen
pinta-ala, kun ovien ja ikkunoiden osuus
on 8,5 % seinien pinta-alasta.
• Miten tämän tehtävän voisi “avata”?
17
Esimerkin käsittelyä
• Kun tehtävästä jätetään jälkimmäinen
virke pois, voidaan esimerkiksi kysyä,
mitä olohuoneen mittojen perusteella
voidaan laskea.
• Tällaisessa tehtävässä oppilasta
pyydetään ensin muotoilemaan ongelma
ja sitten ratkaisemaan se.
18
Jatkoa
• Toinen paljon käytetty tapa on tarjota
oppilaalle valmis tilanne, minkä jälkeen
kysytään, onko hän samaa mieltä ratkaisun
kanssa.
• Lisäksi häntä pyydetään perustelemaan
ratkaisunsa.
• Tällainen on mm. seuraava kirjallisuudesta
löytyvä esimerkki (Cooney & al. 1993).
19
Esimerkki 5
• Liisa väittää, että kahden murtoluvun
välissä oleva murtoluku löydetään aina
ottamalla osoittajien välissä oleva arvo ja
nimittäjien välissä oleva arvo.
Esimerkkinä Liisa antaa, että murtolukujen 1/3 ja 3/5 välissä on 2/4, koska 1
< 2 < 3 ja 3 < 4 < 5 . Oletko samaa
mieltä Liisan kanssa? Perustele antamasi
vastaus.
20
Tutkiva oppiminen
21
TŠssŠ tarkastellaan, miten koulumatematiikan
puitteissa voisi oppilaiden luovuutta ja
ongelmanratkaisutaitoa edistŠŠ.
KehysterminŠ on tutkiva oppiminen, joka on
selkeŠsti saamassa kannatusta kasvatustieteen
(oppimispsykologia) piirissŠ. Ks. esim.
Hakkarainen & al. (2004, 2005) kirjat.
Uudemmassa kirjassa (Hakkarainen & al.
2005) pyritŠŠn esimerkkien kautta
nŠyttŠmŠŠn, mitŠ tutkiva oppiminen
tarkoittaa koululuokassa; esimerkit ovat
pŠŠosin peruskoulusta.
22
Esimerkki 6
• Suorakulmion yksi sivu kasvaa
10 % ja viereinen sivu pienenee
10 %. Mitä tapahtuu suorakulmion pinta-alalle?
23
Tehtävien variointi
• Avoimien tehtävien luokittelun yhteydessä
mainittiin yhtenä ryhmänä ongelman variointi
(entäpä jos? –menettely).
• Hans Schupp käynnisti Saksassa 1990-luvun
loppupuolella laajan tutkimusprojektin
aihepiiristä “Tehtävävariointi matematiikanopetuksessa” (Schupp 2002), jonka puitteissa
kokeiltiin tehtävävariointia koululuokissa.
24
Alkuesimerkki
• Tässä näytetään esimerkillä, mitä
variaatiomahdollisuuksia tavanomaiseen
koulutehtävään sisältyy.
• Alkuongelma: Laske yhteen kolme
peräkkäistä luonnollista lukua. Mitä
huomaat?
Kokeile ensin itse!
25
Esimerkki (jatkuu)
• Hypoteesi: Summa on aina kolmella
jaollinen.
• Ratkaisu (yksi vaihtoehto): Merkitään
pienintä lukua n:llä, jolloin seuraavat
ovat n+1 ja n+2. Siispä saadaan
n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1) .
• Sivutulos: Summa on myös
keskimmäisellä luvulla jaollinen.
26
• Helposti nähdään, että variaatiota on
todella paljon. Minkälaisia?
• Monet niistä johtavat ongelmiin, jotka
ovat sopivia koulukäyttöön.
• Lisäksi on huomattava, että saataessa
oppilaat mukaan tehtävän variointiin, he
sitoutuvat oleellisesti selkeämmin
tehtävien käsittelyyn.
27
Keksivä oppiminen
• Avoin ongelmanratkaisu on toinen
nimitys keksivän oppimisen
toteutukselle, joka on erityisesti
kehitetty matematiikanopetuksen
tarpeisiin.
• Myös rutiiniharjoittelu voidaan
rakentaa sellaiseksi, että tehtäväjoukon takaa löytyy jokin yhtenäistävä struktuuri.
28
Esimerkki 7
• Oppilaille annetaan ratkaistavaksi
seuraava mekaaninen tehtäväsarja,
jolla harjoitetaan ensisijaisesti
vähennyslaskualgoritmia:
93 – 39 = ?
