Transcript Mõõtmine põhikooli matemaatikas

Mõõtmine põhikooli
matemaatikas
Meeli Haljand, Tiiu Kaljas
Tallinna Ülikool
Mõõtmine põhikooli matemaatikas
Mõõtmine on oma olemuselt protsess, mille kaudu
on määratletud konkreetne arvuline väärtus, mis
omistatakse objektile või sündmusele.
 Koolimatemaatika programmid näevad ette näiteks
järgmiste mõõtmisega seotud mõistete käsitlemist:
pikkus, pindala, mass, ruumala, nurk, aeg,
temperatuur.

Mõõtmine põhikooli matemaatikas

Need mõõdetavate objektide või nähtuste omadused
on oma olemuselt erinevad, kuid nende mõistetega
tutvumine eeldab teatavate etappide läbimist, mis
aitavad õpilastel aru saada mõõdetavast suurusest ja
õpetavad mõõtma objektide omadusi või ka
vastavaid sündmusi.
Mõõtmine põhikooli matemaatikas





Neid etappe saab kirjeldada järgmiselt:
1) võrreldakse objekte, tuginedes tajule;
2) valitakse võrdlemise ühik, mis võib olla kas
juhuslik või standartne;
3) võrreldakse objekti mõõtühikuga;
4) loendatakse ühikute arv, selleks kasutatakse ka
mõõtevahendeid, vastavaid valemeid.
Pikkus




Intuitiivne arusaamine, kui esmalt hinnatakse
objektide pikkusi silma järgi.
konkreetse objekti pikkuse leidmine, kasutades enda
valitud „ühikut“, näiteks pliiatsit.
Erinevate lõikude pikkuste võrdlemine, kus ühikuks
üks lõikudest.
Mõõtühikute kümnendsüsteem, pikkuste konkreetne
mõõtmine. Õpilased peavad saama ise palju
konkreetseid esemeid mõõta.
Pikkus

Pikkuste ligikaudne hindamine ei võimalda ainult
„arvata ja kontrollida“, vaid ta annab ka põhjuse
mõõtmiseks. Erinevate tegevuste kaudu tuleks
arendada laste arusaamist pikkusest kui omadusest,
mis ei iseloomusta ainult pikki ja peenikesi objekte.
Näiteks on võimalik mõõta ka inimese
puusaümbermõõtu, silindriliste kujundite
ümbermõõtu jms.
Pindala





Intuitiivne arusaamine:
-et pindala on tasapinnaliste kujundite teatav arvuliselt
kirjeldatav omadus, mida saab ka silma järgi hinnata,
-kui vastavate objektide erinevused kirjeldatava omaduse
suhtes on piisavalt suured ja
-kui objektid ise on piisavalt sarnased, näiteks raamatu kaane
pind, tahvli pind jne.
Sarnaseid kujundeid oleks lihtsam võrrelda, kui neid oleks
võimalik välja lõigata ja teineteise peale asetada. Juhul kui
see pole võimalik, tuleks otsida kolmas kujund, millega saaks
teostada kaudset võrdlust.
Pindala




Järgmise sammuna tuleks ühikuna kasutada konkreetse
küljepikkusega ruudukest ning loendada, mitu ruutu või
ühikruutu vaadeldavale pinnale mahub.
Viimasena tuleks pindala leidmiseks tutvustada pindala
arvutamise valemit.
Pindala arvutamise valemite mehhaanilisele kasutamisele
peab eelnema praktiline tegevus.
Kujundi katmist suvalise ühikuga või ühikruuduga peaks
õpilane iseseisvalt läbi viima või õpetaja visuaalselt
demonstreerima erinevaid töövahendeid kasutades.
Ruumala





Mõiste selgitamist alustada otsesest võrdlusest. Soovitatakse
kallata vett või liiva ühest anumast teise ja seejärel teha
vastavad järeldused.
Pärast eksperimenteerimist saab teha juba ka tajule toetuvaid
järeldusi.
Kolmanda sammuna võiks täpseks mõõtmiseks kasutada
vastava märgistusega anumat.
Ruumala ühikutest soovitatakse kõigepealt tutvustada liitri
mõistet ja alles seejärel teisi ruumalaühikuid.
Kindlasti soovitatakse ruumala mõiste kujundamisel ja
ruumala valemi tuletamisel rakendada neid praktilisi tegevusi,
mida kasutatakse pindala mõiste kujundamisel.
Mõõtmine põhikooli matemaatikas




Arvutades on oluline teada:
millises arvusüsteemis me arvutusi teeme,
millist ühikut kasutame mõõtmisel?
Viimane sõltub mõõdetavast suurusest ja
mõõtmisobjektist.
Mõõtmisprotsess








