Transcript LoogilisedTehted(1).

Lausearvutus
Lause mõiste
• Lause on mistahes grammaatiline lause, mille
korral saab rääkida sisu vastavusest või
mittevastavusest tegelikkusele.
• Kui sisu vastab tegelikkusele, siis nimetatakse
lauset tõeseks.
• Kui sisu ei vasta tegelikkusele, siis nimetatakse
lauset vääraks.
• Lause tegelikkusele vastavuse määr (tõene/
väär) on lause tõeväärtus.
Lause mõiste
• Matemaatilise loogika lauseid tähistatakse ladina
tähestiku tähtedega A, B,...
T; 1; t (tõene)
• Lause tõeväärtuse tähiseks on
V; 0; v (väär)
• Hüpoteene, definitsioone, küsilauseid,
hüüdlauseid ei loeta matemaatilise loogika
lauseteks.
• "Mis on uudist?", “Tere", "Korrutage arvud 5 ja
9", “x-1=0" ei ole lausearvutuse lauseteks, sest ei
ole võimalik määrata nende tõeväärtust.
•
•
•
•
•
•
•
Lihtlausete näiteid:
Lause A: “17 on algarv" = 1
Lause B: "Täna on ilus ilm" = 0
Lause C: "2 · 2 = 5" = 0
Lause D: "Täna sajab lund" = 1
Lause E: "Päike paistab" = 0
Lausearvutuse lauseteks ei ole: ”Kuidas läheb?”,
“Olla või mitte olla” ,“Tere!” , “x–1=2”.
Loogikatehted
• Loogikatehte abil moodustatakse
lihtlausetest liitlauseid. Liitlause koosseisu
kuuluvat lauset nim. osalauseks või
komponentlauseks.
• 2 kokkulepet:
• 1.Loogikatehteid võib sooritada mistahes
sisuga lausetega
• 2.Liitlause tõeväärtus sõltub ainult osalausete
tõeväärtustest
Loogikatehted
• Põhilised loogikatehted:
• "ei" (eitus, inversioon, ⅂)
• "ja" ("ja"-tehe,"ning"-tehe,konjunktsioon, & ,
∧, *)
• "või" ("või"-tehe, disjunktsioon, ∨, + )
• "kui" ….., "siis" ……. (järelduse tegemine,
implikatsioon, ⇒, →)
• "siis ja ainult siis" ("parajasti siis", samaväärsus,
ekvivalents, ⇔, ∼)
• Liitlause näide:
• “Üliõpilane sooritab eksamit ainult siis, kui ta
õpib või on fortuuna soosik.”
• E ⇔ (Õ ∨ F)
• “Ei ole tõsi, et kui Kadri on tugev füüsikas, siis
ta matemaatikas tugev ei ole, ja ei ole tõsi, et
Kadri on tugev matemaatikas ja füüsikas
korraga.” ⅂(F ⇒⅂ M) & ⅂(M & F)
• “Üliõpilane alati magab esimese loengu ajal.”
• L1 ⇒ M
Konjuktsioon
• Def. Kahe lause A ja B konjunksiooniks nim.
liitlauset A&B (A ∧ B), mis on tõene siis ja
ainult siis, kui mõlemad komponentlaused on
tõesed (A = 1 ja B = 1).
A
B
A&B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Disjunksioon
• Def. Kahe lause A ja B disjunksiooniks nim.
liitlauset A∨B, mis on väär siis ja ainult siis, kui
mõlemad komponentlaused on väärad (A =
0 ja B = 0).
A
B
A∨ B
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Implikatsioon
• Def. Kahe lause A ja B implikatsiooniks nim.
liitlauset A ⇒ B (loetakse: kui A, siis B), mis on
väär siis ja ainult siis, kui esimene komponentlause A on tõene, aga teine komponentlause B
on väär (A = 1 ja B = 0).
A
B
A⇒ B
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Ekvivalents
• Def. Kahe lause A ja B ekvivalentsiks nimetatakse
liitlauset A ⇔ B ( loetakse: A siis ja ainult siis, kui
B), mis on tõene siis ja ainult siis ,kui mõlemad
komponentlaused A ja B omavad
ühesuguseid tõeväärtusi.
A
B
A⇔ B
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Eitus
• Def. Lause A eituseks nimetatakse lauset ⅂A
(loetakse: pole tõsi, et A või mitte A), mis
on tõene siis ja ainult siis, kui lause A on
väär.
A
⅂A
1
0
0
1