72 – 27 = ?
64 – 46 = ?
...
29
Jatk.
• Kun sarja on saatu ratkaistua, pysähdytään miettimään saatuja erotuksia:
54, 45, 18, ...
• Joku huomaa nopeasti, että ne ovat kaikki
luvun 9 kertotaulusta.
• Lisäksi havaitaan vähennettävän ja
vähentäjän olevan toistensa peililukuja,
• Asetetaan hypoteesi: kaikkien tämäntyyppiset erotukset on luvun 9 monikerta.
30
Jatk.
• Jos peruskoulun ylemmillä luokilla oppilaat
voivat itse todistaa hypoteesin laskemalla
yleinen tapaus:
Oletetaan, että a > b ja silloin kyseessä on
seuraava vähennyslasku:
(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b) .
Erotus on siis aina luvun 9 monikerta, koska
a > b.
31
Esimerkki 8
• Bedford (1984) ehdottaa negatiivisten
lukujen laskusääntöjen keksimistä
analogia-ajattelun avulla.
• Esimerkiksi kertolaskun (-3) * (-4)
merkkisääntö voitaisiin päätellä
seuraavasti (tässä oletetaan, että
positiiviluvulla osataan jo kertoa):
32
33
Oppilaat havaitsevat helposti:
• Ensimmäisessä pystyrivissä +3, +2,
+1, 0, -1, -2, -3 luvut pienenevät aina
yhdellä, kolmannessa pystyrivissä
ovat kaikki luvut –4 ja viidennessä
pystyrivissä –12, -8, -4, 0, … luvut
suurenevat aina +4:llä.
• Siispä analogiapäättelyllä pitäisi
viidennen pystyrivin jatkua
seuraavasti: +4, +8, +12.
34
Lukion matematiikasta
• Heinrich Winter (1989) on jo noin 20
vuotta aikaisemmin kehittänyt ideaa,
miten tavanomaisen koulukurssin
puitteissa voisi tehtäviä varioida.
• Hän otti esimerkkejä lukiotason
matematiikasta.
• Winterin menetelmää kuvaava
artikkeli on käännetty suomeksi (ks.
35
Winter 1989).
Esimerkki 9
• Lukiossa toisen asteen yhtälön ratkaisuharjoittelun kohdalla voi kysyä, minkä
toisen asteen yhtälön juuret ovat x= 2 ja
x= -3).
• Seuraavaksi kysytään kolmea mahd.
erilaista toisen asteen yhtälöä, joiden
kaikkien juuret ovat x= 2 ja x= -3.
• Tämän jälkeen voi kysyä, löytyykö vielä
erilainen yhtälö, jonka juuret olisivat
edellä mainitut. Ja viimein, kuinka monta
sellaista yhtälöä on kaikkiaan.
36
Japanilainen avoin
lähestymistapa
• Noin 30 vuotta sitten kehitettiin ns. avoin
lähestymistapa matematiikanopetuksen
käyttöön Japanissa (Shimada 1977), ja
nykyään ovat avoimien ongelmatehtävien
käyttäminen siellä matematiikanopetuksen
polttopisteessä.
• Avoimen lähestymistavan keskeinen ajatus on
edistää oppilaiden luovuutta ja ongelmanratkaisua sopivien harjoitusten avulla.
37
Shimada (1997, 1–2) kirjoittaa:
• Käytettäessä avointa lähestymistapaa
opetusmenetelmänä annetaan oppitunnin
aluksi oppilaille ‘epätäydellinen’ tai
‘avoin-loppu’ (open-ended) ongelma.
• Oppitunti jatkuu hakemalla useita tapoja
löytää ratkaisu ongelmaan; näin
oppilaille tarjottaisiin kokemuksia uuden
tehtävän ratkaisuprosessista.
38
jatk.
• Opettaja keskittyy arvioimaan oppilaiden
suorituksia korkeamman asteisessa ajattelussa,
joten hänen on tarkkailtava miten oppilaat
käyttävät oppimaansa konkreettisessa
tilanteessa.
• Edelleen on tärkeätä nähdä, miten oppilaat
toimivat uudenlaisissa ongelmanratkaisutilanteissa, joita ei ole harjoiteltu.
39
Joitakin tyypillisiä esimerkkejä
• Seuraavassa esitetään kolme tyypillistä
esimerkkiä, joiden avulla voidaan yrittää
ymmärtää japanilaisen avoimen
lähestymistavan perusideoita.
• Näissä ei laskemisen antama tulos ole
kiinnostuksen kohteena, vaan
pääkysymys on kuinka monella eri
tavalla oppilaat voivat tehdä sen.