Mõõtmisprotsess eeldab alati ühiku olemasolu;
kaht mõõtmistulemust on lihtne võrrelda, kui kasutada
võrdseid ühikuid;
mõni ühik võib mõõtmisel olla sobivam kui teine;
ühik, mida mõõtmisel kasutatakse, sõltub mõõdetavast
objektist või nähtusest ja soovitavast tulemuse täpsusest;
ühikute arvu ja ühikute suuruse vahel kehtib teatud pöördsuhe
– kui objekti mõõta kolme erineva ühiku abil, siis mida
suurem on ühik, seda väiksem on vastav mõõtühikute arv;
standardühikud on vajalikud mõõtmistulemustest üheselt
arusaamiseks;
väiksem ühik annab täpsema mõõtmistulemuse;
kõik mõõtmistulemused on ligikaudsed.
Mõõtmine põhikooli matemaatikas


Mõõtmise teema tähtsus koolimatemaatikas otseselt seotud reaalse elu probleemide
lahendamisega.
Mõõtmise teema on ühendavaks lüliks aritmeetika ja
geomeetria vahel.
Aritmeetika
Mõõtmine
Geomeetria
Mõõtmine põhikooli matemaatikas

Mõõtmise teemaga seonduv valmistab
õpilastele suuri raskusi

Tasemetööde tulemused 2011. aastal - 6. klass
Väga keeruliseks osutus sentimeetrite ja meetrite
teisendamine kilomeetriteks
Mõisted kolmnurga pindala ja kolmnurga
ümbermõõt ära vahetatud; pindalaks aluse ja haara
korrutis.
Kes pagan mõõdab vahemaad väravani
sentimeetrites? Ja ärge tulge rääkima elulisusest!



Mõõtmine põhikooli matemaatikas






Pooled õpilastest pole osanud teisendada pindala ja ruumala
ühikuid.
Levinud veana leitakse kolmnurga pindala asemel
ümbermõõt.
Sarnaselt on pindala ja ümbermõõdu valemeid segamini aetud
ka ristküliku pindala arvutamisel
Üheks probleemiks võib olla ümbermõõdu tähistamine tähega
P.
Pindala mõiste ja pindala arvutamine on õpilaste jaoks pigem
formaalne kui sisuline tegevus.
H. Jukk (2004)
Õpetajate küsitlus
2013. aasta kevad






Õpilased ei tunneta pikkusühikuid; nad ajavad sageli
segamini mõisted „ümbermõõt“ ja „pindala“;
õpilased ei saa aru mõistetest „pikkus“ ja „laius“;
õpilastel on raskusi ruumala mõiste omandamisega, ruumala
mõiste aetakse segamini pindala ja massi mõistega;
suuri raskusi valmistab pea igas tasemetöös oleva mahuühiku
„liiter“ olemus, kuigi seda ühikut kasutatakse sageli
igapäevaelus;
õpilased ei taju massi ühikuid, massi mõiste aetakse segamini
ruumala mõistega;
on õpilasi, kes ei oska lugeda nn seieritega kella; ei teata, et
ajaühikud kuuluvad kuuekümnendsüsteemi.
Õppekava - I kooliaste





Kasutab mõõtes sobivaid mõõtühikuid, kirjeldab
mõõtühikute suurust temale tuttavate suuruste
kaudu;
hindab looduses kaugusi ning lahendab
liiklusohutuse ülesandeid;
teisendab pikkus-, massi- ja ajaühikuid (valdavalt
ainult naaberühikuid;
mõõdab õpitud geomeetriliste kujundite küljed ning
arvutab ümbermõõdu;
kasutab mõõtes sobivaid mõõtühikuid, kirjeldab
mõõtühikute suurust temale tuttavate suuruste kaudu.
Õppekava - II kooliaste

teab ning teisendab pikkus-, pindala-,
ruumala- ja ajaühikuid

Arusaada objektide mõõtmise vajadusest,
mõõtühikute süsteemist ja mõõtmise
protsessist.
PISA ülesanne


Millisel kujundil on suurim pindala? Selgita, kuidas leidsid.
Kirjelda mingit meetodit kujundi C pindala ja ümbermõõdu
leidmiseks.
PISA ülesanne

Hinda Antarktika pindala, kasutades juuresolevat mõõtkavaga
kaarti. Kirjelda oma tööd ja selgita, kuidas leidsid pindala,
võid joonistada ka kaardile (6. tase).
Õpetajate küsitlus
2013. aasta kevad

Õpetaja D selgitab, et pindala mõiste juurde minnes
alustab ta ülesannetest, kus tuleb esialgu pindala
hinnata silma järgi. Enne vastava valemi juurde
jõudmist lahendatakse ka ülesandeid, kus tuleb
kokku lugeda, mitu ruutu ristküliku sisse mahub.
Õpetajate küsitlus
2013. aasta kevad

