Slide 1

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 2

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 3

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 4

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 5

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 6

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 7

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 8

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 9

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 10

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 11

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 12

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 13

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 14

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa


Slide 15

Prisma ja püramiid.

I Hulktahukad.
Põhiline, mida hulktahukate
puhul teadma peab.

Hulktahukad. Jaotus.
 Hulktahukas on
hulknurkadega piiratud
geomeetriline keha.
 Jagunevad kumerateks ja
mittekumerateks:
kumeratel jääb iga kahte
hulknurga punkti ühendav
lõik selle hulktahuka sisse.
 Kumer hulktahukas, mille
tahud on omavahel võrdsed
korrapärased hulknurgad ja
mille kõik mitmetahulised
nurgad on võrdsed, on
korrapärane hulktahukas.

kuup

b!-eeder

Hulktahukad. Mõisted.
servad

tahud

diagonaal

diagonaallõige

tipud

II Prisma.
Prisma ja kaldprisma. Nendega
seonduvad valemid.

Prisma. Definitsioon.
 Prisma on hulktahukas,
mille kaks külge (põhjad)
on paralleelsed vastavalt
võrdsete külgedega
hulknurgad ning ülejäänud
tahud (külgtahud) on
rööpkülikud.
 Kaks erinevat tüüpi: püstja kaldprismad. Püstprisma
külgservad risti põhjadega,
külgtahkudeks ristkülikud.
 Korrapärase prisma
põhjadeks on korrapärased
hulktahukad.

püstprisma

kaldprisma

Prisma. Kaldprisma. Valemid.
 Ristlõike ümbermõõt ja
pindala (Pr, Sr):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = Pr · l

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sr · l

põhi

l

l

Prisma. Püstprisma. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = P · h

 Täispindala (St):
 St = 2 · Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = Sp · h

põhi

h
h

Prisma. Erijuhtude omadusi.
 Erijuhtumid:
 Rööptahukas – prisma, põhjaks on rööpkülik.
 Kõik rööptahuka tahud on rööpkülikud.
 Kõik vastastahud on võrdsed ja paralleelsed.
 Diagonaalide lõikepunkt poolitab diagonaalid.

 Risttahukas – rööptahukas, põhjaks on ristkülik.
 Kõik diagonaalid on võrdsed ja tahud ristkülikud.
 Diagonaali ruut on võrdne külgede ruutude summaga.
 Tahu diagonaali ruut on võrdne tahu kahe
naaberkülje ruutude summaga.

 Kuup – risttahukas, mille kõik servad on võrdsed.
 Kuubi kõik tahud on ruudud küljega a.
 Tahu diagonaali pikkus on a 2 , kuubi diagonaal a 3 .

III Püramiid.
Püramiid. Valemid. Põhjaga
paralleelne lõige.

Püramiid. Definitsioon.
 Püramiid on hulktahukas,
mille üks tahk (põhi) on
hulknurk ja kõik ülejäänud
tahud (külgtahud) on ühise
tipuga kolmnurgad.
 Püramiidi kõrgus (h) on
tipust põhjale tõmmatud
ristlõik.
 Püramiidi tippu ja põhja
diagonaali läbiv tasand on
diagonaaltasand.
 Püramiid on korrapärane,
kui selle põhjaks on
korrapärane hulknurk.

kolmnurkne
püramiid

h

Püramiid. Valemid.
 Põhja ümbermõõt ja
pindala (P, Sp):
 vastava hulknurga P, S

 Külgpindala (Sk):
 Sk = S1 + S2 + ... + Sn

põhi

 Täispindala (St):
 St = Sp + Sk

 Ruumala (V):
 V = ( Sp · h ) : 3

h

Püramiid. Korrapärane püramiid.
 Püramiidi apoteem ehk
külgtahu kõrgus (m):
 m2 = b2 – ( a2 : 4 )

 Külgpindala (Sk):
 Sk = ( n · a · m ) : 2

põhi

 Põhja pindala (Sp):

b

 Sp = p · r

 Täispindala (St)
 St = Sp + Sk

m

h
a
r

 Ruumala (V)
 V = ( Sp · h ) : 3

b

a

a

Püramiid. Põhjaga paralleelne lõige.
 Kui lõigata püramiidi
põhjaga paralleelse
tasandiga, tekib kaks
püramiidi, mille:
 külgservad ja kõrgus on
võrdelised,
 põhjad on samasugused
hulknurgad ning
 põhjade pindalad
suhtuvad nagu vastavate
kõrguste ruudud.
 Eemaldades lõike põhjale
moodustuva püramiidi,
saame tüvipüramiidi.

põhi

h1

h

Aitäh!
Julius Juurmaa