40
Esimerkki 10.
“Suklaarasiaongelma”
• Kuinka monta
suklaamakeista
on rasiassa?
• Pyri löytämään
mahdollisimman
monta erilaista
tapaa laskea ne.
41
Esimerkki 11
• Murtolukujen vertailuongelma
(Hashimoto & Becker 1999):
Kumpi murtoluku on suurempi: 4/5 vai
3/4 ? Koeta löytää erilaisia keinoja
toteuttaa vertailu.
42
Esimerkki 13
• Marmorikuulaongelma (Nohda 1995, 60): Kuva alla
näyttää kolmen oppilaan A, B ja C heittämien
marmorikuulien hajontakuvion. Tässä pelissä se
oppilas voittaa, jolla on pienin hajontakuvio. Kehitä
sopiva numeerinen mitta hajonnan asteelle.
.
.
.
.
.
.
. .
. .
.. . .
.
43
MietitŠŠn erilaisia ratkaisuvaihtoehtojen hyviŠ
ja huonoja puolia. TŠmŠn jŠlkeen mieti
vaihtoehdoistasi ongelman paras ratkaisu.
Avoin lŠhestymistapa tŠhtŠŠ oppilaiden
luovuud en ja ongelmanratkaisutaitojen
edistŠmiseen.
Siksi, avoimen lŠhestymistavan keskeinen
kysymys on kehittŠŠ mahdollisimman monia
eri tapoja pŠŠstŠ ratkaisuun.
44
Muita ongelmaratkaisumuunnoksia
• Tässä kuvataan muutama koululuokassa
käyttökelpoiseksi havaittu opetusmenetelmä:
- kognitiivisen ristiriidan käyttäminen,
- opetuskeskustelu koko luokan kanssa,
- projektityöskentely,
- PISA-tehtäviä.
45
Kognitiivinen ristiriita
• Oppilailla on omat ennakkokäsityksensä
tilanteista ja niiden selityksistä; ne ovat
muodostuneet heidän kokemustensa, tietojensa
ja ajatteluprosessiensa kautta.
• Nämä käsitykset voivat olla ristiriidassa
matemaattisen tiedon kanssa.
• Opettajan tehtävä on nostaa esiin oppilaan
ajattelun ja matematiikan välinen ristiriita,
auttaa oppilasta huomaamaan se ja sitten
keksiä tapoja, miten he voivat korjata
käsityksiään.
46
Esimerkki 14
• Matematiikan tunnilla oppilaat muistivat
väärin suunnikkaan pinta-alan kaavan
("sivu kertaa sivu") eikä opettaja
halunnut opettaa kaavaa vain muistiin
tukeutuen.
• Opettaja lähti liikkeelle suorakulmion
pinta-alasta ja valmisti pikaisesti
"liikkuvan suunnikkaan" pahvisuikaleista ja nastoista.
47
HŠn saattoi nyt nŠyttŠŠ piirt oheittimellŠ
erilaisia suunnikkaita, joiden sivujen pituud et
olivat vakioita.
Kun tŠllaisen suunnikkaan kulma
pienennettiin lŠhelle nollaa, jolloin pintaalakin nŠytti menevŠn kohti nollaa, oppilaat
havaitsivat itse, ettei heidŠn muistamansa
kaava ("sivu kertaa sivu") voinut olla oikea.
NŠin he olivat valmiit ottamaan vastaan
tarkistetun pinta-alan kaavan ja sen
perustelut.
48
Opetuskeskustelu
koko luokan kanssa
• Oppilaiden kanssa keskusteleva opettaja voi
vaikuttaa reittiin, jota pitkin käsitteen
muodostaminen tai korjautuminen
arkikäsityksestä tieteelliseksi etenee.
• Kun oppilaat ja opettaja kertovat toisilleen
omista käsityksistään, oppilaat tulevat
tietoisiksi käsitystensä virheellisyydestä tai
puutteellisuudesta ja he voivat pyrkiä
muuttamaan niitä.
49
Esimerkki 15 (laskupyramidi)
• Tehtäväsarja on kehitetty harjoittamaan
oppilaita kokonaislukujen yhteen- ja
vähennyslaskussa sekä samanaikaisesti
edistämään heidän yleisiä päättelytaitoja.
• Siitä saadaan alaluokkien opetukseen
soveltuva muunnos poistamalla miinusmerkit sekä tarkistamalla joitakin
kysymyksiä.