Õpetaja A mõõdab õpilastega koos oma sõrme,
peopesa ja iseenda pikkuse. Tema arvates peaks
õpilastele meelde jääma, et õpetaja on pikem kui 1 m
ja lühem kui 2 m. Sama õpetaja mõõdab ära ka klassi
pikkuse ja laiuse, et õpilastel oleks ligikaudugi teada,
millised klassi mõõtmed on. Õpetaja arvates on
oluline ka see, et õpilased valiksid õige ühiku
pikkuse mõõtmisel: lühemaid esemeid mõõdetakse
sentimeetrites, pikemaid meetrites ning väga suuri
kilomeetrites. Viimane paneb aluse ka pikkusühikute
vahelistele seostele.
Õpetajate küsitlus
2013. aasta kevad

Õpetaja G seostab ruumala mõiste klassiruumiga ja
selgitab, mida tähendab ruumi täitmine
kuupmeetritega, kuidas me ruumi kuupe paigutame
ja kuidas siis vastavat ruumala mõõta. Ruumala
valemite tuletamisel küsib õpetaja alati, millise
ühikuga on lõppvastus, et luua seos vastava valemi
ja mõõtühiku vahel.
Õpetajate küsitlus
2013. aasta kevad

Õpetaja I toob klassi meepurgi ja krõpsupaki ning
selgitab nende abil massi mõistet. Kumb on raskem?
Millest see sõltub? Kas ruumalast või millestki
muust?
Järeldused küsitlusest




Kui võrrelda õpetajate vastuseid eespool loetletud
seisukohtadega, siis näeme, et õpetajad on neist küllaltki
paljusid mainitud.
Mõõtühikutevaheliste seoste tuletamisel lähtuvad õpetajad
sageli seaduspärasustest ja loogikast.
Mõõtmisprotsessi käigus ei mõõdeta objektide omadusi
mittestandardsete ühikutega ja liialt pööratakse tähelepanu
vastavate valemite rakendusoskuse omandamisele, mitte
sisulisele omandamisele.
Viimane on kindlasti seotud põhikooli riiklikus õppekavas
olevaga. Õppekava järgi tuleb mõõtmise olemusest aru saada
väga varakult ja lühikese ajaperioodi jooksul.
Järeldused küsitlusest




Pikkuse mõiste kujundamine toimub kolmandas klassis,
pindala 4. klassis ja ruumala 5. klassis.
Paljudele meist on teada tõsiasi, et sageli on 4. klassi õpilaste
jaoks probleemne ruudu ümbermõõdu ja pindala valemite
rakendamine.
Tasemetööde analüüsides on selgelt välja toodud, et 5.
klassis õpilased valdavalt ei omanda ruumala mõistet. On
selge, et nende mõistete sisulise poolega tuleb tegeleda kogu
põhikooli jooksul, mitte drillida ainult valemeid nende sisust
aru saamata.
Valemite ületähtsustamine on tõenäoliselt viinud selleni, et
erinevat tähelist sümboolikat kasutades ei suuda õpilased
vastavaid valemeid rakendada.
Järeldused küsitlusest

Õpetajate küsitlusest selgus ka, et mõõtühikute
teisendamise oskus on otseselt seotud
arvutamisoskusega. Kui õpilane ei oska nt korrutada
arvu järguühikuga, siis ta ei oska ka mõõtühikuid
teisendada. Kinnitust sai ka väide, et mõõtmise
teema omandatus sõltub sellest, kui hästi tuntakse
geomeetrilisi kujundeid.
Mõõtmine põhikooli matemaatikas






Mõõtmise temaatika õpetamine loob head eeldused
probleemõppe läbiviimiseks. Näiteks Vormsi saare pindala
leidmiseks võivad õpilased toimida järgmiselt:
kata sobiva suurusega ehk mõõtmetega Vormsi kaart
läbipaistva ruudulise kilega, kus ruudu serva pikkus on 1 cm
kata kaart kilega, mille peal on võrdse kaugusega paralleelsed
sirged (kaugus olgu näiteks 1 cm
kasuta ruudulise kile asemel täpilist kilet;
kasuta pindala leidmisel kaalumist;
puista pinnatükile riisiteri.
Mõõtmine põhikooli matemaatikas

Tarkvaraprogramm GeoGebra võimalda mõõtmist veelgi lihtsamalt läbi
viia. Näiteks joonisel oleva kujundi ligikaudne pindala ühikruutudes on
välimise ja sisemise hulknurga pindalade aritmeetiline keskmine. Seega
43 ühikruutu.
Üheks heaks abimeheks on ka geolaudkummidega koosteraamid
Mõõtmine põhikooli matemaatikas

Tänan tähelepanu eest.