Transcript 2. Predikaatarvutus.

2. Predikaatarvutus.
• põhineb lihtlausete jaotamisel lauseliikmeteks,
olles seega lausearvutuse oluline laiendus.
• saab nimetada asju ja rääkida nende omadustest,
seega on tegemist tunduvalt väljendusvõimelisema
vahendiga.
• valemite tõesuse ja kehtestatavuse kontroll
oluliselt raskem kui lausearvutuses.
2.1.Süntaks.
Predikaatarvutuse tähestik koosneb järgmistest
sümbolitest:
• predikaatsümbolid
• indiviidmuutujad
• indiviidkonstantide sümbolid
• loogiliste tehete sümbolid

• sulud
• Indiviidtermid on indiviidkonstantide sümbolid ja
indiviidmuutujad.
• Atomaarne valem on kas kujul L, kus L on
lausemuutuja, või kujul p(t1, …, tn), kus p on nmuutuja predikaatsümbol ja t1, …, tn on
indiviidtermid.
Valemid:
•
•
•
•
Atomaarne valem on valem.
T ja  on valemid.
Kui p on valem, siis p on valem.
Kui p ja q on valemid, siis (pq), (pq), (pq) ja
(pq) on valemid.
• Kui p on valem ja v on indiviidmuutuja, siis v p
ja v p on valemid.
• Kvantorid seovad muutujaid valemis. Muutuja on
seotud, kui kõik tema esinemised on valemis
seotud. Vastasel juhul on tegemist vaba
muutujaga.
• Valem on kinnine, kui kõik tema muutujad on
seotud. Vastasel juhul on tegemist lahtise
valemiga.
• Me vaatleme valemeid, mis ei sisalda vabu
muutujaid.
• Lauseks nimetame predikaatarvutuse valemit,
milles ei ole vabu muutujaid.
2.2. Semantika.
• Predikaatarvutuse lause tõesuse kontrollimiseks
tuleb läbi vaadata kõik selle lause tähendused.
Tõeväärtustabelist meil siin abi pole, sest
predikaadi tõeväärtus sõltub selle argumentidest.
• Olgu fikseeritud predikaatarvutuse signatuur
(indiviidkonstantide ja predikaatkonstantide
tähestik) (Const; Pred).
• Olgu U põhihulk (universum).
• Predikaatarvutuse interpretatsiooniks I
nimetatakse funktsiooni, mis igale
indiviidkonstandile seab vastavusse mingi
elemendi põhihulgast ja igale predikaatkonstandile
mingi funktsiooni Un  {1,0}.
• Kuna predikaatarvutuse lausetes pole vabu
muutujaid, on iga lause antud interpretatsiooni
korral kas tõene või väär.
• Kui valem p on interpretatsioonis I tõene, siis
kirjutame I p.
• Interpretatsiooni I, milles kõik hulga L valemid on
tõesed, nimetame valemite hulga L mudeliks.
Olgu antud interpretatsioon I ja universum U.
• Kinnine atomaarne valem P(t1, …, tn) on
interpretatsioonis I tõene parajasti siis, kui t1, …,
tn interpretatsioonide jada (t1I, …, tnI) kuulub
predikaadi P tõehulka PI.
I P(t1, …, tn)  (t1I, …, tnI)  PI.
• I p  I p
• I pq  I p ja I q
I pq  I p või I q
I pq  I p või I q
I pq  (I p ja I q) või (I p ja I q)
• I x p  iga cU korral I p{x/c}
I x p  leidub selline cU, mille korral I
p{x/c}
• Valem p on predikaatarvutuses loogiliselt tõene
(üldkehtiv, tautoloogiline), kui see on tõene igas
tema tähestiku interpretatsioonis. Kui valem p on
igas interpretatsioonis väär, siis on ta loogiliselt
väär.
• Valemite hulgast L järeldub loogiliselt valem p (
L p), kui iga L mudel on ka p mudel. Kui
eelduste hulk on tühi, siis p   p.
Lause. Kõik lausearvutuse tautoloogiate erikujud on
predikaatarvutuses loogiliselt tõesed.
• x A  x A
• x A  x A
• x A  x A
• x y A  y x A
•
•
•
•
•
•
x (A  B)  x A  x B
x (A  B)  x A  x B
x A  x B  x (A  B)
x (A  B)  x A  x B
(x A  x B)  x (A  B)
x (A  B)  (x A  x B)
• Kui kaks suvalist lauset ei saa olla korraga tõesed,
siis on need laused teineteise vastandid (p q ja
q p). Erijuhuna, kui nende lausete tõeväärtused
on alati erinevad, siis nimetatakse neid
vasturääkivateks lauseteks ( p = q).
• Mitu kvantorit järjest:
Kahe lause ees oleva üldisuse kvantori
vahetamisel saadakse esialgsega loogiliselt
ekvivalentne lause. Sama kehtib ka olemasolu
kvantori korral. Erinevat tüüpi kvantorite korral
võib üldisuse kvantori tõsta olemasolu kvantori
ette, ent mitte vastupidi.
2.3. Skolemiseerimine
• Skolemiseerimise (Skolemi normaalkujule
viimise) idee on teisendada predikaatloogika
valem A kvantorivabale kujule A’ nii, et A on
kehtestatav parajasti siis, kui A’ on kehtestatav.
• Idee: x y A(x, y) on kehtestatav parajasti siis,
kui A(x, f(x)) on kehtestatav, kus f on uus unaarne
funktsioonisümbol.
• Prenekskuju on valem Q1 x1 … Qnxn M, kus Qi on
kvantorid ning M on kvantorivaba valem (nn
maatriks).
• Skolemiseerimiseks viiakse kvantorid välja ehk
valem prenekskujule, kasutades:
x A  x A, x A  x A,
(x A)  B  x A  B, (x A)  B  x A  B,
(x A)  B  x A  B, (x A)  B  xA  B.
• Kvantorid jäetakse ära, üldisuskvantoriga seotud
muutuja esinemised jäävad paika,
eksistentsikvantoriga seotud muutuja y esinemised
asendatakse termiga f(x1, …, xn),
kus n on antud eksistentsikvantorile eelnenud
üldsuskvantorite arv, x1, …, xn on vastavad seotud
muutujad ning f on uus n-kohaline
funktsioonisümbol:
• nt. x1 y1 x2 y2 A(x1, y1, x2, y2) asendatakse
A(x1, f(x1), x2, f(x1, x2)).
• Skolemi funktsioone kasutatakse teoreemide
automaatsel tõestamisel.