50
Laske ai na k ah den al emmassa ru u dussa ole van l uvu n summa ja sijoi ta se ylŠ puolel la
ole vaan ruu tuun . Mi kŠ lu ku saadaan ylim pŠ Šn ru u tuu n?
-2
-2
3
-7
5
51
Laskupyramidi 2
• Jos em. laskupyramidissa muutetaan lähtölukuja (-2, 3, -7, 5), mitä vaikutusta sillä on
saatuun ylimpään lukuun.
• Kokeile muuttamalla kerrallaan vain yhtä
lähtölukua ja vain yhden kokonaisen verran
(esim. -1, 3, -7, 5).
• Löydätkö säännönmukaisuutta, jonka avulla
voisit ennustaa muutoksen etukäteen? Kokeile
arvauksiasi.
52
Laskupyramidi 3
• Tässä käsitellyssä esimerkissä laskupyramidin
ylimmäksi luvuksi saatiin -9.
• Tutki, voidaanko laatia toinen laskupyramidi
(siis valita eri lähtöluvut kuin -2, 3, -7 ja 5),
josta myös saataisiin ylimmäksi luvuksi -9.
• Löydätkö vielä yhden erilaisen laskupyramidin,
jonka ylin luku on -9?
• Kuinka monta erilaista laskupyramidia on
olemassa kaikkiaan, joissa ylin luku on -9?
Mitä arvaisit? Koeta perustella arvauksesi.
53
Laskupyramidi 4
• Koeta laatia laskupyramidi, jossa ylin
luku olisi 10.
• Entä laskupyramidi, jossa ylin luku olisi
–100?
• Tutki, mitkä luvut ylipäänsä voivat olla
laskupyramidin ylimpänä lukuna.
54
Projektityöskentely
• Projektityöllä tarkoitetaan yleensä suurehkoa,
useita oppitunteja kestävää tehtävää, jonka
oppilaat tekevät usein ryhmissä ja joka usein
ylittää oppiainerajat.
• Projektityön tunnusomaisia piirteitä ovat:
toiminnallisuus, ongelmakeskeisyys,
tavoitteellisuus, tulosvastuullisuus,
yhteistoiminnallisuus ja suunnitelmallisuus.
55
Esimerkki 16
• Esimerkiksi biologian ja matematiikan
yhdistävän projektityön käynnistävä
kysymys voisi olla seuraava:
• Kuinka korkeiksi kasvavat tavallisimmat
puulajit (mänty, kuusi, koivu, …)?
• Tätä voisi täsmentää esim. seuraavalla
työohjeella: Selvitä työselostuksessa mm.
puun korkeuden määritystapa.
56
PISA-tehtäviä
• Neljässä kansainvälisessä PISAtutkimuksessa suomalaisten suoritukset
ovat selkeästi kansainvälisen PISAvertailun kärjessä.
• Suomalaista PISA-menestystä on
tarkemmin selvitetty mm. Dimensioartikkelissa Pehkonen & Kupiainen
(2008).
57
Mikä on PISA?
• PISA pyrkii arvioimaan, miten hyvin
peruskoulun päättövaiheessa olevat
oppilaat hallitsevat “valistuneelta,
harkitsevalta kansalaiselta ja
kuluttajalta” vaadittavat taidot.
• PISA-vertailuissa arvioidaan Suomessa
9-luokkalaisten osaamista kolmella
pääalueella: lukeminen, matematiikka ja
luonnontieteet.
58
Esimerkki 18
• Loma (OECD 2006, 77–78): Tässä
tehtävässä on selvitettävä, mikä olisi
paras reitti lomamatkaa varten. Kuvat A
ja B näyttävät karttaa alueesta ja
välimatkoja kaupunkien välillä.
59
Kuva A. Kartta kaupunkien
välisistä teistä.
60
Kuva B. Lyhyin välimatka
kaupungista toiseen kilometreissä.
61
Kysymys 1: Loma
• Laske lyhyin välimatka tietä pitkin
kaupunkien Nuben ja Kado välillä.
62
Kysymys 2: Loma
• Sanna asuu Angaz’issa. Hän haluaa käydä
Kado’ssa ja Lapat’issa. Hän voi matkustaa
enintään 300 km yhdessä päivässä, mutta
voi keskeyttää matkansa missä tahansa
kaupunkien välissä ja yöpyä teltassa.
Sanna haluaa viipyä molemmissa kaupungeissa kaksi yötä, jotta voi kuluttaa yhden
päivän katsellen kaupungin nähtävyyksiä.
Esitä Sannan matkasuunnitelma täydentäen seuraavaan taulukkoon paikat, joissa
63
hän yöpyy.
64