Transcript Ülesande lahendamine siinus- ja koosinusteoreemi

ÜLESANDE LAHENDAMINE
SIINUS - JA
KOOSINUSTEOREEMI ABIL.
Kertu Hongonen
G1
TIK
ÜLESANNE
 Kolmnurkse maatüki kaks külge on 230 meetrit ja 220
meetrit ning nendevaheline nurk on 80˚. Kui suur maa-ala on
vaja üles künda, et sellest saaks teha põllu?
JOONIS
JOONISE TÄIENDAMINE
 Täiendame joonist tähistega,
et oleks lihtsam
valemeid
kasutada.
LAHENDUS
 Vaja on arvutada pindala. Kasutame valemit 𝑆 =
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾
2
 Antud on ainult külg b. Seega peame leidma külje 𝑎 ning
nurga γ.
KOOSINUSTEOREEM
 Külje a saab leida kasutades koosinusteoreemi, sest meil on
antud küljed b ja c ning nurk α.
 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2 ∙ 𝑏𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼
 Asendame tähised arvudega ning saame külje 𝑎.
 𝑎2 = 2302 + 2202 − 2 ∙ 230 ∙ 220 ∙ 𝑐𝑜𝑠80° ≈ 83727
 𝑎 = 83727 ≈ 289 (𝑚)
SIINUSTEOREEM
 Nurga βsaab leida kasutades siinusteoreemi, sest meil on antud
külg b ja 𝑎 ning nurk α.

𝑎
𝑠𝑖𝑛𝛼

289
𝑠𝑖𝑛80°
=
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝛽
=
230
𝑐
𝑠𝑖𝑛𝛾
= 2𝑅 (Antud ülesandes pole vaja 2R)
= 𝑠𝑖𝑛𝛽 ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝛽 =
𝑠𝑖𝑛80°∙230
289
⇒ 𝛽 ≈ 52°
NURGA  LEIDMINE
 Nurk γ saab tegelikult leida ka siinusteoreemi abil, sest külg c on
antud. Kindlaim viis on seda leida valemi abil. Kolmnurga sisenurkade
summa on 180°. Kui lahutada sellest teised kaks nurka, siis saamegi
puuduva kolmanda nurga ehk γ.
 γ=180°-α-β
 γ=180°-80°-52°=48°
PINDALA ARVUTAMINE
 Pindala valem 𝑆 =
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾
2
 Kõik vajalikud andmed on olemas
𝑆 =
289∙230∙𝑠𝑖𝑛48°
2
≈ 24698 (𝑚2 )
VASTUS
 Vastus: üles on vaja künda 24698 𝑚2 ehk 0,02 𝑘𝑚2 ehk 2,5
ha maad.